半导体物理-本科-第1章

1、半导体物理半导体物理季振国，杭州电子科技大学2014年度诺贝尔物理学奖 瑞典皇家科学院10月7日宣布，2014年诺贝尔物理学奖将颁给日本科学家赤崎勇、天野浩以及美籍日裔科学家中村修二，理由是他们发明了节能环保的“高亮度蓝色发光二极管”，使推出新型LED灯泡、替代耗能更大的白炽灯成为可能，这一发明引发了照明科技的根本性转变。 LED就是发光二极管。 发光二极管的理论基础就是半导体物理，物质基础是半导体材料。0. 引 言石器时代青铜器时代铁器时代硅（电子材料）时代 信息材料时代 半导体材料与器件是现代信息社会的物质基础。一个时代使用的材料决定了该时代的生产力发展水平。5000 4000 3000

2、2000 1000 0 1000 2000 3000 4000石器时代石器时代 35000年年铜器时代铜器时代 1800年年铁器时代铁器时代 3200年年硅时代硅时代?年年3000BC 1200BC 1968什么是半导体材料？半导体材料与器件 前景美好，但发展空间很大 新材料、新器件不断涌现 光电材料与器件 光子材料与器件 新能源材料与器件 纳米电子学及器件 量子电子学与器件为什么要学习半导体物理 从本质上了解器件的特性、适用范围及局限性。 可以更加有目的地选择合适的器件。 可以更好地设计器件结构。 开发器件的新功能。 发现基于新原理的新器件。第1章. 量子力学初步器件尺寸减小经典电子学不再适

3、用。截止2014年，器件的特征线宽已经降到多少nm？低维材料：纳米点、纳米线、纳米管、二维电子气、团蔟等经典电子学不再适用。量子电子学及器件经典电子学不再适用。需要全新的理论来分析未来电子器件的工作原理。1.1 量子力学的诞生主要基于三个物理实验 黑体辐射 光电效应 原子光谱 1.12 黑体辐射 能吸收入射到其上面全部辐能的物体称为绝对黑体，简称黑体。 辐射出去的电磁波在各个波段是不同的，也就是具有一定的光谱分布。 这种光谱分布与黑体的其温度有关，因而被称之为热辐射。 实际物体不少严格的黑体，不能100吸收辐射能，但基本情况与黑体相同。 白炽灯的颜色与温度有关？题外话 做研究一定要有好奇心、想

4、象力，多问问什么？ 如早晚的太阳为什么比中午的大？ 钱塘江的潮水是如何形成的？潮水的速度是多少？每天为什么有时差？ 南北半球的季节为什么是相反的？ 你穿的衣服上标注的英文字母有什么意义？ THIS IS A DOG. This is a dog.l lmKelvinin ,in ,2896TmTmmll黑体辐射的实验结果与理论基尔霍夫辐射定律基尔霍夫辐射定律 在热平衡状态的物体所辐射的能量与吸收的能量之比与物体本身的物性无关,只与波长和温度有关 。维恩模型：辐射按波长分布符合麦克斯韦速率分布dvevCdvvTvC231)(结果：短波端符合，长波端不符。050010001500200025003

5、0000.00.20.40.60.81.0辐 射强度/任意单位波 长 /纳米 维恩 实验瑞利金斯模型 根据经典电动力学认为空腔腔壁是由电谐振子组成，单位体积内频率在vv+dv之间的振动方式数为 ，dvCv328令每一振动方式能量为kT，得llkTdcdvv48)(结果：长波端符合，短波端不符，而且总辐射能发散（紫外灾难）。1927年Nobel物理学奖01000200030000.00.20.40.60.81.0辐 射强度/任意单位波 长 /纳米 瑞利金 实验困扰 无论用用什么模型模型，均不能解释黑体辐射的实验结果。 19世纪的物理学难题之一。普朗克的量子模型1、能量子： 黑体辐射由带电的谐振子

