第十章质点动力学

1、第10章 质点动力学动力学研究作用于物体上的力和物体运动之间的关系。在动力学问题研究中，不仅要用到静力学中有关力系的简化和受力分析方面的知识，也要用到运动学中有关物体运动分析方面的知识。因此，静力学和运动学是动力学的基础。动力学研究的力学模型是质点和质点系。质点是具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。当物体的几何形状和尺寸对所研究的问题影响很小时，就可以将该物体抽象为质点，这样可以使问题的研究简化。质点系是由有限个或无限个质点组成的系统。刚体是一个特殊的质点系，它由无限个质点组成，并且任意两点间的距离保持不变。动力学的内容极其丰富，动力学在工程技术中的应用也极为广泛，例如各种机器、机

2、构、结构的设计，航空和航于技术等，都要用到动力学的知识。研究动力学问题有很多方法，如建立物体的运动微分方程的方法、动力学普遍定理的方法，以及动静法等。每个内容的研究都从质点入手，然后再过渡到质点系的研究。§10-1 动力学的基本定律例1.三角形块置于光滑水平面上并以水平加速度向右运动。另一物体置于其斜面上，斜面的倾角为。若物体与斜面之间的摩擦系数为，且，如要保持物体在斜面上不滑动，求加速度的最大值及最小值。图10-1解：根据题设条件，为摩擦角，即，故当三角形块不滑动时物体不会静止于斜面上。（）求，当斜面以最小加速度向右运动时，物体还会有沿斜面下滑的趋势，因此，对物体来说，摩擦力F应沿

3、斜面向上，如图。写出牛顿定律在方向的投影式，可得 (a) (b)当斜面向右运动的加速度为最小值时，这时的摩擦力显然达到最大值，即有 (c)因要求物体在斜面上不动，故有 (d)将(c)(d)代入(b)，解出，然后再代入(a)可得 （b）求，当斜面以最大加速度向在运动时，物体有沿斜面向上滑动的趋势，因此，对物体来说，摩擦力F应沿斜面向下，如图。写出牛顿定律在方向的投影式，可得 同样也有 解以上诸式可得 这个问题实际是一个综合问题，根据已知运动求约束力，然后再根据力与求运动及。例2.已知圆锥摆，小球在水平面内作圆周运动，求小球的速度与绳子的张力。图10-2解： 以小球为研究对象，小球受力重力及绳子拉

4、力的作用，小球作圆周运动，写出牛顿定律在自然轴上的投影方程 解得，例3.某科学考察卫星绕地球作椭圆轨道运动，其近地点的高度为，速度为。若地球的引力加速度，地球半径，求该点轨迹的曲率半径。图10-3解：根据牛顿万有引力定律 式中为引力常数，为地球质量，为卫星质量，为卫星到地心的距离。当时，故，为地球半径，则有 列出牛顿定律在自然轴主法线轴向的投影方程有 在近地点时向径，故可得 §10-2 质点运动微分方程例题（质点的直线运动）例1.（力是时间的函数）已知火箭沿垂直轨道发射时的推力变化如图所示。若火箭的质量为，并假设质量保持不变。（1）画出加速度-时间曲线；（2）若初始速度为零，求火箭能

5、达到的最大速度；（3）从开始到发动机关闭，火箭走过的距离。图10-4解：（1）在时间t=0-2秒内，推力，由牛顿定律沿直线轨迹的投影方程有 得 这就是加速度随时间的变化规律，且当时，可得。当2秒时，可得 ，故可画出加速度随时间的变化图如下图所示。图10-5（2）当0t2s时， 可得由 得 积分上式有得 当2t10s时， 积分上式有 得 把t=10s代入上式，可得 这就是发动机关闭时火箭的速度，也就是火箭能达到的最大速度。因发动机这时已关闭，以后不再有推力作用，火箭将在自重作用下减速运动。（3）欲求发动机关闭时，火箭走过的距离，则只需将式子再积分一次。 把t=10s代入上式，可得 不过，这个距离

6、并不是火箭上升的最大高度。当发动机关闭时，由于这时火箭还具有速度，因此它还会继续上升。根据 令，即可求得火箭到达最高点所需的时间。 由 即可求得火箭还能继续上升的高度为 例2.（力是坐标的函数）钢块A的质量m=360kg，放在距电磁吸铁盘s=1.5m的距离处。若吸铁盘的吸引力与距离的平方成反比，即，式中s以m计。求当钢块从静止被吸起后撞击电磁吸铁盘时的速度。图10-6解：钢块简化为一质点，选取坐标轴如图，受力分析，把牛顿第二定律改写为如下形式，然后进行积分。 写力的投影时，力与规定的坐标轴的正方向相同者为正，相反者为负。于是 得 例3.（力是坐标的函数）质量为5kg的活塞可在水平汽缸内运动，气

