第八章向量法

1、1第八章第八章 相量法（相量法（173）线性正弦稳态电路分析方法线性正弦稳态电路分析方法$8-1 复数复数（复习）（复习）一、复数的多种表示形式一、复数的多种表示形式1、复数、复数F的直角坐标形式（代数形式）：的直角坐标形式（代数形式）：F=a+jb a 、 b 均为实数， a实部， b虚部。辐辐角角模模.a ab bt tg gb ba aF F1 12 22 22、复数、复数F在复平面上的在复平面上的向量表示：表示： F=a+jb)1(jsincosFbFa，2s si in n( () )F Fj jc co os s( () )F FF F3、 复数复数F 的三角函数形式：的三角函数形

2、式： F F e eF Fj jF4、复数、复数F的指数形式和极坐标形式：的指数形式和极坐标形式：根据欧拉公式：sincosjej可得：可得：指数形式指数形式极坐标形式极坐标形式3二、复数形式之间的转化二、复数形式之间的转化例例 8-1-1 化代数化代数(直角坐标直角坐标)形式为极坐标形式形式为极坐标形式1、F=5+j57 7. .0 07 75 55 5F F2 22 22、F=4-j3O O3 36 6. .9 95 5F F-36.900 01 14 45 55 55 5t tg gO O4 45 57 7. .0 07 7F F5 53 34 4F F2 22 20 01 13 36

3、6. .9 94 43 3t tg g43、F= -20-j40利用计算器转换功能利用计算器转换功能将代数形式转换为极坐标形式：将代数形式转换为极坐标形式： 模（模（r）：）：POL（ a，b）= 辐角（辐角（）：）：RCL tanF=44.7-116.64、 F=-j10F=10 - 90O5例例 8-1-2 化极坐标为代数化极坐标为代数（直角坐标）（直角坐标）形式形式O O1 1737310101、F1、Fj9.56j9.562.922.92O O3 31801805 53、F3、FO O2 21 15 52 21 1. .2 22 2、F Fj j0 0. .5 56 61 1. .0

4、06 6 5 5利用计算器转换功能：利用计算器转换功能：实部（实部（a）：）：shift POL（ r，）=虚部（虚部（b）：）：RCL tan6三、复数的四则运算：三、复数的四则运算：1、复数加减运算、复数加减运算（代数形式）（代数形式） 若若F1= a1+jb1 F2=a2+jb2 F1+F2= （a1+jb1）+（a2+jb2） = （a1 + a2）+ j（b1 +b2）F1-F2= （a1+jb1） -（a2+jb2） = （a1 - a2）+ j（b1 -b2）72、复数加减运算复平面上相量表示、复数加减运算复平面上相量表示（174）2 21 12 22 22 21 11 11 1

5、U UU U1 1、U UU U ，U UU U设设+1+j1 1U U2 2U U方法方法2：三角形平：三角形平移法则：移法则：+1+j1 1U U2 2U U思考：思考：3 32 21 1U UU UU UU U则则：方方法法1 1：平平行行四四边边形形法法8212UUU、+1+j1 1U U+1+j1 1U U2 2U U2 2U U-U U）（2 21 1U UU UU UU U则则：方方法法1 1：平平行行四四边边形形法法方法方法2：三角形平：三角形平移法则：移法则：2 2U U2 2U U- -93、复数乘除代数形式、复数乘除代数形式 （174）4、复数乘除指数形式、复数乘除指数形

6、式/极坐标形式极坐标形式2 21 12 21 12 21 1j j2 2j j1 12 21 1F FF Fe eF FF Fe eF Fe eF FF FF F) )2 21 1j j( (2 21 1B B求求A A B BB B A A若若A AB BA AB BA AB BA AB BA A2 21 1j j2 22 2j j1 11 1F FF F e eF FF F e eF F若若F F2 21 1求10O OO OO OO OO O2 21 11 17 71 1. .9 90 0. .5 51 18 88 8. .1 10 0. .5 5 1 13 35 51 10 05 53

7、 3. .1 15 51 13 35 51 10 0j j4 43 3/ /F F( (2 2) )F Fj j7 7. .0 07 77 7. .0 07 7解解：（1 1）F F2 2）（1 17 76 6页页 / /F F，F FF F求求F F 1 13 35 51 10 0j j4 4，F F3 3设设F F 1 1例例8 82 21 12 21 1O O2 21 1O O2 21 13 37 7- -5 5. .1 1j j3 3. .0 07 74 4. .0 07 7j j7 7. .0 07 7) )7 7. .0 07 7( (j j4 4) )( (3 3F FF F11

