中子慢化和扩散综述

1、第第2 2章章 中子慢化和扩散中子慢化和扩散1中子与散射核碰撞而降低能量的过程称为中子的慢化过程。显然，对于热中子反应堆而言，慢化过程是一个非常重要的物理过程。处于与周围介质同样温度的热中子在系统中要进行扩散。同样，扩散过程也是一个非常重要的物理过程。本章首先介绍热中子反应堆内的中子循环和链式裂变反应产生的条件。其次介绍中子的慢化过程和扩散过程的特点以及对反应堆内的链式裂变反应起着的重要作用。一个中子如何渡过从出生到消亡的短暂生命？一个中子如何渡过从出生到消亡的短暂生命？反应堆如何实现自持链式裂变反应？反应堆如何实现自持链式裂变反应？裂变产生的中子如何慢化到热中子？裂变产生的中子如何慢化到热中

2、子？反应堆中热中子的扩散规律？反应堆中热中子的扩散规律？慢化年龄慢化年龄(慢化长度慢化长度)、扩散长度和徙动面积、扩散长度和徙动面积(徙动长度）徙动长度）的概念？的概念？引引 言言第二章第二章 中子的慢化中子的慢化、扩散扩散1）平均或统计的原则；2）平衡的思想2第一节 中子循环1.自持链式反应：反应堆系统内发生的裂变反应在不依靠外界补充中子的情况下，能持续一代一代地发展下去，这样的链式反应称为自持链式反应。怎样才能持续进行裂变反应呢？反应堆内的链式反应有几种情况？3第一节 中子循环2.三种链式反应：可以实现自持：（1）维持系统内中子数不变，即稳定自持链式反应，这种情况下每次核裂变产生的中子中正

3、好有一个中子再引起一个核裂变，系统中子数保持不变，单位时间内裂变数也不变；（临界状态）（2）系统内中子不断增加，每次裂变产生的中子，有一个以上的中子再引起新的核裂变，系统内裂变率随时间不断增加，系统内中子数亦不断增多；（超临界状态）无法实现自持：（3）系统内中子不断减少，每次核裂变产生的中子，只有少于一个中子再引起核裂变，系统的裂变率随时间而减少，系统的中子数随时间增加而减少。（次临界状态）宏观情形链式反应可自持不可自持临界状态超临界状态次临界状态43.中子循环：第一节 中子循环反应堆堆芯中子生存的家园堆芯组成：热堆的堆芯是由核燃料、慢化剂、冷却剂，控制棒及各种结构材 料组成。堆芯的空间：压水

4、堆堆芯约12米直径，高2-3米。压力壳内径4米，高为13米，厚为0.2米。 5堆芯中裂变产生的中子要在堆芯空间里四处迁移，随着和堆芯内的燃料、慢化剂、冷却剂，结构材料等不断发生各种作用（反应），期间中子可能引发燃料裂变产生下一代中子，也可能被非裂变材料吸收，也可能泄漏出堆芯等。中子就是在堆芯这样装有各种不同材料的空间里循环。中子循环: 就是指裂变中子经过慢化成为热中子、热中子击中燃料核引发裂 变又放出裂变中子这一不断循环的过程。 微观情形3.中子循环：第一节 中子循环63.中子循环：第一节 中子循环中子的消失方式中子吸收泄漏（发生散射离开堆芯，堆外消失）燃料吸收后裂变放出中子非裂变材料吸收后不

5、放出中子堆内消失（1）铀-238的快中子增殖；（2）燃料吸收热中子引起的裂变；（3）慢化剂以及结构材料等物质的 辐射俘获；（4）慢化过程中的共振吸收；（5）中子的泄漏。包括： （i）慢化过程中的泄漏； （ii）热中子扩散过程中的泄漏；反应堆内中子的数目的增减与平衡，主要取决于下列几种过程 7中子的长征路1.首先是快中子倍增过程快中子倍增过程：部分裂变中子由于能量较高（高于铀238的裂变阈能）可引起一些铀238核裂变。这一过程可用一个称为快中子倍增系数的量来描述。快中子倍增系数的定义是：由一个初始裂变中子所得到的、慢化到铀238裂变阈能以下的平均中子数（仍是快中子）。 3.中子循环：8的快中子数