7、缸的横截面积，气缸内汽体的压强与体积成反比。当x=5cm时，气体压强为（已扣去了外界的大气压），活塞的速度为，方向水平向右，求活塞在停止前走过的距离s。图10-7解：把活塞视为质点，把坐标系的原点建立在气缸壁的底部点，并选轴正向为水平向右。设活塞在任意位置时气体的压强为，依题意这个压强应与气体的体积成反比，即 依题意求比例常数，于是在任意位置气体加给活塞的力为 受力分析，写出牛顿定律在轴的投影式，可得 因与轴相反，故为负 故活塞停止前走过的距离例4.（力是坐标的函数）垂直于地面向上发射一物体，试求该物体在地球引力作用下的运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。解：选地心为坐标

8、原点，轴铅垂向上，如图所示。将物体视为质点。根据牛顿万有引力定律,它在任意位置处受到地球的引力，方向指向地心，大小为图10-8 式中为引力常数，为地球质量，为火箭质量，为火箭到地心的距离。当时，故，为地球半径，则有 牛顿定律在轴的投影式为 积分上式 得 所以物体在任意位置的速度为 可见物体的速度将随的增加而减小。若，则物体在某一位置时速度将减小为零，此后物体将往回落下，为以初速向上发射所能达到的最大高度。将及代入上式，可得若，则不论为多大，甚至为无限大时，速度都不会减小为零。因此欲使物体向上发射而一去不复返时必须具有的最小初速度为如以，代入，则得这就是物体脱离地球引力范围所需的最小初速度,称为

9、第二宇宙速度。 例5.（力是速度的函数）质量为的矿石在静止介质（液体或气体）中由A处自由沉降，如图所示。已知与矿石同体积的介质的质量为，介质对匀速下沉的矿石的运动阻力为，为矿石的沉降速度，系数与矿石形状、横截面尺寸及介质的密度有关。试求矿石的沉降速度及运动规律。图10-9解:将矿石视为质点，取矿石初始位置A为坐标原点，取轴正方向为铅垂向下，如图所示。在介质中沉降的矿石受有重力、介质浮力及运动阻力，矿石运动的初始条件为 于是矿石的运动微分方程为或     (1)式中 在积分之前先就上式讨论两个问题：1)在运动刚开始瞬时，由于，故阻力，加速度可见若矿石在真空

10、中沉降，则,；在空气中,，但在液体中，。2)开始沉降后，随着速度逐渐增大，阻力将很快地增加，而加速度则很快地减小。当速度达到某一数值时，加速度为零，这时的速度称为极限速度，以表示，以后矿石将保持匀速沉降。由前式得 得 将式(1)改写为 分离变量后积分 得 解得 （2）再分离变量后积分得 （3）应用原来符号，则矿石的沉降速度及运动规律分别为 由式（2）可知，沉降速度随时间的增加而增大，从理论上讲。当t时， 趋于极限值c，实际上当nct=4时，v=0.9993c，这已非常接近于c。由于矿石的直径不同，密度不同，在介质中沉降就有不同的速度，在选矿工业中，利用这一原理可将不同的矿石分离开来。此外，研究

11、炸弹、降落伞的沉降及泥沙沉淀等问题都是根据这种原理进行的。质点直线运动小结在解决质点的直线运动问题时应注意以下几点：（1）确定抽象化后质点的对象，给定坐标轴，确定坐标原点及坐标轴的正向。（2）分析质点在任意位置时的受力，最好选质点在坐标轴的正向分析它的受力。分析哪些力是常力，哪些是变力，并判断变力的为数是什么。然后由牛顿第二定律列出运动微分方程式。（3）根据问题的要求，有针对性地把微分方程分离变量，进行积分。积分的上下限可由初始条件来确定。确定初始条件应注意正负号，无论是初始位移或初速度，与坐标轴正向相同的为正，反之为负。质点的平面曲线运动质点的直线运动只是质点运动的一种特殊情况。当作用在质点

12、上的合力方向变化，或者合力的方向虽然不变，但初始条件与合力并不共线时，则质点将作曲线运动。工程上往往较多遇到的是平面曲线运动。1）直角坐标（）设质点运动的平面为平面，如果用直角坐标来描述质点的运动时，则运动微分方程为 上式右端中的诸力可以是常力，也可以是时间的函数，坐标的函数或速度的函数。因此，需根据不同问题的要求，有针对性地把微分方程分离变量，然后进行积分。这组方程对解决自由质点的运动较为方便。2）自然坐标（）如果用自然坐标来描述质点的运动时，则运动微分方程为 （a） （b）同样，上式右端中的诸力可以是常力，也可以是时间的函数，坐标的函数或速度的函数。式（b）往往用来求约束反力，特别是求动反

