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文档简介
1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A4.4.3 3.3 .3 幂级数的运算性质幂级数的运算性质4.4.3 3.4 .4 幂级数幂级数和和函数的性质函数的性质4.4.3 3 幂级数幂级数4.3.3 幂级数的运算性质幂级数的运算性质习例习例1-44.3.4 幂级数幂级数的和的和函数的性质函数的性质加减法加减法乘法乘法除法除法连续性连续性可导性可导性可积性可积性内容小结内容小结 幂级数及和函数的运算幂级数及和函数的运算习题课习题课 内容小结内容小结 常见题型常见题型典型习例典型习例一、幂级数的运算性质一、幂级数的运算性质 21,min
2、RRR ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.)(0 nnnnxba RRx, 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)连续性连续性幂级数 0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR 内连续.二、幂级数的和函数的性质二、幂级数的和函数的性质且幂级数在区间端点收敛时
3、,和函数在该区间端点且幂级数在区间端点收敛时,和函数在该区间端点连续连续. 即幂级数的收敛区间为闭区间时,和函数的连续区即幂级数的收敛区间为闭区间时,和函数的连续区间也是该闭区间间也是该闭区间.可导性可导性幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)可积性可积性幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. xn
4、nnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)幂级数的和函数习例幂级数的和函数习例例例1.33332313322的和函数的和函数求求 nnnxxxx例例2 .2,1111 nnnnnnx并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求例例3 .212,2122122 nnnnnnxn并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求方法方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数数化为可求和的级数(等比级数等比级数).例例 1.33332313322的和函数的和函数求求 nnnx
5、xxx解解,313)1(3limlim11 nnnnnnnnaa . 3 R;,1,31发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 nnx.,)1(,31收敛收敛原幂级数成为原幂级数成为时时当当 nnnx).3 , 3 收敛域为收敛域为,3)(1 nnnnxxs设设. 0)0( s且且 113)(nnnxxs则则 11)3(31nnx.3131131xx xxdxxdxxs0031)( )0()(sxs3ln)3ln( x, 3ln)3ln()( xxs).3 , 3 x 3,3).x 例例 2 .2,1111 nnnnnnx并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求解解, 11limlim)
6、1(1 nnaannnn . 1 R;,11发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 nnx.,)1(,11发散发散原幂级数成为原幂级数成为时时当当 nnnx).1 , 1( 收敛域为收敛域为,)()2(11 nnnxxs设设. 1)0( s且且 xnnxdxnxdxxs0110)()(则则 1nnxxx 1.)1(1)1()(2xxxxs 1111)21(2)3(nnnnnn)21( s . 4)211(12 例例 3 .212,2122122 nnnnnnxn并求并求的收敛域与和函数的收敛域与和函数求求解解,21)12(22)12(limlim)1(222121xxnxnuunnnnnnn
7、n ;,2122原级数绝对收敛原级数绝对收敛时时即即当当 xx;,2122原级数发散原级数发散时时即即当当 xx.,212,21212发散发散原级数为原级数为时时即即当当 nnxx).2, 2( 收敛域为收敛域为,212)()2(122 nnnxnxs设设 11202)(nnnxxdxxs2122)2(1xxxxnn 2222)2(2)2()(xxxxxs 21212212)3(12 nnnnnn.2521321)1( s解解1,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1), 1)1()(nnxnnxs则则 11)1(nnxnnx 11)1()(nnxnnxg设设 xnnx
8、dxxnndxxg0110)1()( 1)1(nnxn 1)1()(nnxnxh设设 xnnxdxxndxxh010)1()( 11nnxxx 12)1()(2 xxxh22)1(2xxx )()(xhxg )1(222 xxx3)1(2x )()(xxgxs 3)1(2xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 解解2 ,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1), 1)1()(nnxnnxs则则 11)(nnxx)(11 nnxx)1(2 xxx)1(222 xxxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 内容小结内容小结幂级数的性质1)
9、两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考题思考题 幂级数逐项求导后,收敛半径不变,那幂级数逐项求导后,收敛半径不变,那么它的收敛域是否也不变?么它的收敛域是否也不变?内容小结内容小结1. 数项级数数项级数 正项级数正项级数 交错级数交错级数 任意项级数任意项级数 2. 幂级数幂级数 幂级数的收敛半径与收敛域幂级数的收敛半径与收敛域 幂级数的和函数与数项级数的和幂级数的和函数与数项级数的和 常见题型常见题型 1. 判别数项级数的敛散性判别数项级数的敛散性 2. 求幂级数的收敛半径与收敛域求幂级数的收
10、敛半径与收敛域 3. 求幂级数的和函数求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和求数项级数的和 ;)1(: 111 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例 1).0()1()2ln(: 2nnanan判断级数敛散性判断级数敛散性例例敛?敛?是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收敛?如果收敛,敛?如果收敛,是否收是否收判断级数判断级数例例 ln)1( 31 nnnn. .61514131211 4收敛还是绝对收敛收敛还是绝对收敛如果收敛,说明是条件如果收敛,说明是条件的敛散性的敛散性讨论级数讨论级数例例 .)1)(1( 50敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数例例 nnxn;)1(:
11、111 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例解解nnnnnnnnnnu)1(limlim1 nnnnn)11(lim21 nnnnnn12)11(lim2 01e , 01 根据级数收敛的必要条件,根据级数收敛的必要条件,原级数发散原级数发散 1).0()1()2ln(: 2nnanan判断级数敛散性判断级数敛散性例例解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时又又,)2ln(1 nnnn 从而有从而有, 1)2ln(lim nnn则则.1limaunnn 1101,aa当即时原级数收敛;原级数收敛;,1110时时即即当当 a
12、a原级数发散;原级数发散;,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim nnnn所以原级数也发散所以原级数也发散敛?敛?是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收敛?如果收敛,敛?如果收敛,是否收是否收判断级数判断级数例例 ln)1( 31 nnnn解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数不是绝对收敛的即原级数不是绝对收敛的,ln)1(1级数级数是交错是交错 nnnn由莱布尼茨定理:由莱布尼茨定理:, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)(
13、 xxxf( )ln(1,),f xxx在上单增,ln1单减单减即即xx ,1ln1时单减时单减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛,所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛. .61514131211 4收敛还是绝对收敛收敛还是绝对收敛如果收敛,说明是条件如果收敛,说明是条件的敛散性的敛散性讨论级数讨论级数例例 解解.,1)1(,1)1(1它它为为条条件件收收敛敛原原级级数数为为时时当当 nnn ,)2(1,1,1)2(11收收敛敛收收敛敛时时当当 nnnn ,1211发发散散而而 nn.故故原原级级数数发发散散:,1)3(考考察察加加括括号号的的级级数数时时当当 121)2(1)5141()3121(1nn 且且除除第第一一项项外外均均为为负负项项, 212)12()2()12(lim1121)2(1lim nnnnnnnn,1,11为为发发散散级级数数时时因因为为 nn ,散散形形式式
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