6、仅由热中子裂变所产生变所产生的快中子总数热中子和快中子引起裂的快中子数仅由热中子裂变所产生以下的快中子数慢化到MeV1 . 12 2.快中子在慢化过程慢化过程中：1）要经过共振能区（11000电子伏），而U-238U-238在该能区有许多共振峰。因此当中子慢化到该能区时，必然有一部分中子被吸收（一般称为共振吸收）而损失掉，可以用一个称为逃脱共振几率的因子来描述这种过程。逃脱共振几率p的定义是慢化过程中逃脱共振吸收的中子所占的份额。2）快中子慢化过程中都有一部分中子会泄出堆外。快中子不泄漏几率PF:快中子没有泄漏出堆芯的几率（份额）。中子的长征路3.中子循环：93.热中子扩散过程热中子扩散过程：

7、1）热中子扩散过程中都有一部分中子会泄出堆外。定义热中子不泄漏几率这两个量PT来加以描述。热中子不泄漏几率PT:热中子在扩散过程中没有泄漏出堆芯的几率（份额）。2）逃脱了共振吸收的中子被慢化成热中子，热中子在扩散过程中被堆芯的各种材料吸收，其中一部分被核燃料吸收。我们定义一个称为热中子利用系数的因子来描述被核燃料吸收的热中子所占的份额。热中子利用系数热中子利用系数记为f：f= （燃料吸收的热中子数） / （被吸收的全部热中子数分母中包括被燃料、慢化剂、冷却剂和结构材料等所有物质吸收的热中子数）。3.中子循环：10被吸收的热中子总数燃料吸收的热中子数faMaaaaf85854.热中子裂变过程热中

8、子裂变过程：燃料吸收了热中子，很大可能要发生裂变，但也有较小的可能不发生裂变，例如铀235吸收一个热中子后也可能发生（n，r）反应。故燃料每吸收一个热中子引起裂变的概率是 ，其中分子分母分别是燃料的裂变和吸收截面。我们定义一个称为有效裂变中子数的因子来反映这种影响。它的定义是：燃料每吸收一个热中子所产生的平均裂变中子数。它的记号是。3.中子循环：af /115885555885555558555)(NNNNNffffaaf慢化过程被燃料吸收的热中子数被燃料吸收的热中子数npPFPTf个新的裂变中子数新的裂变中子数npPFPTf = nk个U-235U-235裂变产生裂变产生n n个初始中子个初

9、始中子U-238阈能吸收，倍增慢化到慢化到U-238U-238裂变阈能以裂变阈能以下的平均中子下的平均中子nn个个慢化过程中的泄漏慢化过程中的泄漏U-238U-238共振吸收共振吸收热中子热中子npPF个个热中子的泄漏热中子的泄漏慢化剂以及其他材料吸收慢化剂以及其他材料吸收热中子扩散过程k1 超临界k=1 临界k1 次临界产生第二代中子100个OK!100个中子个中子倍增出倍增出5个中子，个中子，共有共有103个个1.03PF=101/103=0.981泄漏泄漏2个个,还有还有101PT=93/96=0.969吸收掉吸收掉17个个,有有76个个泄漏掉泄漏掉3个个,有有93个个吸收掉吸收掉5个，

