第六章弯曲剪应力

1、6-3 6-3 弯曲剪应力和强度校核弯曲剪应力和强度校核一一.具有纵对称轴截面梁的剪应力具有纵对称轴截面梁的剪应力hq x( )Pbxdxq x( )M x( )M xM x( )( )dM yIzzy对于薄壁、高截面的梁须计算弯曲剪应力对于薄壁、高截面的梁须计算弯曲剪应力QFQQdFF 平行的方向都与假设：QF) 1y沿宽度均布。)2NINII在在h h b b的情况下的情况下*dIAAN*d)d(d)(IIAzAAIyMMAN*dAzAIyM*dAzAyIMMISzz*NINII*A*A*AxbSIMSIMMzzzzdd*即：SI bMxzz*ddxbNNdIIIbISFzzQ*ddd*z

2、zAzSIMMAyIMM结论：结论：z二二. .矩形截面的剪应力矩形截面的剪应力bhFQ23max*QZZF SI b32*2,()1224Zzbhb hISy对于矩形22364QFhybhmax3322QQFFbhAmaxhb三三.工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力腹板腹板翼缘翼缘在腹板上：在腹板上：bISFZZQ*8)(822maxhbBBHbIFZQ8822minhBBHbIFZQmaxminQQFF)97. 095. 0(1bhFQbBhHy()()24zB HhHhS 在翼缘上，有平行于在翼缘上，有平行于F FQ Q的剪应力分量，分布情况的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小

3、，并无实际意义，可忽略不计。较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。 在翼缘上，还有垂直于在翼缘上，还有垂直于F FQ Q方向的剪应力分量，方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。截面上的大部分弯矩。*max*maxmax/ZZQZZQSIbFbISF对于标准工字钢梁对于标准工字钢梁：在翼板上：在翼板上：NlNll*dIAAN*IIIIdddd)d(d)(*zzAzAzASIMMAyIMMNAIyMMAN*dAzAIy

4、M*dAzAyIMNMISzz*xNNdIIIdxdxbhHzzdyxMISzzdd*zzQISF*)2)(2*zbHS自由自由面面四四. .圆截面梁的剪应力圆截面梁的剪应力3*max42441233()264QQzQQzdFF SFFddI dAdbISFZZQy*最大剪应力：最大剪应力：Qy圆截面圆截面3/2/2*220044/2222022 ( )212( )112()222464ddzdzAddSzydyy ydyddIzydAd dyy5.弯曲剪应力强度条件弯曲剪应力强度条件*maxmaxmaxbISFZZQ 例例6-66-6圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用圆形截面梁受力如图所

5、示。已知材料的许用应力应力=160MPa=160MPa，=100MPa=100MPa，试求最小直，试求最小直径径d dminmin。q20kN/m4mABd(+)(+)(-)-40kN-40kN40kN40kN（第二个强度条件）（第二个强度条件）解：解：kN,40maxQFmaxmax MWzMqlmax2840kN m由正应力强度条件：由正应力强度条件：6331016032/1040d即得 d 137mm34maxmaxAFQ623101004/104034d即得d 261 . mm由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：所以dmin137mm 例例6-76-7两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一

6、起承受荷载如图两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。若材料许用应力为所示。若材料许用应力为 ，其许可载荷，其许可载荷PP为多少？如将两为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为用剪应力为，求螺栓的最小直径？，求螺栓的最小直径？P解：叠梁承载时，每解：叠梁承载时，每梁都有自己的中性层梁都有自己的中性层梁的最大正应力梁的最大正应力：WM2maxmax其中：246222bhhbW2maxmax122bhPLWMFQP-PLMb2h2hL212bhPLb2h2h二、当两梁用螺栓联二、当两梁用螺栓联为一

7、体时，中性轴只为一体时，中性轴只有一个：有一个：6/2maxmaxbhPLWMP62maxBhPL由正应力强度条件：由正应力强度条件：LbhP62可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。zNQzhzhIMbhybdyIMbdyN82202023 8824zzzMSMbhP LbhQNIIh由螺栓剪切强度条件：由螺栓剪切强度条件：4/4/ 2dbhAQ螺三、求螺栓最小直径：三、求螺栓最小直径： 螺栓主要是受剪螺栓主要是受剪L设梁达到了设梁达到了许用应力许用应力PP受力分析是受力分析是关键关键P可得：可得：bhd minbhdb2h2h二、当两梁用螺栓联二、

8、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只为一体时，中性轴只有一个：有一个：6/2maxmaxbhPLWMP62maxBhPL由正应力强度条件：由正应力强度条件：LbhP62可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。三、求螺栓最小直径：三、求螺栓最小直径：螺栓主要是受剪螺栓主要是受剪zzbhPAFQ2323max设梁达到了许用应力设梁达到了许用应力PPLhLbhbhbhP4623232max中性轴处：中性轴处：全梁中性层上的剪力：全梁中性层上的剪力：4bhbLQ 由螺栓剪切强度条件：由螺栓剪切强度条件：4/4/ 2dbhAQ螺可得：可得：bhd minbhd讨论：讨