8、$8-2 正弦量（正弦量（176）一、定义：电路中按正弦规律变化的电流和电压称一、定义：电路中按正弦规律变化的电流和电压称为正弦量。为正弦量。（本书以cos描述正弦量）即：即：)(cosimtIii+-u)(cosumtUu12二、正弦电压二、正弦电压/电流三要素：电流三要素：1、Im/Um 振幅振幅 2、 角频率（角频率（ 是u/i相角随时间变化相角随时间变化的速度） 单位：弧度 / 秒，或写作 (1 / 秒)1(22Tf若u、i 的频率为 f (赫兹、周 / 秒) ，周期为 T(秒) ，有如下关系3、 i / u初相角初相角13三、 同频率正弦量的相位差,)(cosumtUuF 同频率正弦

9、量的相位差等于其初相位之差。F 相位差 的单位：弧度、度。)(cosimtIi例:求 u 与 i 的相位差 u i （可简计为 ）为：iuiuiutt)()(F 相位差 是多值的，一般取 。14四、同频率正弦量相位差的几种情况u 与 i 正交,2iuu 与 i 同相,0iuuitu 超前 i ,0iutuiu 与 i 反相,iutuiu 滞后 i,0iutui15例1：已知ooo12030150求 u1 与 u2 的相位差 。)()120314sin(101Vtuo)()30314cos(1002Vtuo解：)()150314cos(10)210314cos(10)120314sin(101V

10、tttuooo即 u1 超前 u2 (2 / 3) 弧度 。ooo240120)120(解： u 超前 i (2 / 3) 弧度 。例2：已知求 u 与 i 的相位差 。)()120cos(VtUuom)()120cos(AtIiom即o12016五、正弦电压五、正弦电压/电流的有效值电流的有效值1、电流有效值（、电流有效值（I）定义：）定义：F 若周期电流 i 的周期为 T ，则其有效值 I定义为：TdttiTI02)(1)(cosimtIiF 正弦电流 的有效值为：mmTimTimIIdttITdttITI707.022)(2cos11)(cos102022172、电压有效值（电压有效值（

11、U）定义：）定义：T T0 02 2d dt tU UT T1 1U U同样可推得正弦电压 u 的有效值为：mmUUU707.02六、电流六、电流/电压有效值与最大值关系：电压有效值与最大值关系：mmUUU707.02mmIII707.0218习题：习题：8-1，8-28-906050403020119.7361. 96180359010443.6372.4431435213507. 7118FFFFFF）（）（）（）（）（）（06060)50(11098电压滞后iu19$8-3 相量法基础（相量法基础（179）一、一、正弦稳态电路正弦稳态电路/正弦电流电路正弦电流电路 线性电路中，激励是正弦

12、量，响应也是线性电路中，激励是正弦量，响应也是同频正弦量。即同频正弦量。即电路中电流电路中电流i(t)、电压、电压u（t）均按同频正弦量变化。）均按同频正弦量变化。二、电压电流正弦量的表示二、电压电流正弦量的表示) )c co os s( (t t ) )c co os s( (t tI Ii i( (t t) )i ii im mI2) )U Uc co os s( (t t) )c co os s( (t tU Uu u( (t t) )u uu um m220）U Um mc co os s（t t( (1 1) )设设u u（t t）三、正弦电压三、正弦电压/电流相量表示电流相量表示根

13、据正弦量和相量的表示可以画出其波形图和相量图根据正弦量和相量的表示可以画出其波形图和相量图（下页）（下页） m me eU UR Re e ）e eR Re e（U Um me e R Re e U Um me e ） j jU Um ms si in n（t t）t tR Re e U Um mc co os s（u u（t t） j jt tj jt tj j）t tj j（量量U U( (t t) )振振幅幅- - - -U Um mU Um me em mU U j j相21电压电压U正弦波形图和正弦波形图和 相量图：相量图：tU(t)Um+jUm ）U Um mc co os s（t