10、个，有有96个个p=96/101=0.950F=76/93=0.817有效裂变中子数=1.316中子循环过程微观情形快中子倍增过程热中子裂变过程12 假设在某一代开始时有n个裂变中子，这n个中子被有效慢化前，由于能引发铀238裂变，快中子数目将增至n个。这些中子继续慢化，但由于共振吸收将损失一部分，只有np个中子能逃脱共振吸收而慢化成热中子。如果考虑到中子泄漏的损失，那么被吸收的热中子数目将只有npPFPT个，被燃料吸收的中子将只有npfPFPT个，其余热中子被其他材料吸收。燃料吸收这些热中子后发生裂变重新放出新一代的裂变中子。由于燃料每吸收一个热中子可产生个裂变中子，因而新的裂变中子数目等于

11、npfPFPT。根据有效增殖系数的定义，即可知道： LTFPKnpfnkPPpfKPPPTFL133.中子循环(小结)：这个关于k的公式称为四因子公式，上面那个关于k的公式称为六因子公式。它们对于热中子反应堆内中子循环过程给出了形象、清晰的描述，对于我们分析反应堆中各种物理现象极有帮助。)( 泄漏吸收中子消失率中子产生率上一代裂变中子总数新生一代中子数或effeffkk物理意义：物理意义：中子泄漏率中子吸收率中子吸收率中子吸收率中子产生率；LPk次临界临界超临界 1 1 1;effLeffkPkk14中子循环角度：临界时，每代中子循环的中子数都一样；中子数守恒角度：临界时，中子的产生率与消失率

12、处于动态平衡。补充：补充：15 从热中子反应堆内的中子循环可知，能否实现自持的链式反应，取决于下列几个过程：（1）燃料吸收热中子引起的裂变 主要是热中子引起235U的裂变，这是产生中子的主要来源（2）238U的快中子增殖 能量大于1.1MeV的中子引起238U的裂变，产生裂变中子。对于天然铀，这些裂变中子约占燃料裂变中子的3左右（3）慢化过程中的共振吸收（4）慢化剂以及结构材料等物质的辐射俘获（5）中子的泄漏影响因素16（燃料性质）；（燃料性质）p和f两个因素是互相制约的，它们与燃料和慢化剂所占的份额有关。 燃料份额，慢化剂份额，f将，而p将。 燃料份额，慢化剂份额，f将，而p将。在实际应用上

13、，必须找出一种能使乘积pf为最大的成分和布置，以使链式反应得以维持。堆芯尺寸，不泄漏几率P，如果P1，则有四因子公式：kpf，可以写为keff= kP=1 为临界条件。第二节 中子慢化 反应堆内产生的裂变中子都是快中子，平均能量约为2MeV。在大的热中子反应堆中，这些快中子要在慢化剂中慢化，使其成为热中子，热中子再扩散及被吸收，再引起裂变。例如，在热中子反应堆内几乎所有的裂变中子在引起燃料核进一步裂变之前，都已慢化到热能。1.中子慢化概念和物理机制1）中子由于散射（包括弹性和非弹性）碰撞而降低速度的过程叫做慢化过程。2）弹性散射：把中子与介质核的相互作用当作两个刚性球之间的完全弹性碰撞。此过程

14、中，系统的动能和动量均守恒。碰撞后，中子因把自己动能的一部分传递给介质核而减速，运动方向也发生变化。能量较低的中子再质量较小的介质内的慢化过程，主要就是这种弹性碰撞机制。3） 非弹性散射：可按照复核模型来理解。中子与靶核结合形成复核，复核获得中子的动能与结合能，便处于激发状态，放出r射线，同时再重新释放出一个中子。该反应是阈能反应，过程中动能不守恒，动量守恒。这种非弹性散射碰撞为几千电子伏以上的中子与质量数较大的铀，铁等介质核相互作用而慢化的主要机理。1718压水堆内中子的慢化主要是中子与轻核的弹性散射。在弹性散射中，快中子将自己的动能传递给慢化剂H原子核，而本身被慢化成热中子。如果有大量的中

