第1章随机事件及其概率(数应)

1、第一章第一章随机事件及其概率随机事件及其概率机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 随机事件与样本空间随机事件与样本空间 随机事件的随机事件的概率概率 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 事件的独立性事件的独立性 研究随机现象研究随机现象, 首先要对研究对象进行首先要对研究对象进行观察试验观察试验. 这里的试验这里的试验, 指的是随机试验指的是随机试验. 上一讲中上一讲中, 我们了解到我们了解到, 随机现象有其偶随机现象有其偶然性的一面然性的一面, 也有其必然性的一面也有其必然性

2、的一面, 这种必然这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性有规律性, 称为随机现象的统计规律性称为随机现象的统计规律性. 而概而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科科. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果每次试验的可能结果不止一个如果每次试验的可能结果不止一个, 且且事先不能肯定会出现哪一个结果事先不能肯定会出现哪一个结果, 这样的试这样的试验称为验称为随机试验随机试验. 寿命试验寿命试验 测试在同一工艺条件下

3、生产测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命出的灯泡的寿命. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 随机试验记为随机试验记为E. .随机试验特点随机试验特点:1. 可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行; 2. 试验可能结果不止一个试验可能结果不止一个, 但能确定所有但能确定所有 的可能结果的可能结果;3. 一次试验之前无法确定具体是哪种结果一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现出现.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 E1: 将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次, 分别用分别用“H” 和和“T” 表示正面和反面表示正面和反面, 考虑正反面出现

4、的情况考虑正反面出现的情况; E2: 掷一颗骰子掷一颗骰子, 考虑可能出现的点数；考虑可能出现的点数；E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4: 在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只, 测其寿命测其寿命;E5: 任选一人任选一人, 记录他的身高和体重记录他的身高和体重.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对每一随机试验对每一随机试验, 总是在总是在一定的试验目一定的试验目的下的下讨论试验结果的规律性讨论试验结果的规律性. 对于一只灯泡对于一只灯泡, 如果试验目的是检验产如果试验目的是检验产品是否合格品是否合格, 则对其进行通电

5、试验则对其进行通电试验, 此时试此时试验结果有验结果有“合格合格”和和“不合格不合格”两种情况两种情况. 如果试验目的为寿命如果试验目的为寿命, 则测定其寿命则测定其寿命, 试验结果为非负实数试验结果为非负实数.随机试验的目的随机试验的目的 试验试验E的的所有可能结果所组成的集合称所有可能结果所组成的集合称为为样本空间样本空间, 记为记为S=e; 试验的每一个结果试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个或样本空间的元素称为一个样本点样本点, 记为记为e. 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为一个称为一个基本事件基本事件, 记为记为e. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返

6、回返回 结束结束 样本点样本点e. S 如果试验是将一枚硬币抛掷两次如果试验是将一枚硬币抛掷两次, 则则样本空间由如下四个样本点组成样本空间由如下四个样本点组成: S=(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H, T):(T, H):(T, T):(H, H):其中其中 样本空间在如样本空间在如下意义上提供了一下意义上提供了一个理想试验的模型个理想试验的模型: 在每次试验中在每次试验中必有必有一个样本点出一个样本点出现现且仅有且仅有一个样本一个样本点出现点出现.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目

7、录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果试验是如果试验是测试某灯泡的寿命测试某灯泡的寿命: 则样本点是一非负数则样本点是一非负数, 由于不能确知寿由于不能确知寿命的上界命的上界, 所以可以认为任一非负实数都是所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果一个可能结果, 故样本空间故样本空间S = t : t 0 调查城市居民调查城市居民(以户为单位以户为单位)烟、酒的年烟、酒的年支出支出, 结果可以用结果可以用(x, y)表示表示, x, y分别是烟、分别是烟、酒年支出的元数酒年支出的元数. 也可以按某种标准把支出分为高、中、也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档低三档. 这时这时, 样本