9、论：Q Q 与何力平衡？与何力平衡？QzhzhIMbhybdyIMbdyN822020QbhhLPbhLbhPN423)12/( 832？6-4 6-4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是正应力控制梁弯曲强度的主要因素是正应力m axm ax MWZ设计梁的原则应使设计梁的原则应使M Mmaxmax尽可能地小，使尽可能地小，使W WZ Z尽可能地大。尽可能地大。一一. . 选择梁的结构并合理的布置载荷选择梁的结构并合理的布置载荷1.选择不同形式的梁选择不同形式的梁M2125. 0qlqlMqxxlACBBCAMMM22221)2(8121qxxlqqxlx212

10、 20.0214ql20.0214ql0.207xl2.合理布置载荷合理布置载荷PMMl2l2P2/ lal2l22/ a2/ a/8Pl/4Pl二二. .梁的合理截面梁的合理截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。PhbzhbzW W要大同时要大同时A A要小，要小，W/AW/A最大为好最大为好。 hbhbhAW167. 062dddAW125. 043223aaaAW167. 0623hAW31. 027. 021maxmaxctctyyy1Pzy2C1 1）对于）对于 t t= = c c 的材料，可用与中性轴对称的的材料，可用

11、与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘截面，使截面上、下边缘tmaxtmax= = cmaxcmax2 2）对于）对于 t t c c 的材料，如铸铁的材料，如铸铁 t t c c ， 宜用中性轴偏于受拉边的截面。宜用中性轴偏于受拉边的截面。三、采用变截面梁、等强度梁的概念三、采用变截面梁、等强度梁的概念梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力)()(maxxWxM即：例如：矩形截面梁，跨中例如：矩形截面梁，跨中C C处受处受集中力集中力P,P,截面高截面高h h为常数，宽度为常数，宽度b b可变化，可变化，b=bb=b（x x）, ,求求b

12、b（x x）时，称为时，称为等强度梁等强度梁。P2/P2 / PLABCxb(x)b(x)min研究半梁研究半梁ACACxpxM2)(2)(61)(hxbxW由等强度条件：由等强度条件：)()(maxxWxM 2)(61)(2PxhxbxW23)(hPxxb对于矩形截面：对于矩形截面：2/2323maxmaxbhPAQhPxb43)(hPxb43)(min即：同理：若同理：若b b为常量，高度为常量，高度h=h(x)h=h(x) 2)(61)(2PxxbhxWbPxxh3)(半抛物线半抛物线由剪切强度条件由剪切强度条件：bPxh 43)(minmin)(xh)(xh鱼腹梁鱼腹梁2/2323ma

13、xmaxbhPAQP2/P2 / PLABCx6-5 6-5 非对称截面梁平面弯曲的条件非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心开口薄壁截面梁的弯曲中心一、非对称截面梁平面弯曲的条件一、非对称截面梁平面弯曲的条件 前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。对于非面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。对于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴y y、z z，形，形心主惯性轴心主惯性轴y y、z z与轴线与轴线x x组成两个形心主惯性平面组成两个形心主惯性

14、平面xOyxOy、xOzxOz形心主惯性平面形心主惯性平面y y、z z轴为形心主惯性轴轴为形心主惯性轴 对于非对称截面梁，由实验和理论分析得到它发生对于非对称截面梁，由实验和理论分析得到它发生平面弯曲的条件是平面弯曲的条件是: : (1) (1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平面内时面内时, ,梁产生平面弯曲。梁产生平面弯曲。 (2)(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实体构件

15、抗扭刚度很大会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性平面内平面内( (非对称平面非对称平面) )，则梁除发生弯曲变形外，还将，则梁除发生弯曲变形外，还将发生扭转变形。发生扭转变形。只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面的。这个特定点称为横截面的弯曲中心弯

16、曲中心，用，用A A表示。表示。二二. . 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心 平衡对象及其受力 开口薄壁截面开口薄壁截面弯曲切应力弯曲切应力 平衡对象及其受力 弯曲切应力弯曲切应力 Fx=0+ ( d x)=0FNx*+d FNx*-FNx* 弯曲切应力弯曲切应力+ ( d x)=0FNx*+d FNx*-FNx*其中其中FNx* xdAA *FNx*+d FNx*= ( x+d x)dAA * x=Mz yIz, Sz= ydAA *平衡方程与切应力表达式平衡方程与切应力表达式 弯曲切应力弯曲切应力平衡方程与切应力表达式平衡方程与切应力表达式 = =FQ Sz* Iz 弯曲切应力弯曲切应力 弯曲切应力弯曲切应力 弯曲切应力弯曲切应力合力合力 向弯曲中心简化结果向弯曲中心简化结果 弯曲切应力弯曲切应力 分布的切应力向弯曲中心简化的结果是主矢不为零，主矩为零。M=0M0A 以槽钢为例说明截面弯曲中心的以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。确定方法。薄壁截面弯曲中心符合下列规则薄壁截面弯曲中心符合下列规则: :(2)(2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这个对称轴上。个对