15、等核或重核存在时，那么由这些核引起的非弹性碰撞也须予以考虑。慢化弹性散射非弹性散射2.弹性散射理论第三节 中子慢化1）基本假设：（1）和中子相比，慢化剂核可以看成是静止的（不考虑靶核热运动）；（2）核不束缚在固体液体或气体中（不考虑靶核的化学键影响）2）两个参考系：讨论弹性碰撞时通常采用两种方便的参考系：实验室（L）系和质量中心（C）系。（1）实验室系中：假定散射核在碰撞前是静止的，和中子相比，慢化剂核可以看成是静止的（不考虑靶核热运动），实际测量是在该系中进行；（2）质心系：认为中子与靶核的质量中心在碰撞过程中是静止的(质心为坐标原点)，理论处理采用C系比较简单方便。193.散射过程v1碰前

16、中子碰前核碰后中子碰后核v2V1 Vm碰前中子碰前核碰后中子碰后核vavbvm质量中心实验室系（L）质心系（C）质心系中：中子与核碰撞后的速度与它们碰撞前的速度完全相等，碰之前，中子和核相向运动，碰撞后以同样的速度相反运动。碰撞相对于质量中心的总动量为零。转换到实验室系：vav2vm中子初始方向中子初始方向20L系：21碰撞前：中子 质量为1，速度为v1；靶核质量为A，速度为0。质量中心速度为vm。碰撞前后总动量相等 1) 1(011AvvvAAvmmC系： 22C系中，假定质量中心是静止的，所以碰撞前靶核以vm的速度向质心接近。碰撞前中子与靶核的相对速度是v1，故中子接近质心的速度为v1-v

17、m 。 111111AAvAvvvvmC系23在C系里，中子和散射核似乎分别以 和 的速度相互接近着。因此，质量为1的中子沿着它运动方向的动量是 ，而质量为A的核的动量也是 ，但沿着相反方向。这样，在碰撞前对于质量中心的总动量是零，而根据动量守恒原理，在碰撞后总动量也必为零。 ) 1/(1AAv) 1/(1Av) 1/(1AAv) 1/(1AAvC系：24在碰撞以后，C系里的中子沿着与原方向成角的方向离开质心，这就是C系中的散射角。这时反冲核必须沿相反方向运动，因为质心永远在两个粒子的连线上。如果 是C系里碰撞后的中子速度，而 是核的速度，那末总动量为零的条件可以表示成：baAvv avbvV

18、1 Vm碰前中子碰前核碰后中子碰后核vavbvm质量中心质心系（C）C系25上面已经看到，在C系里，中子和核的碰撞前的速度分别 为： 和 。由C系能量守恒条件得： 再加上动量守恒条件： 求得：2221212121)1(21)1(21baAvvAvAAAv1111AvvAAvvba) 1/(1AAv) 1/(1AvbaAvv C系：26把碰撞后的中子和靶核速度的计算结果与碰撞前相比较，可以看出，在在C C系里，中子与核碰撞系里，中子与核碰撞后的速度与它们碰撞前的速度完全相等后的速度与它们碰撞前的速度完全相等。因此，一个位于碰撞粒子质量中心的观察者，在碰撞前会看到中子和核沿相反方向、以反比于它们质

19、量的速度向他接近，而在碰撞后粒子就好象沿着相反方向(通常不同于原方向)离开他而运动，它们各自的速度不变。参考系的转换参考系的转换27为了决定中子在碰撞时的动能损失，必须把C系中得到的结果变回L系。要进行这种变换，需要利用两系统恒以速度(即L系中的质心速度)作相对运动的关系。在L系内中子碰撞后的速度，可以由C系内中子碰撞后速度矢量加上L系内质心运动矢量得到。 转换到转换到 L L系：系：28v2是L系内中子碰撞后的速度，则由余弦定律得到：代入求得的vm和va，结果得：cos22222amamvvvvv2221221212122) 1() 1cos2(cos) 1(2)1()1(AAAvAAvAA