6、（原子）组成，谐振子以确定的频率振荡，谐振子的能量只能取分立值hv的整数倍，即0hv，1hv，2hv，。hv称为能量子，其中h = 6.6260755 x 10-34 Js为普朗克常数，v为振荡频率。 2、黑体只能以 hv 为能量单位以不连续的方式发射和吸收能量。dvechvvkThv118)(33根据这个假定，频率为v的谐振子的平均能量为00,)(nkTnhvnkTnhvTveehvnkThv令， ，则上式可以化为1111)1 (1111200,ehvehveeeehveeddhveeddhvnnnnTvkTdvCvdvv328)( 将这个平均能量取代瑞利金斯公式中的热运动能将这个平均能量取

7、代瑞利金斯公式中的热运动能kT，得到了与实验结果符合很好的黑体辐射公式：，得到了与实验结果符合很好的黑体辐射公式： llllldehcdehvcdvkThvkThv11818524dvechvdvkThv11823l瑞利金斯瑞利金斯 当频率很高或很低时，普朗克公式分别趋近维恩公式和瑞利金斯公式。dvevCdvvTvC231)(kTdvCvdvv328)(dvechvvkThv118)(33维恩维恩瑞利瑞利-金金普郎克普郎克重要启示光波的能量是不连续的光量子赫兹:1888年发现存在红限（长波长限），即光的波长必须小于某一确定的值。能否发出光电子与光的强度无关，只与频率相关。 1.1.3 光电效应

8、光电效应理论光由光子组成光子的能量： 光子的动量：光速：c hEk 受普朗克黑体辐射光量子的启发，爱因斯坦于1905提出光电效应理论, Nobel Prize 1921。F为材料的功函数 ,或hkhpl电子获得的动能：电子获得的动能： 当光照射到金属表面时，能量为 hv的光子被金属内的电子所吸收，光子把能量全部交给电子。 电子把光子能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引（功函数），另一部分转化为提供电子离开金属表面时的所携带的动能。 对光电效应的几个典型特点进行分析1、 红限或临界频率 当频率小于某个确定值或波长大于某个值时，光子的能量太小以至获得能量后的电子没有足够的能量克服金属表面的功函数

9、而脱出金属表面，因而没有光电子产生。2、光电子的动能只决定于光子的频率 把光看成光子后，光与电子的作用就好像两个经典粒子的碰撞，碰撞后光子把能量全部交给电子，因此电子的能量就是光子原先带有的能量hv。考虑到功函数的影响，逸出金属后光电子的动能为 ，与光强无关。3、光的强度与光子的能量无关，只决定光子的数目多少，从而决定逸出光电子的数目的多少 。 但是，光波的能量与光的强度有关。 hEk 爱因斯坦的光电效应理论明确了光的粒子性，即光除了波动性质外，在某些情况下，还具有粒子的特性。 光的波粒二象性。 1.1.4 Compton 效应 1927年Nobel物理学奖1、X射线光波入射到由轻元素组成的材

10、料后，在散射光中，发现了新的X射线，其波长比入射X射线长，即产生了能量减小了的光波。2 、 波长增量= 随散射角增大而增大。 经典电动力学：电磁波被电子散射后，其波长不应该发生改变。 ,或hkhpl光子能量光子动量 基于爱因斯坦之光电效应中的成功，康普顿用光子的概念来解释X射线的散射现象，结果与实验结果完全符合。 利用经典力学中的刚体弹性碰撞模中的能量和动量变化公式，可以证明，散射后X射线的波长改变为 )cos1 (lmch重要启示光确实具有粒子的特性 光的波粒二象性背景：十九世纪末，人们确信： 1、光是电磁波，如衍射、干涉等现象； 2、 光波的能量与光强有关。最终结论：光同时具有波、粒二象特

11、性波动性：干涉、衍射。粒子性：黑体辐射、光电效应， Compton散射。逆向思维 原先认为的粒子是否反过来也具有波的特性？ 是。原子的光谱实验： 原子光谱为线状光谱，即是分立光谱而不是连续的光谱。氢原子光谱： 谱线出现位置的频率的经验公式是： 式中v为频率，RH为里德堡常数（R=109737），c为光束，m、n为大于零的整数。mnnmRH 1122 1.1.5 原子光谱及原子的结构原子光谱氢原子光谱 氦原子光谱 1. 原子为什么不会崩塌？2. 为什么原子的光谱是线状光谱，它的产生机制是什么？3. 原子光谱线的频率为什么有这样简单的规律？4. 原子光谱线公式中的两个参数为何正好是整数? mnnm

