极限存在准则与两个重要极限

1、第六节第六节极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限一一 极限存在的两个准则极限存在的两个准则二二 两个重要极限两个重要极限三三 小结与思考判断题小结与思考判断题1.夹逼准则(两边夹定理）定理定理 如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件: ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列nx的极限存在, , 且axnn lim. . 证,azaynn因为因为使得使得, 0, 0, 021 NN 一 极限存在准则,1 ayNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取, ayan即即,2 azNnn时恒有时恒有当当, azan上两式同时成

2、立上两式同时成立,恒有恒有时时当当,Nn , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则 如果当)(00 xUx ( (或Mx ) )时,有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末)(lim)(0 xfxxx 存在, 且等于A . . 注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则. .

3、II例1).12111(lim222nnnnn 求求解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 31

4、33 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx.)n例2(的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列333 nxAC二、两个重要极限1、1sinlim0 xxxxoBD)20(, xxAOBO圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xx

5、x即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又10 xxxsinlim24681 0- 0 . 20 . 20 . 40 . 60 . 81- 1 0- 8- 6- 4- 2- 0 . 20 . 20 . 40 . 60 . 81的图象的图象xxsin述述极极限限的的一一般般形形式式：利利用用变变量量代代换换可可导导出出上上; 1)()(sinlim0)( xxx 例3 （1 1）.cos1lim20 xxx

6、求求解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 （2 2）.tanlim0 xxx求求2、exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xx

7、xxxxxx, e .)11(limexxx ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(l

8、im10 . e exxx 10)1(lim述述极极限限的的一一般般形形式式：利利用用变变量量代代换换可可导导出出上上exxx )(10)(1lim （注意这个极限的特征：注意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为底为两项之和，第一项为1，第二项，第二项是是 无穷小量，指数与第二项互为倒数无穷小量，指数与第二项互为倒数 。例4.)11(limxxx 求求解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例5.)23(lim2xxxx 求求解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 1.两个准则两个准则夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .2.两个重要极限两个重要极限; 1sinlim10 某过程某过程.)1(