20、vAvvvav2vm中子初始方向中子初始方向4.碰撞后能量cos)1 ()1 (21) 1(1cos222212212AAAvvEE2)11(AA11maxEE1minEE2911min1EEE1min1max)1 (EEEE =0 碰撞未造成中子能量损失= 碰撞造成中子能量损失最大碰撞最大损失能量结论： 0能量损失E12时)1）若散射在质心系各向同性， 的值与中子初始能量无关，即中子在与给定散射核所作的任何一次碰撞中，平均损失的能量为它在碰撞前所具有能量的一个不变份额。2）对数能降反映了该类型散射核与中子碰撞后，使得中子损失能量（即被慢化）比例大小的一个量，平均对数能量缩减越大，说明碰撞一次

21、损失的能量比例越大。见教材P54，各种核散射特性。对数能降： 碰撞前后中子对数能降的变化：EEu0ln2112lnEEuu21lnEEN 平均碰撞次数：例：E1=2MeV, E2=0.0253eV, =0.158,求N=?115158. 0025. 0102ln6N33元素元素质量数质量数A A平均对数能降平均对数能降热化中子碰撞次数热化中子碰撞次数氢11.0001820.72525氦40.42543锂70.26867铍90.20987碳120.158115氧160.120151铀2380.008382170不同核素的散射性质不同核素的散射性质5.慢化剂的慢化能力 中子与氢核碰撞时，有可能碰一

22、次就损失全部能量。而中子与铀238发生一次碰撞，可损失的最大能量约为碰撞前能量的2。可见必须采用轻元素来作慢化剂。反应堆中常用的慢化剂有水(氢）、重水（氘）和石墨（碳）等。在反应堆物理中，常用“慢化能力”和“慢化比”这两个量来衡量慢化剂的优劣。S慢化能力的定义是S其中是慢化剂的宏观散射截面，则称为平均对数能降表示单位体积慢化剂全部核的慢化能力。 越大，说明中子与慢化剂发生散射的机会越多； 越大则说明每次散射中子损失能量越多。两者相乘，反映了慢化剂慢化中子的能力。 S34aS / 然而，仅用慢化能力还不能全面反映一种材料是否适合作为慢化剂、或是否具有优良的慢化性能。我们知道，任何一种核，除能散射

23、中子外，也会吸收中子。如果其吸收截面 过大，会引起堆内中子的过多损失而不适合作为慢化剂。鉴于此，另外定义下面一个量称为慢化比。 显然这个物理量才比较全面地反映了慢化剂的优劣。结论：好的慢化剂不仅应该具有较大的慢化能力、还应该具有大的慢化比。a举例：在几种常用慢化剂中，水的慢化能力最强，故用水作慢化剂的反应堆芯体积可以做得较小。但水的慢化比最小，这是因为它的吸收截面较大，所以水堆必须用浓缩铀作燃料。重水和石墨的慢化比都比较大，因为它们的吸收截面很小。因此重水堆和石墨堆都可以采用天然铀作核燃料。但是这两种物质的慢化能力比水要小得多，故重水堆和石墨堆（尤其是后者）的堆芯体积要比轻水堆大得多。5.慢化

24、剂的慢化能力35不同材料的慢化能力和慢化比不同材料的慢化能力和慢化比慢化剂水重水氦铍石墨s/m-1153171.610-317.66.4s/a72120008315917036慢化能力慢化比价格燃料体积轻水大小便宜富集铀稠密栅(欠慢化)重水小大贵天然铀大(过慢化)重水和轻水的比较重水和轻水的比较6.无限均匀介质内的中子慢化能谱EEEdEEdEE )()()()()()(ESEdEEfEEEEEst慢化方程：慢化方程：其中根据碰撞后能量的分布，有：代入，得：EEEEEEEEEEf或/, 0/,)1 (1)()()1 ()()()()(/ESEdEEEEEEEst多数情况下，慢化方程无法求得精确解