12、RH 1122有关原子的困扰（1）原子的核心模型 1912年，卢瑟福通过a粒子散射实验，提出原子的核心模型，即带正电的原子核在原子的中心，而带负电的外围电子均匀分布在原子中。依据：卢瑟福在实验中发现，在a粒子散射实验中，在大角度方向也有散射后的a粒子。这就说明原子中存在一个带正电的核，因为只有这样，才有可能让a粒子发生大角散射。 （2）波尔的原子模型1912年，卢瑟福通过a粒子散射实验，提出原子的核心模型，但外围电子均匀分布。经典理论：电子将做加速运动，导致发射波长连续分布的电磁波而被原子核俘获。无法用卢瑟福的原子模型解释原子的发射光谱。2211mnRc波尔的原子模型定态：稳定态，原子结构的太

13、阳系模型。电子只能在一些特定的轨道上绕核运动这些轨道彼此分立电子的能量（轨道角动量）只能取不连续值（索末菲）。电子在这样的轨道上运动时，不吸收也不放出能量若电子在轨道间发生跃迁，则放出和吸收能量，吸收或放出的能量为2211mnRchEEnm 假设氢原子中的电子绕核作圆周运动，则向心力 ，所以 。把v2代入得，当 ，即第一波尔半径，此时氢原子位于基态。 氢原子中处于某一能级的电子的能量为由于 ，所以E ，即 222rermvFcmrev22，得量子化由角动量nrmvprL| 222)(nrmv22222222,menrnmremr所以220 1mern 时，remvVTEn2221)2(222m

14、enrreremrem221222.3 , 2 , 1 ,2224nnmeEn氢原子重要推论 原子中电子可取的能量值是分立的或不连续的。 1.1.6 弗朗克赫兹弗朗克赫兹 024681012141601234567电流 /任意单位电压/伏气体电离实验证明了原子中电子的能级结构。 波尔的原子模型及量子论虽然很好地解释了氢原子的线状光谱结构，但存在明显的局限性。1、不能说明较复杂的原子的光谱，即使是比氢稍微复杂的氦原子的光谱也不能很好解释；2、无法给出光谱中各谱线的相对强度；3、只能处理原子那样的定态运动，不能处理处于非束缚状态的电子问题，如电子的散射与衍射问题；4、从理论上讲，能量量子化概念与经

15、典力学不相容，完全是一种人为的假定，没有从物理本质上说清楚。需要一种全新的物理理论需要一种全新的物理理论 量子力学的诞生。量子力学的诞生。量子力学的诞生 1.2 物质波德布罗意：受爱因斯坦光电理论启发，逆向思维提出实物粒子也应具有波粒二象性。)(25.122nmEmEhphkkl对高速运动的粒子，考虑到相对论效应2001cvmvhmvhphl若Ek的单位为电子伏，则 ,或hkhpl与光子类比实例：电子衍射实验， Davisson-Gemer1937年Nobel物理奖Gemer实验现象：电子束入射到金属Ni表面后，在各个角度都有散射，特别是在50度附近发现散射电子峰。经典力学和经典电动力学：电子

16、是粒子，散射只能发生在某一个特定的角度，更不可能发生衍射现象。电子枪的加速电压：54V，即入射电子的动能为54eV；镍单晶的晶格常数为0.215nm。散射极大值出现角度：约50度。经典力学lsind按照物质波电子的动能=54eV电子波的波长=0.167nm;镍单晶的晶格常数0.215nm，则由 电子的衍射极大对应的角度应为50.96度，与实验结果非常接近。电子除了粒子性外，还具有波动性。电子除了粒子性外，还具有波动性。 电子的衍射现象在经典力学中是无法解释的，但用物质波的概念可以非常圆满地得到解释，这种现象是一点也不奇怪的，相反，它正好证明了电子的波动性质。 到此为止，我们已经有了物质波的概念