13、力时常常用到。 3）极坐标（）如果用极坐标来描述质点的运动时，则运动微分方程为 上式右端的诸力往往是坐标的函数，因此常采用这组方程来解决有关弹性力或中心力的问题较为方便。例题（质点的曲线运动）例1 如图所示，桥式起重机上跑车悬吊一重为的重物，沿水平横梁作匀速运动，其速度为，重物的重心至悬挂点的距离为；由于突然刹车，重物的重心因惯性绕悬挂点向前摆动，试求钢绳的最大拉力。   图10-10解:将重物视为质点，作用于其上的力有重力和绳的拉力。刹车前，重物以速度作匀速直线运动。即处于平衡状态，这时重力与绳拉力的大小相等。刹车后，重物沿以悬挂点为圆心、为半径的圆弧向前摆动，

14、考虑绳与铅垂线成角的任意位置时，由于运动轨迹已知，故列出自然轴形式的运动微分方程  （1） （2）由式（2）得其中及均为变量。由式（1）知重物作减速运动，故可判断出在初始位置时绳的拉力最大，其值为可见在一般情况下，钢绳拉力由两部分组成，一部分是重物的重量引起的静拉力，另一部分是由于加速度而引起的附加动拉力。系数称为动荷系数，以表示，即它表示物体加速运动时动拉力与静拉力之比值。如果加速度越大，则动荷系数及动拉力就越大，设计钢绳时应考虑动荷影响。为了避免绳中产生过大的附加动拉力，跑车的行车速度不能太大，应力求平稳；在不影响吊装工作安全的条件下，绳应尽量长些，以减少动荷系数。例2. 质量为

15、的小球以水平速度射入静水之中如图所示。如水对小球的阻力与小球速度的方向相反，而大小成正比，即，为阻力系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。 图10-11解：研究对象为小球，取坐标系如图所示，小球在任意位置处，受力有重力和阻力，列出小球直角坐标形式的运动微分方程有 （1） （2）为求，将上两式分离变量，得 （3） （4）上两式的不定积分为 （5） （6）按题意，时，代入上两式求得两个定分积常数 将值代入式（5）可得 改写为 可得将值代入式（6）可得 整理为或可得再积分 得 取初始位置为坐标原点，即时，代入上两式，求得常数 则质点的运动方程为 例3.质量为的球，用两根各长为

16、的杆支承。支承架以匀角速绕直轴转动。已知，杆及的两端均铰接，杆重忽略不计。求杆所受的力。图10-12解：以小球为研究对象，受力分析时注意杆重不计，故杆对球的作用力的作用线沿杆轴线，设两杆对球的作用力均为拉力，即、，小球还受有重力。小球作圆周运动，可列出小球自然形式运动微分程，即 联立上二式，解得 例4.球磨机的圆筒转动时，带动钢球一起运动，使球转到一定角度时时下落撞击矿石。已知圆筒转到时脱离圆筒，可得到最大打击力。设圆筒内径，求圆筒应有的转速。图10-13解：以钢球为研究对象，将其置于任意位置并受力分析，小球受有重力、圆筒对钢球沿半径方向的支持力及切向支持力。小球在脱离圆筒前作圆周运动，列出钢

17、球自然形式运动微分方程，有 钢球脱离圆筒时应有，由上式可得圆筒的转速为 例5.销钉的质量为，由水平槽杆带动，使其在半径为的固定半圆槽内运动。设水平槽杆以匀速向上运动。求图示位置时圆槽对销钉的作用力。摩擦不计。 图10-14解：以销钉为研究对象，求销钉所受作用力，需确定销钉的加速度。为此，首先对销钉进行运动学分析。以销钉为动点，水平槽杆为动系，作速度四边形如图b，由几何关系可知 为销钉的绝对速度，销钉绝对运动为圆周运动，故有法向加速度为 作加速度图如图c。由动系为平动时点的加速度合成定理，有 沿及方向取投影轴及，将上式向两轴上投影，有 解得 下面对销钉进行动力学分析，销钉受有重力、半圆槽的支持力

18、及水平槽杆的支持力。销钉该瞬时的加速度为，取图示投影轴，列出质点动力学基本方程在轴方向上的投影方程，有 解得 例6.小球从光滑半圆柱的顶点无初速地下滑，求小球脱离半圆柱时的位置角。图10-15解：以小球为研究对象，取任意位置角时受力分析有重力及半圆柱体的支承力，小球未脱离半圆柱时作圆周运动，设小球的速度为，并设小球的切向加速度为。列出小球自然形式运动微分程，即 （1） （2）由式（2）有 （3）对上式进行变换并积分，有 得 （4）将式（4）代入式（1）有 得 小球脱离半圆柱体的条件为，故有 即 或例7.质量为的物块放在质量为的物块的斜面上，设各接触处摩擦不计，求物块下滑时，物块和的加速度。图10-16解：为了建立物体、的动力