25、析解。只有少数特殊情况，如纯氢介质或A1的无吸收介质可以求得解析解。37慢化过程中中子通量密度按能量的分布（也即中子慢化能谱）不仅与介质的慢化能力和吸收特性有关，严格讲还与空间坐标r有关。精确确定它是一个复杂的问题，最简单的近似方法是用无限均匀介质内的中子慢化能谱来表示。6.无限均匀介质内的中子慢化能谱)()1 ()()()()(/ESEdEEEEEEEst无限，无吸收单核情况下：EEEqEEEEEqEEEEuss)()()( )()()(;慢化能区近似为慢化能区近似为1/E分布或费米谱分布或费米谱热堆堆芯中子能谱的大致分布情况：热堆堆芯中子能谱的大致分布情况：热谱区：麦克斯韦谱；慢化区：费米

26、谱；裂变中子：裂变谱。热谱区：麦克斯韦谱；慢化区：费米谱；裂变中子：裂变谱。38对氢慢化剂，上式对慢化区内所有能量都成立；对其他慢化剂，E2E0适用。对混合物使用混合物的平均对数能量：jjsjs39能谱分布示意图第三节 中子扩散1）反应堆内的链式裂变反应过程实质上涉及中子在介质内的不断产生，运动和消亡的过程。反应堆理论的基本问题之一，就是确定堆内中子密度（或中子通量密度）的分布。2）由于中子与原子核间的无规则碰撞，中子在介质内的运动是一种杂乱无章的具有统计性质的运动，即原来在堆内某一位置具有某种能量与某一运动方向的中子，在稍晚时候，将运动到堆内的另一位置以另一能量和另一运动方向出现，这一现象称

27、之为中子在介质内的输运过程。3）中子在堆内运动及分布与那些量相关？ （1）空间位置r（x,y,z） （2）能量E （3）运动方向 （4）时间t(非稳态时)1.问题的提出40中子输运方程波耳兹曼方程 直接表述中子在反应堆内的空间（含方向），能量和时间的分布的方程，称为输运方程，由于它与波耳兹曼研究气体运动的方程相似，因此也称为波耳兹曼方程。问题：中子输运方程比较精确地描述了中子在反应堆内的运动和分布，但由于其是含有空间位置r，能量E和运动方向等六个变量的偏微分积分方程，因此求解是一个非常复杂的过程，只有在个别简单情况下，才能求出解析解。第三节 中子扩散2.问题解决41扩散近似：假定反应堆内中子在

28、介质核上的碰撞散射是杂乱无章且各向同性的（中子沿各个方向运动散射出来的中子数相等），满足分子扩散的斐克定律。扩散方程：不考虑中子运动方向后简化的中子输运方程称为扩散方程。实际中大型反应堆的堆芯内中子运动的方向接近各向同性，同时这种简化不影响理解堆系统的倍增特性。中子扩散方程扩散近似背景： 扩散现象：由物理量梯度引起的使该物理量平均化的物质迁移现象。由浓度梯度引起的称分子扩散；由温度梯度引起的称热扩散；由外力(如压力、电场或磁场等)梯度引起的称强制扩散，等等。扩散是许多重要的传质过程（例如蒸馏、吸收、热扩散、电解和电泳等）的基础。中子在反应堆内的迁移也可以近似为扩散行为。 第三节 中子扩散2.问

29、题解决421）斐克定律中子输运（包含中子运动方向）中子扩散（不包含中子运动方向）斐克定律适用的条件首先假设：1）无限均匀介质；2）弱吸收介质，即 ；3）实验室系中散射是各向同性；4）中子通量密度是随位置缓慢变化的函数；3.扩散条件与求解43斐克定律描述：单位时间内穿过垂直于流动方向的单位面积的净中子数和中子通量密度的关系。sa推导斐克定律示意图44n 扩散近似下，中子与原子核多次碰撞，使得中子在反应堆内以杂乱无章的的折线进行运动。n 此种扩散运动使得中子从密度高的区域转移到密度低的区域。n 中子扩散的斐克定律可以严格从输运方程做一些近似得到。n 为简单和物理概念的清晰起见，这里从中子扩散的物理