17、，那么：1、怎样来描述物质波？2、物质波中含有哪些信息？3、物质波的波函数是什么？4、物质波的波函数是否也能像光的波函数一样可以完整地描述该粒子的所有性质？ 1.3 力学量算符与薛定鄂方程力学量算符与薛定鄂方程Schrodinger ,或hkhpl光波)(),(tkxiAetx光子能量：光子动量：Etiiti)(pkikixi)(物理量算符：xiptiExx , ,物体波：),(tx薛定鄂方程薛定鄂方程)()(2222xExVxm动能势能总能量几率波函数哈密顿量tixVxmVTE)(2222xi 动量tiE prLprL)()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLx

18、yzzxyyzx角动量算符1.4 定态波函数 若薛定格方程中的V(r)与t无关，则可通过分离变量法进行时空分离。定波函数分为时间和空间两部分，即令 ，则所以)()(),(tfrtr)(2)()()(22rVtftfdtdriErVrtfdtdtfi)(2)(1)()(122)()(2)()(22rErVtEftfdtdi因此， 这样就把一个含有时间参量的薛定格方程转化成了一个不含时间参量的薛定格方程。 不含时间的薛定格方程称为定态薛定格方程，此时体系能量有确定的值，相应分波函数(r,t)称为定态波函数。 tEietf)(Etiertr)(),(空间波函数(r)可由方程求得)()(222rErV

19、什么是物质波？什么是物质波？ 认为物质波由粒子组成，如日常生活中的水波，声波，是由于粒子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种观点不能解释长时间单个电子的衍射实验。即让电子一次一个地通过小孔，只要时间足够长，底片上仍能观测到衍射花纹。单电子衍射实验说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，而是单个电子就具有波动性。另外，氢原子中只含一个电子，但其中的电子具有波动性。 物质波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。1 1、物质波由粒子？、物质波由粒子？ 认为粒子由波组成，即把粒子看成是波包的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质的波包，因

20、此呈现出干涉和衍射等波动现象。 波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 但是自由粒子的波函数为平面波，其特点是充满整个空间，平面波振幅与位置无关。 如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间而导致发散，这是没有意义的，也是与实验事实相矛盾，因为许多实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内，例如原子中的电子其范围不会超过原子大小的几倍或几十倍 。 2 2、粒子由波组成？、粒子由波组成？ 粒子既不是经典的粒子也不是经典的波 ，或者说它既是粒子又是波，是粒子和波动二重性的统一”。 这个波不再是经典概念的波，而是几率波，表示粒子在某个时刻在某处出现的几率。 同样，粒子也不是经典概念中

21、的粒子，而是具有衍射、干涉等相干叠加性的粒子。3 3、物质波究竟是什么？、物质波究竟是什么？ 1.5 波函数的性质 在经典概念中，粒子有确定质量和电荷等“颗粒性”的属性，在运动过程中有可预测的运动轨道，每一时刻有可以测量的位置、速度和加速度。而经典概念中的波是某个物理量在空间的周期性变化，具有干涉、衍射等现象，即相干叠加性。假定波函数为C (r,t)，则根据波函数的几率解释，在时间t，在r点dV = dx dy dz体积元内找到由描写的粒子的几率为：式中W为出现几率，C是归一化系数。dVtrCtrdW),(),(21.6 归一化波函数 虽然某时刻粒子出现代位置不确定，但由于粒子总要出现在空间对

22、某一位置（加入没有粒子的产生和湮灭），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： 1),(),(2dVtrCtrdW对波函数的要求： 必须是绝对值平方可积的函数，或者积分区域有限，即粒子出现的空间不是无限大。 由此可以求得归一化常数 C。|),(),(),()(),(*FdxxExEdxxExFxEF力学量平均值 从统计学可知，当可能值为离散值时，一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。 |),(),(),()(),(*FxExExExFxEFiiiiii离散连续1.7 波函数的统计解释：实例 单个