14、 t1 1、根根据据u u（t t）U Um mm mU U量量2 2、根根据据 相相22 则电流振幅相量：则电流振幅相量：I Im mI Im me em mI Ij j+jIm+1电流电流I正弦波形图（略）。正弦波形图（略）。电流电流I相量图如下：相量图如下：(2) 若若i(t)=Imcos(t+)23(3)电流有效值相量和电压有效值相量：电流有效值相量和电压有效值相量：2 2m mI I2 2ImImI II Ii ii im mm mi ii im mI II I I II I ) )I Ic co os s( (t t2 2) )c co os s( (t tI I若若i i( (t

15、 t) )总总结结：2 2m mU U2 2U Um mU UU Uu uu um mu uu um mU UU U U Um mU U ) )U Uc co os s( (t t2 2) )c co os s( (t tU U若若u u( (t t) ) 练习练习8.924例1：已知解：6,)(12414.1iAI,)()6314(cos414.1Ati,)()6314(sin1.311VtuI求相量 及 ，并画出相量图。U)(6/1AI)()3314(cos1 .311)6314(sin1 .311Vttu3,)(22021 .311uVU)(3/220VU+1+jUI25解：)()628

16、0(cos1022Ati 例2：已知求 i1 及 i2 。 )(3/1001AI,1000,)(102HzfAI62802f)( )36280cos(10021Ati26二、相量的运算二、相量的运算1、同频正弦量的代数和（、同频正弦量的代数和（181） . . . . . . . ) )c co os s( (t tI I( (t t) )i i ) )c co os s( (t tI I( (t t) )设设：i i2 22 2m m2 21 11 1m m1 1. . . . . . .( (t t) )i i( (t t) )i ii i( (t t) ) 同同频频正正弦弦量量相相加加：

17、2 21 1. . . . . .I II II I 2 2I II I量量表表示示： 2 21 11 1M M1 1.1相相27I Ij j2 2I IY Y相相量量d dt td di i则则，I II I量量为为若若正正弦弦量量i i( (t t) )的的相相分分别别用用相相量量表表示示：）（t ty y) )2 2I Ic co os s( (t td dt td di i( (t t) )则则：) )I Ic co os s( (t t若若i i( (t t) )222、正弦量的微分：、正弦量的微分：283、正弦量的积分：、正弦量的积分：）（ty) )9 90 0- -c co os

18、 s( (t tI Ii i( (t t) )d dt t则则 ) )I Ic co os s( (t t若若i i( (t t) )o o22j jI Ij jI I9 90 0I IY Yi id dt t的的相相量量则则，I II I量量为为若若正正弦弦量量i i( (t t) )的的相相相相量量表表示示：o o29结论：结论：若若i(t)相量为相量为 则：则： i（t）的微分相量）的微分相量=j i（t）的积分相量）的积分相量= /j I II II II I对对i 的的n阶导数，其导数相量阶导数，其导数相量= （j ）n对对i 的的N次积分，其积分相量次积分，其积分相量= /（j ）

19、nI I30（1 18 82 2页页） ( (t t) )d dt ti i，d dt t( (t t) )d di i( (t t) )，i i( (t t) )求求：i i）A A6 65 5c co os s（3 31 14 4t t2 22 22 2( (t t) )i i ）A A3 3c co os s（3 31 14 4t t2 21 10 0( (t t) )2 2已已知知i i例例8 82 21 12 21 12 21 1) )A A1 17 70 0. .5 54 4c co os s( (3 31 14 4t t2 21 14 4. .2 24 4( (t t) )i i

20、( (t t) )i io o2 21 1O O2 2O O1 11 15 50 02 22 2I I，6 60 01 10 0I I 量量法法求求：解解：（1 1）用用相O OO OO O2 21 11 17 70 0. .5 54 41 14 4. .2 24 4 j j1 11 1) )1 19 9. .0 05 5( (j j8 8. .6 66 6) )（5 5 1 15 50 02 22 26 60 01 10 0I I I I 31）相（量量可可用用时时域域量量也也可可用用d dt t( (t t) )d di i( (2 2) )求求1 1）3 3c co os s（3 31

21、14 4t t2 21 10 0( (t t) )i i a a) )时时域域：1 1O O1 11 1O O1 16 60 09 90 03 31 14 40 0I Ij j相相量量d dt td di i 6 60 01 10 0I I 相相量量法法： b b) ) 9 90 0）6 60 0c co os s（3 31 14 4t t2 23 31 14 40 0 ）6 60 0t t3 31 14 4s si in n（3 31 14 42 21 10 0d dt td di i O OO O1 1)(t）1 15 50 0c co os s（3 31 14 4t t2 23 31 1