8、点有样本点有(高高,高高), (高高,中中), , (低低,低低)等等9种种, 样本空间由这样本空间由这9个样本点构成个样本点构成. 这时这时, 样本空间由坐样本空间由坐标平面第一象限内一定区标平面第一象限内一定区域内一切点构成域内一切点构成 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 引入样本空间后引入样本空间后, 事件便可以表示为事件便可以表示为样本空间的子集样本空间的子集.例如例如, 掷一颗骰子掷一颗骰子, 观察出现的点数观察出现的点数S = i: i=1, 2, 3, 4, 5, 6样本空间：样本空间：事件事件B就是就是S的一个子集的一个子集B = 1, 3, 5 B

9、发生当且仅当发生当且仅当B中中的样本点的样本点1, 3, 5中的某一中的某一个出现个出现.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在随机试验中在随机试验中, 我们往往会关心某个或我们往往会关心某个或某些结果是否会出现某些结果是否会出现. 试验中可能出现或可试验中可能出现或可能不出现的情况叫能不出现的情况叫“随机事件随机事件”, 简称简称“事事件件”. 记作记作A、B、C 等等. 任何事件均可表示为样本空间的某个任何事件均可表示为样本空间的某个子集子集. 称事件称事件A发生当且仅当试验的结果是子发生当且仅当试验的结果是子集集A中的元素中的元素.机动机动 目录目录 上页上页 下

10、页下页 返回返回 结束结束 事事件件基本事件基本事件复合事件复合事件(相对于观察目的相对于观察目的不可再分解的事件不可再分解的事件)(两个或一些基本事件并在一两个或一些基本事件并在一起起, 就构成一个复合事件就构成一个复合事件)事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中如在掷骰子试验中,观察掷出的点数观察掷出的点数. 事件事件 Ai =掷出掷出i点点 i =1, 2, 3, 4, 5, 6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两个特殊的事件两个特殊的事件:必件然事例如例如, 在掷骰子试验中在掷骰子试验中, “掷出点数小于掷出点数小于7”是必然事件是必然事件;即在试

11、验中必定发生的事件即在试验中必定发生的事件, 常用常用S或或表示表示; 不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件即在一次试验中不可能发生的事件, 常用常用表示表示.而而“掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 A = “至少出一个正面至少出一个正面” = HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH;B = “三次出现同一面三次出现同一面”=HHH, TTT;C = “恰好出现一次正面恰好出现一次正面”=HTT, THT, TTH 对于对于试验

12、试验E1: 将一枚硬币连抛三次将一枚硬币连抛三次, 分分别用别用“H” 和和“T” 表示正面和反面表示正面和反面, 考虑考虑正反面出现的情况正反面出现的情况. 以下以下A 、B、C即为三个即为三个随机事件随机事件:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对于试验对于试验E4: 在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只, 测其寿命测其寿命.D = “灯泡寿命超过灯泡寿命超过1000小时小时” = x: 1000 x0, 则则称称 ()(|)( )P ABP A BP B(1)设设B是一事件是一事件, 且且P(B)0, 则则1. 对任一事件对任一事件A, 0P(A|B)1;2.

13、 P (S | B) =1;3.设设A1, , An互不相容互不相容, 则则P(A1+An )| B = P(A1|B)+ +P(An|B) 前面对概率所证明的一些重要性质前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率都适用于条件概率. 请自行写出请自行写出.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2) 从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点, B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含

14、样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点, 问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多的概率是多少少? 解法解法1: ()(|)( )P ABP A BP B解法解法2: 31(|)62P A B 解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算21366363机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回

15、返回 结束结束 由条件概率的定义由条件概率的定义:即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP而而 P(AB)=P(BA)若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调的位置对调, 有有故故 P(A)0, 则则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录

16、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意P(AB)与与P(A|B)的区别！的区别！例例 甲乙两厂共同生产甲乙两厂共同生产1000个零件个零件, 其中其中300件件是乙厂生产的是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中个零件中, 有有189个个是标准件是标准件, 现从这现从这1000个零件中任取一个个零件中任取一个, 问问这个零件是乙厂生产的标准件这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少的概率是多少?所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准