23、电子也具有衍射特性 一次入射许多电子产生的衍射图像与一次只入射一个电子但入射次数非常多产生的衍射图像是一致的。 入射前后电子的波函数之间相互关联。劳厄衍射公式)(expEtrpiAp),()(),(trpctrpp入射波散射波即终态可表示成p取各种可能值的平面波的线性叠加。反射前后分别处于p和p的几率为 ppVrpitErpipVdVeeApcdVpErpE)Et()(*)() r ,(),(*弹性散射:E=E pVrppipVrpirpidVepcAdVeepcA)(*)()( 从数学上可知， 等价于d函数， 因此，只有当 且n为整数时上式中的积分才不为0。 VrppidVe)(nrpp2)

24、(电子衍射的量子力学解释 对于晶体，由于r只能取分立的值，因此 也只能取分立值。即散射电子只能出现在某些特定的方向上。 不难看出， 就是要求波矢的改变值等于倒格矢。 可见，通过量子力学完全可以预期电子被晶体衍射的情况。)(ppnrpp2)(波函数的统计解释 电子衍射实验揭示： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果是等价的。玻恩（Born）正是在此实验基础上，提出了前面所述的波函数的统计解释，它是量子力学的基本原理。 1.8 求解定态问题的步骤如何应用薛定格方程求解物质的运动状态呢？一般来说，求解薛定格方程的步骤如下：1. 列出定态 Schrodinger

25、方程；2. 根据边界条件求解能量为E的本征值问题，求出定态波函数及相应的本征值；3. 确定归一化系数。最终归结为一个二阶微分方程的求解问题。1.9 定态问题求解实例 自由电子 一维无限深势阱 一维有限深势阱 谐振子 周期势 氢原子 势垒散射与透射 测不准关系 电子的自旋 微扰与量子跃迁 泡里不相容原理HeisenbergDirac 势能V=0时的电子称为自由电子。自由电子薛定格方程的解为平面波，范围涉及整个空间。但是，实际上电子不可能在整个空间运动，例如晶体中的电子只能在边长为L的晶粒中运动。1.9.1 自由电子)()()()(22222222rEzryrxrmzpizypiyxpixrpip

26、zyxeAeAeAAerF )(Ekm 222221020LLxdxxeeLxLLikxikxxLLikxikxLikxikxxkLkxdxeikieLdxexiheLp000)(11,zzyykpkp 由于整个空间中只有一个粒子，虽然我们不知道某一时刻它出现在何处，但这个粒子肯定只能出现在这个巨大长方体的某处。因此我们有 VAdxdydzeAeAeAeAeAeArdrprpzyxzyxzyxzyxLLLLLLzpizypiyxpixzpizypiyxpixV22/, 2/, 2/2/, 2/, 2/*),(),(1VAAAAzyx1)(因此自由粒子的归一化波函数为1)(rpipeVrF归一化

27、波函数归一化波函数0a1.9.2一维无限深势阱中的粒子axxaxxV或, 00|, 0)(势阱区域内的薛定格方程及边界条件为 0)( 0)0(00)(2)(222aaxxExdxdIIII方程可简化为：这里不难求出，区域II的波函数的通解为 Ek222ikxikxIIBeAe由(0) = (a) = 0，要求aBeAeBAikaika x 00 x 0所以A=-B, 因此,sin2)(kxAxII0sin2kaA注意n不能为0，因为如果n=0，则波函数在所有位置都为0，即总的出现几率为0，这与势阱中存在一个粒子以及粒子的波动性的假设是矛盾的。.321 ,a , , , nnktEinexana

28、txsin2),(xanatx22sin2),(2222manEnEk222对波函数的平方在整个空间积分，其值应为1，即最后，我们得到归一化后的波函数。12sin|220 xdxanAaaAaA22|2，因此归一化系数得：xanaxnsin2)( 对于第n个能级，波函数n有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学中粒子在势阱中运动时每一点上都可能找到粒子，没有节点。 波函数 几率0.00.51.01.52.00.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5X n=1 n=2 n=30.000.250.500.751.001.251.501.752.000.0