30、过程推导。 将计算中子流密度的那一点取做坐标系原点。为了确定中子流密度J J，可以通过计算J J在x、y、z三个方向上的分量。 对于Jz，计算中子穿过原点处xy平面上面积dA的速率。散射中子：系统内无源，穿过dA的中子只能是来自散射。45在dV中散射的中子数：因各向同性散射，射向dA方向的几率与dV所在的点对于dA所张立体角成正比而为： 射向dA方向的中子要与经过的路径上发生散射，离开原来方向，能够到达dA的几率为： ，（ ，弱吸收介质）。dVS24/cosrdArteS斐克定律推导斐克定律推导46dV中能到达dA的中子数为：球坐标系下： 代表沿负Z方向的中子流密度，即单位时间内向Z-方向穿过

31、A表面的中子数，对于xy平面上方向积分：将在原点展开为泰勒级数，展开到一次项： rSterdAdV24cosddrdrdVsin2 0202/0sincos4rrSdrddedAdAJSZ.)()()()(0000zzyyxxrZJ随空间缓慢变化的假定。斐克定律推导斐克定律推导(续续1)47球坐标下： 代入上式，且含cos和sin的项积分为0，得到：则每秒沿负z方向穿过单位面积的中子数为注意：最终得到：020)(64zJtstsZ斐克定律推导斐克定律推导(续续2)cos;sinsin;cossinrzryrx 202/0000sincoscos)(4rrszddrdrzeJt2002/022/

32、0/1 ;/13/1cossin ; 2/1cossintttdrredreddrtr弱吸收情况下a0，ts。进一步得到：00)(614zJsZ48同理，我们可以算得单位时间沿着正z方向穿过xy平面上的单位面积的中子数：于是沿z方向上的净中子流为：00)(614zJsZ0)(31zJJJsZZZ斐克定律推导斐克定律推导(续续3)49同理可得沿x及y正方向的净中子流密度分别为：于是得到总的中子流密度：也可以写成：上式称为斐克定律，表示中子流密度正比于负的中子通量密度的梯度。中子总是从高中子密度区向低中子密度区总体迁徙。其比列常数称为扩散系数，用符号D表示。D具有长度量纲：0)(31xJsx0)(

33、31yJsykjiJzyxJJJ331ssDDDgradJJ 或斐克定律推导斐克定律推导(续续4)中子平衡思想源（产生率）吸收率泄漏率 中子数变化率2）中子扩散方程建立中子平衡3.扩散条件与求解zxy例如，通过平行于x-y平面的两个平面泄漏出体积元的中子净泄漏率。/xy的平面：同样地，/xz平面： ； /yz平面：得出单位体积总的泄漏率为：dVzDdxdydzzDdxdyzzDdxdyJJzdzzzdzz)()()(2222dVyD)(22dVxD)(222222222222222)()(DzyxDzyxD50中子平衡思想源（产生率）吸收率泄漏率 中子数变化率51ttrvtrStrtrDa),

34、(1),(),(),(2单速中子扩散方程 为了研究问题简单，先假定堆内中子具有相同的能量，即单速中子。同时考察一个体积元中单速中子与核（包括燃料，慢化剂等）中的相互作用。中子扩散方程建立吸收率),(),(ErEra中子数变化率tErvtErn),(1),(建立单速中子扩散方程为：建立单速中子扩散方程为：稳态情况， 。0t2为拉普拉斯算符 52直角坐标：柱坐标：球坐标： 2222222xxx2222222211zrrrr222222sin1)(sinsin12rrrrr扩散方程求解的边界条件 扩散方程是一个微分方程式，因此并不能为物理图像提供完整表述。其对应一般解（通解）中含有任意的积分常数，为