17、件是标准件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所求为所求为P(AB).设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B).B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概年以上的概率为

18、率为0.8, 活到活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁的这种动物岁的这种动物, 它能活到它能活到25岁以上的概率是多岁以上的概率是多少少?解解：设：设A=能活能活20年以上年以上, B=能活能活25年以上年以上依题意依题意, P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为P(B|A).()(|)( )P ABP B AP A( )0.40.5( )0.8P BP A机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当P(A1A2An-1)0时时, 有有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)推广到多个事件的乘法公

19、式推广到多个事件的乘法公式:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好个球迷好不容易才搞到一张入场券不容易才搞到一张入场券. 大家都想去大家都想去, 只好只好用抽签的方法来解决用抽签的方法来解决.入场入场券券 5张同样的卡片张同样的卡片, 只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”, 其余其余的什么也没写的什么也没写. 将它们放在一起将它们放在一起, 洗匀洗匀, 让让5个人依次抽个人依次抽取取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”后抽比先抽的确实吃亏吗后抽比先抽的确实吃

20、亏吗? 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到底谁说的对呢到底谁说的对呢? 让我让我们用概率论的知识来计算一们用概率论的知识来计算一下下, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后大家不必争先恐后, 你们一个一个你们一个一个按次序来按次序来, 谁抽到谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1, 2, 3, 4,

21、5.显然显然, P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说也就是说, iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到. 也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券个人抽到入场券, 必须必须第第1个人未抽到个人未抽到, )|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 计算得计算得: P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5机动机动 目录目录

22、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理同理, 第第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”, 必须第必须第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入入场券场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说也就是说,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 我们说我们说, 在事件在事件B发生的

23、条件下事件发生的条件下事件A的的条件概率一般地不等于条件概率一般地不等于A的无条件概率的无条件概率. 但但是是, 会不会出现会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢的情形呢? 这个这个问题留待下一节讨论问题留待下一节讨论. 这一讲这一讲, 我们介绍了条件概率的概念我们介绍了条件概率的概念, 给出了计算两个或多个事件同时发生的概给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式率的乘法公式, 它在计算概率时经常使用它在计算概率时经常使用, 需要牢固掌握需要牢固掌握.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复

24、杂事件的概率算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用公式和乘法公式的综合运用. 综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例 有三个箱子有三个箱子, 分别编号为分别编号为1, 2, 3, 1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球, 2号箱装有号箱装有2红红3白球白球, 3号箱号箱装有装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱, 从中任从中任意摸出一球意摸出一球, 求取得红球的概

25、率求取得红球的概率.解解：记：记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1, 2, 3; B =取得红球取得红球即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥B发生总是伴随着发生总是伴随着A1, A2, A3 之一同时发生之一同时发生,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得运用加法公式得123机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 将此例中所用的方法推广到一般的情形将此例中所用的方法推广到一般的情形, 就得到在概率计算中常用的就得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每一项对求和中的每一项运用乘法公式

26、得运用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31( )() ()iiiP BP A P B A代入数据计算得代入数据计算得: P(B)=8/15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设A1, A2, An是两两互斥的事件是两两互斥的事件, 且且P(Ai)0, i =1, 2, n, 另有一事件另有一事件B, 它总是与它总是与A1, A2, An之一同时发生之一同时发生, 则则 niiiABPAPBP1)()()(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设S为随机试验的样本空间为随机试验的样本空间, A1, A2, , An是

27、两两互斥的事件是两两互斥的事件, 且有且有P(Ai)0, i =1, 2, , n, niiiABPAPBP1)()()(称满足上述条件的称满足上述条件的A1, A2, , An为为完备事件组完备事件组.,1SAnii则对任一事件则对任一事件B, 有有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易不易, 但但B总是伴随着某个总是伴随着某个Ai出现出现, 适当地去构造这适当地去构造这一组一组Ai往往可以简化计算往往可以简化计算.niiiABPAPBP1)()()(全概率公式的来由全概率公式的来由, 不难由上式看出不难由上式看出