29、0.51.01.52.02.53.0(x)2x粒子的能量-分立能级1.势阱中的粒子处于束缚态。2.处于束缚态的粒子的能量不能取连续值，其能量本征值是分立能级。3.粒子不可能出现在势阱中的某些位置。4.处于束缚态的粒子的能量不能为0，因为“静止的波”是没有意义的。 从无限深势阱得到的结论1.9.3 一维有限深方势阱实际上，无限深的势阱是不存在的，因此一般情况下，势阱的高度上有限的 axxVaxxV或, 00|, 0)(0令 00)()(2)(0222xxVExdxdII)()(222xdxxdIIaxxIBeAexaa)( 0E)-2m(V0a区域I考虑到 ，波函数应有限，所以 。 xxIexa

30、A)(区域IIaxxExdxdIIII00)(2)(222ikxikxIIIIeexxkdxxdDC)( ),()(II222解得令 axxVExdxdIIIIII0)()(2)(0222)()(222xdxxdIIIIIIaxxIIIFeEexaa)( 0E)-2m(V0a区域I考虑到 ，波函数应有限，所以 。 xxIIIexaE)(x ax- -ax- )(aFeaDeCeAexxikxikxxaa有限深势阱中波函数从边界处波函数及其导数应该连续这个条件，可得00000000FeDikeCikeAFeDeCeAFikDikCAFDCAaikaikaaikaikaaaaa00000111FD

31、CAeikeikeeeeikikaikaikaaikaikaaaaa以矩阵表示，即00000111aikaikaaikaikaeikeikeeeeikikaaaa要使波函数有非零解，系数矩阵地行列式必须为0，即 具体的解的形式比较复杂，而且得不到k的显式解。但由于上式对k起来限制作用，使得k不能取任意值而只能取一些分立的值。 波函数的基本情况与无限深势阱时的相似，但与无限深势阱不同的是，尽管能量E小于势阱的高度，但粒子仍有一定的几率出现在阱外。 0.00.51.01.52.00.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5X n=1 n=2 n=3 粒子透入阱外的深度即

32、透入深度。不难看出势阱越深，透入深度d越小。当势阱深度无限深时，即V0，时d 0，即回到无限深势阱的情形。 E)-2m(V 10ad势阱外粒子出现的几率不为0！波的特性之一量子力学经典力学1.9.4 谐振子 kxxkxdtxd 其中0222 其解为 x=Asin(t+)，是一个简谐波，因而这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。 在经典力学中，一个质量为 的粒子，在弹性力F = - kx作用下由牛顿第二定律可以写出运动方程为： 自然界中存在大量的简谐振动，如原子在平衡位置附近的小振动，分子的振动等。 在 x =x0 处，V 有一极小值V0 。则在 x = x0附近，势场可以展开成泰勒级

33、数： 202200)(! 21)(! 11)()(00 xxxVxxxVxVxVxxxx20220)(! 210 xxxVVxx200)(21xxkV022xxxVk其中：0)(000 xxxVxVV，若取新坐标原点为(x0,V0)，则上述势场可表示为标准谐振子势的形式：221)(kxxV2k令2221Vx 一些在平衡点附近运动的粒子往往可以用线性谐振动来近似描述。，xdxdVF2线性谐振子的 哈密顿量22222222212212xdxdxpH薛定格方程0)(2120)(2122222222222xxEdxdxxEdxd或：则方程可改写为：，其中令：aaxllExdd20)(222其中渐近解，即当 时波函数的行为。在此情况下，V0的情况axaxVExEE000003232022121222202)(222221,VEEkk令：区区区IIIaxkIIaxkIxk00000321322221211xikxikxikxikxikxikeCCeeBBeeAAe112211321解得：式中第一项是沿x正向传播的平面波，第二项是沿x负向传播的平面波，即反射波。由于在xa的III区不可能存在反射波，所以C=0，于是解为：xikxikxikxikxikCeeBBeeAAe12211321根据波函数及其导数在边界处