22、4 40 0d dt td di i O O1 1)(t32）A A6 65 5c co os s（3 31 14 4t t2 22 22 2i i 量量法法求求）（ ( (t t) )d dt ti i 求求 （3 3）2 22 2)(t相O OO O2 22 2O O2 21 12 20 00 0. .0 07 79 90 03 31 14 41 15 50 02 22 2j jI I量量d dt ti i1 15 50 02 22 2I I相) )1 12 20 0c co os s( (3 31 14 4t t2 20 0. .0 07 7d dt ti i O O2 233$8-4

23、电路定律的相量形式（电路定律的相量形式（183）一、基尔霍夫定律的相量形式一、基尔霍夫定律的相量形式 i1 i2 i31、KCL相量形式：相量形式：00321IIIIiU3U1U2+-+-2、KVL相量形式：相量形式：00321UUUUi34二、三种基本电路元件伏安特性的相量形式二、三种基本电路元件伏安特性的相量形式1、电阻元件伏安特性：、电阻元件伏安特性： （1）时域：）时域：u(t)=Ri(t) （2）相量形式：）相量形式：I IR RU U2、电容元件、电容元件伏安特性：伏安特性：+j+1U UI Idtdt(t)(t)duduC C(t)(t)i ic cc c（1）时域：时域：C C

24、C CC CC CC CC CC CC CC CU UI II IZ ZI Ij jC C1 1U U U Uj jC CI I+j+1C CU UC CI I900（2）相量形式：相量形式：353、电感元件、电感元件伏安特性：伏安特性：（1）时域：时域：d dt td di iL Lu uL LL L)()(tt+j+1L LU UL LI I4、R、L、C串并联伏安特性：串并联伏安特性：I IZ ZU U（2）相量形式：相量形式：L LI IU UI IZ Z I Ij jL LU UL LL LL LL LL L三、举例：三、举例：36例例 8-3-1 i(t)+ u(t)-0.5F量量

25、图图求求：u u( (t t) )、画画 ) )( (A A) )3 30 0c co os s( (1 10 00 0t t2 2已已知知：i i( (t t) )0 0相求：求：u(t)及其相量图及其相量图0 03 30 01 1I I量量法法：相) )1 12 20 0c co os s( (1 10 00 0t t2 20 0. .0 02 2u u( (t t) )0 0+1+j300I IU U0 00 00 01 12 20 05 50 01 19 90 0C C3 30 01 1j jC CI IU U37量量图图求求：i i( (t t) )及及其其 ) )( (v v) )

26、5 50 0c co os s( (1 10 00 0t t2 28 8u u( (t t) ): :已已知知 2 2- -3 3- -例例8 80 0相0 05 50 08 8U U解解：i(t)+ u(t)-0.04H4相量图略相量图略Z ZU UI I) )( (A A) )9 95 52 2c co os s( (1 10 00 0t ti i( (t t) )0 0j j4 44 4 0 0. .0 04 4j j1 10 00 04 4j jL LR RZ ZO OO O0 00 09 95 5- -2 24 45 52 24 45 50 08 8j j4 44 45 50 08

27、8 38) )( (v v) )9 90 0c co os s( (1 10 00 00 0t t2 21 12 20 0u u( (t t) )3 3- -3 3- -8 80 0已已知知：例例R=15 L=30mH C=83.3uF 求：求：i(t)及其相量图及其相量图LiLiCiR+ u(t)-CRiO O9 90 01 12 20 0U U向向量量法法分分析析：）A A1 12 27 7c co os s（1 10 00 00 0t t2 21 10 0i i（t t）1 12 27 71 10 0j j8 86 61 10 04 4j j8 8I II II II Io oO OC

28、CL LR R4 40 0. .0 03 3j j1 10 0j j1 12 20 0j jL LU UI I 1 10 0U Uj jC CI I j j8 81 15 59 90 01 12 20 0R RU UI I3 3L LC CO OR R39U UR RI IC CI IL LI II Io oR RL LC C1 12 2L L2 29090I II II Itgtg）I I（Ic（IcI II I量图可知：量图可知：根据根据R R相4 4L LU UI I1010CUCUI I8 81515120120I I其中各支路电流：其中各支路电流：L LC CR R2、作相量图、作相量图40例例8-3-4 已知已知 A1读数为读数为1