28、:“全全”部概率部概率P(B)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1, 2, n), 如果如果B是由原因是由原因Ai所引起所引起, 则则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生发生, 故故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起B发生发生概率的总和概率的总和, 即即全概率公式全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我

29、们还可以从另一个角度去理解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由此可以形象地把全概率公式看成为由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果由原因推结果”, 每个原因对结果的发每个原因对结果的发生有一定的生有一定的“作用作用”, 即结果发生的可能即结果发生的可能性与各种原因的性与各种原因的“作用作用”大小有关大小有关. 全概全概率公式表达了它们之间的关系率公式表达了它们之间的关系 .A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机

30、进行射击, 三三人击中的概率分别为人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被机被一人击中而击落的概率为一人击中而击落的概率为0.2, 被两人击中而被两人击中而击落的概率为击落的概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被飞机必定被击落击落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率. 设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1, 2, 3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则则 B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:依题意，依题意，P(B|A1)=0.2

31、, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可求得可求得: 为求为求P(Ai ), 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1, 2, 3 )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP将数据代入计算得将数据代入计算得:P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 于是于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P

32、(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 该球取自哪号箱的可能该球取自哪号箱的可能性最大性最大?实际中还有下面一类问题实际中还有下面一类问题, 是是“已知结果求原因已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见这一类问题在实际中更为常见, 它所求它所求的是条件概率的是条件概率, 是已知某结果发生条件下是已知某结果发生条件下, 求各原因发生可能性大小求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球摸出一球, 发现是红球发现是红球,

33、求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有三个箱子有三个箱子, 分别编号为分别编号为1, 2, 3, 1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球个白球, 2号箱装有号箱装有2红球红球3白球白球, 3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱, 从中从中任意摸出一球任意摸出一球, 发现是红球发现是红球, 求该球是取自求该球是取自1号号箱的概率箱的概率.1231红红4白白?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一

34、球摸出一球, 发现是红球发现是红球, 求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率. )()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B=取得红球取得红球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化将这里得到的公式一般化, 就得到就得到 贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给

35、出给出. 它它是在观察到事件是在观察到事件B已发生的条件下已发生的条件下, 寻找导致寻找导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. 设设A1, A2, An是两两互斥的事件是两两互斥的事件,且且P(Ai)0, i=1, 2, n, 另有一事件另有一事件B, 它总是与它总是与A1, A2, An 之一同时发生之一同时发生, 则则 ni, 21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用, 它可它可以帮助人们确定某结果以帮助人们确定某结果(事件事件B)发生的最可发生的最可能原因能原因.机动机动 目录目录 上页上页 下页下

36、页 返回返回 结束结束 例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005, 患者对患者对一种试验反应是阳性的概率为一种试验反应是阳性的概率为0.95, 正常人对正常人对这种试验反应是阳性的概率为这种试验反应是阳性的概率为0.04, 现抽查了现抽查了一个人一个人, 试验反应是阳性试验反应是阳性, 问此人是癌症患者问此人是癌症患者的概率有多大的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. CCC已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试

37、验结果是阳性试验结果是阳性，求求P(C|A).机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.由由贝叶斯公式贝叶斯公式, 可得可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得: P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义有无意义?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果不做试验如果不做试验, 抽查一人抽查一人, 他是患者的概他

38、是患者的概率率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95, 若试验后得若试验后得阳性反应阳性反应, 则根据试验得来的信息则根据试验得来的信息, 此人是患此人是患者的概率为者的概率为 P(CA)= 0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义癌症有意义.从从0.005增加到增加到0.1066, 将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义有无意义?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一

