第13讲4态和算符的表象表示1

1、主讲：林洁丽主讲：林洁丽电子与信息工程学院光信息工程系电子与信息工程学院光信息工程系2012年年9月月量子力学量子力学第四章第四章 矩阵矩阵力学力学(II)(II) 提纲提纲4.1 态和算符的表象表示态和算符的表象表示4.2 矩阵力学表述矩阵力学表述 4.3 幺正变换幺正变换第第1313讲讲 第四章第四章 矩阵力学基础（矩阵力学基础（IIII）表象理论表象理论 第四章引言第四章引言4.14.1态和算符的表象表示态和算符的表象表示 结束结束引言引言到目前为止，我们已经建立了单粒子量子力学的基本框架。到目前为止，我们已经建立了单粒子量子力学的基本框架。（四个基本假设：状态描述、演化、算符、对易关系

2、）。但（四个基本假设：状态描述、演化、算符、对易关系）。但是正如在经典物理中我们可以采用不同的坐标系来描写物体是正如在经典物理中我们可以采用不同的坐标系来描写物体的运动状态一样，在量子力学中，粒子的运动状态和力学量的运动状态一样，在量子力学中，粒子的运动状态和力学量算符的描述形式并不是一成不变的，也可以有不同的描述形算符的描述形式并不是一成不变的，也可以有不同的描述形式，本章我们就来处理这方面相关的内容。包括：表象概念式，本章我们就来处理这方面相关的内容。包括：表象概念和不同表象的关系；量子力学公式的矩阵形式；薛定谔方程和不同表象的关系；量子力学公式的矩阵形式；薛定谔方程的代数解法。的代数解法

3、。重点和难点：重点和难点： 表象的几何意义以及不同表象之间的变换关系。矩阵来表示表象的几何意义以及不同表象之间的变换关系。矩阵来表示波函数和算符，量子力学公式的矩阵表示形式，矩阵代数运波函数和算符，量子力学公式的矩阵表示形式，矩阵代数运算求解算符本征值分析方法解算求解算符本征值分析方法解SchrSchrdinger dinger 方程方法。幺正方程方法。幺正交换。交换。返回返回 4.1 4.1 态和算符的表象表示态和算符的表象表示 知识回顾知识回顾 体系状态的表象表示体系状态的表象表示 算符的表象表示算符的表象表示 总结态和算符的表象表示总结态和算符的表象表示 小结小结 返回返回知识回顾基本概

4、念知识回顾基本概念波函数的自变量波函数的自变量力学量的本征值、力学量的本征值、平均值平均值对应本征值的本征函数对应本征值的本征函数用本征函数作为用本征函数作为HilbertHilbert空间的基矢，表象空间的基矢，表象任意波函数在表象中的表达任意波函数在表象中的表达一组波函数就是一个坐标系统一组波函数就是一个坐标系统返回返回力学量的平均值力学量的平均值体系任何一个力学量的平均值总可以在体系任何一个力学量的平均值总可以在坐标表象中表示为：坐标表象中表示为：dvrOrOO)()(具体表示了力学量具体表示了力学量O的平均值的平均值O与算符与算符O统计平均值的关系。统计平均值的关系。力学量的平均值力学

5、量的平均值坐标算符：坐标算符：,xpix ir dptpCitpCrp),(),(dptpCiFtpCrFp),(),()()()()(22pECpCiUmpp体系坐标或以坐标为自变量的变量的平均值体系坐标或以坐标为自变量的变量的平均值在动量空间的表示为：在动量空间的表示为：返回返回狄拉克符号狄拉克符号定义：不考虑具体的坐标系，具体的表象，定义：不考虑具体的坐标系，具体的表象，直接将波函数看作矢量，进行矢量运算直接将波函数看作矢量，进行矢量运算（如标量积）。这就采用狄拉克符号。（如标量积）。这就采用狄拉克符号。括号括号Bracket被分为被分为Bra（刁矢）（刁矢） （表示共轭复式）（表示共轭

6、复式）和和Ket（刃矢）（刃矢） （表示原来波函数）（表示原来波函数）区别：类似实虚部，表示两种性质不同的独立区别：类似实虚部，表示两种性质不同的独立的矢量。的矢量。AA态矢量：刁刃矢量态矢量：刁刃矢量OdvrOrOO)()(刁矢量刁矢量,bra刃矢量刃矢量,ket 返回返回体系状态的表象表示体系状态的表象表示表象概念表象概念态矢量与经典矢量的区别态矢量与经典矢量的区别坐标表象中的态矢量表示坐标表象中的态矢量表示动量表象中的态矢量表示动量表象中的态矢量表示返回返回表象概念表象概念线性厄米算符线性厄米算符Q的本征函数构成的本征函数构成Hilbert空间，称为空间，称为 的表象。的表象。Q态和力学

7、量的具体表述方式称为表象。态和力学量的具体表述方式称为表象。返回返回态矢量与经典的区别态矢量与经典的区别经典力学的矢量态经典力学的矢量态),(zyxzyxaaakajaiaaijji),(量子力学矢量态量子力学矢量态基矢单位基矢单位1，实数。，实数。)()(),(rutatrnnnnmmndrruru)()(基矢是归一化函数。基矢是归一化函数。返回返回坐标表象中的态矢量坐标表象中的态矢量坐标表象的本征函数是xx坐标表象 的本征值方程是xxxxxx)(任意波函数在x 本征值为x本征值为方向上的分量dxxxxx)()(x 例如，在直角坐标表象中例如，在直角坐标表象中kxjxixxkji)()()(