35、了确定这些任意常数的适当数值，就必须根据实际问题通过边界条件的形式来确定唯一解。常用的边界条件：（1）扩散方程适用的范围内，中子通量密度是非负的且有限大小实数；（2）具有不同扩散性质的两种介质的交界处，垂直交界面方向上净中子流密度相等，两种介质内的中子通量密度相等；BBAABxAxdxdDdxdDJJ|BA53常用的边界条件：（3）在介质与真空（或空气）交界面上，中子通量密度梯度应使通量密度在界面外侧外推距离处为零。（外推距离处 0）54sssxdddxddxdJ3223061400000在交界面上，扩散方程的简单输运修正扩散方程的简单输运修正斐克定律假定L系各向同性散射，实际上 L系中的散射

36、是各向异性的。只有当靶核为重核的时候才可以近似成各向同性散射。需要对扩散系数加以修正。1）扩散系数D的修正 修正前：修正后：2）外推距离d的修正修正前：修正后： 331SSDD或331)1 (310trtrSDD或55sd132trd17104. 0A320应用举例：应用举例：在无限介质内点源单速中子扩散在无限介质内点源单速中子扩散56问题：设在非增殖无限大均匀介质内有一个点中子源，每秒产生S个单速中子，各向同性地向周围介质扩散。让我们来求解介质内的中子通量密度分布。 取球坐标来解点源的扩散是最方便的，假定中子源位于球坐标原点，则球坐标系中的拉普拉氏算符的表达式为：22222222sin1)(

37、sinsin1)(1rrrrrr点源扩散求解：57无源扩散方程： 等式两边同时除以扩散系数D，则扩散方程变为： 中子扩散的各向同性，中子通量密度只与中子扩散的各向同性，中子通量密度只与r r有关。有关。 球坐标下，得： 改写成：02aD0122L0)(r , 01)(1222Ldrdrdrdr0)(r , 012222Ldrdrdrd波动方程边界条件： 58（1）r0处，中子通量密度为有限值；（2）中子源强度与中子流密度的关系： SrJrr)(4lim20drddrdrdrddrdrdrd22222解点源扩散方程时，令新的变量=r，则有：将原方程改写为：01222Ldrd59L20，波动方程的

38、通解为： 即：其中，常数A1，A2由边界条件确定。边界条件：1）除r=0外，为有限值；2）中子源强与中子流密度的关系： 当r时， 有限，得A20。故得到：LrLreAeA21reAreALrLr21reALr1SrJrr)(4lim20关于系数A1：60则中子通量密度分布的最后表达式为 110212020204)1 (4lim)/1(4lim)(4lim)(4limDALreDArLreDArdrdDrrJrSLrrLrrrrreDSrLr4)(reALr1例题：例题：61 假想的单速中子源在无限石墨中扩散，源强为s=106/s。试确定离源0.27、0.54和1.08m远处的中子通量密度。（石

39、墨的L=0.54m，D=0.0094m）解：根据电源单速中子扩散：reDSrLr4)()/(1 109 . 127. 00094. 0410)27. 0(2754. 027. 06sme)/(1 101 . 1)08. 1 ( )/(1 108 . 5)54. 0(2626smsm同理：扩散长度（1）aDL2aDL1）为了更清楚地了解中子在堆系统里扩散的特性，假定介质为非增殖介质，即中子在堆内只有扩散行为，没有引起裂变，此时S=0，2）同时为稳态系统，即堆系统内的中子总数不变。（普遍扩散方程）（非增殖介质稳态扩散方程）tvSDa1202aD02DaL定义为扩散长度，它是表征中子在介质中扩散特性的一个重要的量。62热中子扩散长度的平方等于热中子从产生点（源点）到被吸收点的均方直线飞行距离的六分之一。r中子实际路径中子在这里被吸收2261rL 63物理意义可以理解为扩散长度的平方值是中子放出点到被吸