8、)(对方程做内积或点乘对方程做内积或点乘ikxijxiixixkji)()()()()()(ixix坐标表象中的态矢量坐标表象中的态矢量)()()(21tatatan共轭量是：共轭量是：,21naaa正交归一条件是：正交归一条件是：1任意态在此表象任意态在此表象中的表达中的表达)()(),(rutatrnnn可以写为可以写为列向量列向量坐标表象中的态矢量坐标表象中的态矢量包含连续谱和分立谱包含连续谱和分立谱drutatr)()(),(drrutrta)(),()()()()()(),(rutadrutatrkkk返回返回坐标表象中的连续谱态矢量表示坐标表象中的连续谱态矢量表示动量算符动量算符x

9、p 本征函数是本征函数是xpipxxex2/121)(任意函数是任意函数是xxppxpCx)()(连续谱时：连续谱时：xxpixdpepCxx)(21)(2/1动量表象中的态矢量表示动量表象中的态矢量表示基矢是基矢是xxpixdpepCxx)(21)(2/1xpixe2/121波函数是波函数是)()()()(21xpCpCpCx返回返回动量表象中的态矢量表示动量表象中的态矢量表示算符的表象表示算符的表象表示相同表象中算符的作用相同表象中算符的作用矩阵元的概念和力学量矩阵元定义矩阵元的概念和力学量矩阵元定义在动量表象中的力学量的矩阵元在动量表象中的力学量的矩阵元在坐标表象中的力学量的矩阵元在坐标

10、表象中的力学量的矩阵元厄米算符的厄米矩阵厄米算符的厄米矩阵对角矩阵对角矩阵返回返回相同表象中算符的作用相同表象中算符的作用),(),(txFtx将两边的波函数用相同基矢展开将两边的波函数用相同基矢展开)()(),(xutbtxnnn)()(),(xutatxmmm于是得到于是得到)()()()(xutaFxutbmmnnnmmkmnknndxxuFutadxxuxutb)()()()()(mmmmmmmnaaaFFFFFFFFFbbb2121222211121121相同表象中算符的作用相同表象中算符的作用矩阵元的概念和力学量矩阵元矩阵元的概念和力学量矩阵元其中的矩阵元是其中的矩阵元是)()(t

11、aFtbmmnmndxxuxixFxuFmnnm)(,)(mmkmnknndxxuFutadxxuxutb)()()()()(动量表象中力学量的矩阵元动量表象中力学量的矩阵元设动量表象中力学量xixF,自变量为x本征值为p本征函数为)(xp它在动量表象中的矩阵元是 dxxxixFxFpppp)(,x xFxx F x ,xxdxixxxxixF,这是一个对角阵。这是一个对角阵。例子例子返回返回任意力学量在坐标表象中的矩阵元任意力学量在坐标表象中的矩阵元动量在坐标表象中的矩阵元动量在坐标表象中的矩阵元算符算符x 的自变量是的自变量是x)(xx本征函数是本征函数是动量在坐标表象中是动量在坐标表象中

12、是xi 本征值是本征值是x返回返回厄米算符的厄米矩阵厄米算符的厄米矩阵取复数共轭：取复数共轭：dxxuxixFxuFmnnm)(,)(厄米算符的矩阵元：厄米算符的矩阵元：dxuxixFxuFmnnm- ,)(继续继续dxxuuxixFFnmnm)(- ,dxuxixFxuFmnnm- ,)(mnnmnmFdxxuxixFuF)(,继续继续mnnmnmFdxxuxixFuF)(,就是说：就是说：FFF矩阵与它的共轭矩阵相等，是厄米矩阵。矩阵与它的共轭矩阵相等，是厄米矩阵。返回返回对角矩阵对角矩阵算符自身的表象，即本征算符在它自己的算符自身的表象，即本征算符在它自己的表象中的矩阵元是：表象中的矩阵

13、元是：dxxuxixFxuFmnnm)(,)(nmmmnmmmnFdxuuFdxxuFxu)()(返回返回总结态和算符的表象表示总结态和算符的表象表示波函数波函数 其共轭：其共轭：正交归一条件：正交归一条件：)()()(21tatatan,21naaa1212nna (t )a (t )a ,a ,a ,a (t ) nnnaa1算符的矩阵表示算符的矩阵表示mmnjjnFFnnFFFFFFFF1222111211dxxuFxuFmnnm)()(算符的作用算符的作用)()(taFtbmmnmn)()()()()()(212122211121121tatataFFFFFFFFtbtbtbnnnnnnn平均值平均值FFnnnnnnaaaFFFFFFFaaaF21122211121121,例子例子 返回返回小结对应关系小结对应关系 量子态量子态 希尔伯特空间中的态矢量；希尔伯特空间中的态矢量；任意算符的本征函数任意算符的本征函数 表象的基；表象的基；不同表象不同表象 不同基，不同坐标系；不同基，不同坐标系；本征函数本征函数 基矢；基矢；厄米算符的本征函数系厄米算符的本征函数系一组完备的基矢；一组完备的基矢；波函数波函数 态矢量在特定基矢中的分量，可用列矩阵态矢量在特定基矢