39、定患有癌症? 试验结果为阳性试验结果为阳性, 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 即使检出阳性即使检出阳性, 尚可不必过早下结论有尚可不必过早下结论有癌症癌症, 这种可能性只有这种可能性只有10.66% (平均来说平均来说, 1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症), 此时此时医生常要通过再试验来确认医生常要通过再试验来确认. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式 在贝叶斯公式中在贝叶斯公式中, P(Ai)和和P(Ai |B)分别分

40、别称为原因的称为原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率. P(Ai)(i=1, 2, n)是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不知道事件不知道事件B是否发生是否发生)的情况下的情况下, 人们对人们对诸事件发生可能性大小的认识诸事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生), 人们对诸人们对诸事件发生可能性大小事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在不了解案情细节在不了解案情细节(事事件件B)之前之前, 侦破人

41、员根据过侦破人员根据过去的前科去的前科, 对他们作案的可对他们作案的可能性有一个估计能性有一个估计, 设为设为 比如原来认为作案可能性较比如原来认为作案可能性较小的某甲小的某甲, 现在变成了重点嫌疑犯现在变成了重点嫌疑犯.例如例如, 某地发生了一个案件某地发生了一个案件, 怀疑对象有甲、怀疑对象有甲、乙、丙三人乙、丙三人.甲甲乙乙丙丙P(A1) P(A2) P(A3) 但在知道案但在知道案情细节后情细节后, 这个这个估计就有了变化估计就有了变化.P(A1 | B)知道知道B发生后发生后P(A2 | B) P(A3 | B)最大最大偏小偏小条件概率条件概率 小结小结缩减样本空间缩减样本空间 定义

42、式定义式 乘法公式乘法公式 全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 显然显然 P(A|B)=P(A) 这就是说这就是说, 已知事件已知事件B发生发生, 并不影响事并不影响事件件A发生的概率发生的概率, 这时称事件这时称事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出6点点, B=第一次掷出第一次掷出6点点,先看一个例子先看一个例子:将一颗均匀骰子连掷两次将一颗均匀骰子连掷两次,设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由乘法公式知由乘法公式知, 当事件当事

43、件A、B独立时独立时, 有有 P(AB)=P(A) P(B)用用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性刻划独立性, 比用比用 P(A|B)=P(A) 或或 P(B|A)=P(B) 更好更好, 它不受它不受P(B)0或或P(A)0的制约的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A)P(B) 则称则称A、B独立独立, 或称或称A、B相互独立相互独立.两事件独立的定义两事件独立的定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大

44、小王的扑克牌中任取一张,记记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件说明事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立是否独立?解解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 前面我们是根据两事件独立的定义作出前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的结论的, 也可以通过计算条件概率去做也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记记 A=抽到抽到K, B=

45、抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 在实际应用中在实际应用中, 往往往往根据问题的实际意根据问题的实际意义去判断两事件是否独立义去判断两事件是否独立. 则则 由于由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 说明事件说明事件A、B独立独立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在实际应用中在实际应用中, 往往根据问题的实际意义往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立去判断两事件是否独立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率的概率, 故认为故认为A、B独立独立.甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目

46、标射击, 记记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中, A与与B是否独立是否独立?例如例如 (即一事件发生与否并不影响另一事件即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率发生的概率) 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一批产品共一批产品共n件件, 从中抽取从中抽取2件件, 设设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1, 2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响第一次抽取的影响.又如又如: 因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无

47、放回的若抽取是无放回的, 则则A1与与A2不独立不独立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 请问请问: 如图的两个事件是独立的吗如图的两个事件是独立的吗? AB即即: 若若A、B互斥互斥, 且且P(A)0, P(B)0, 则则A与与B不独立不独立.反之反之, 若若A与与B独立独立, 且且P(A)0, P(B)0, 则则A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故A、B不独立不独立我们来计算我们来计算:P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 S 问问: 能否在样本空间能否在样本空间S中找两个事件中找两个事件, 它们它们既相互独立又互斥既相互独立又互斥?这两个事件就是这两个事件就是 S和和P( S) =P( )P(S)=0 与与S独立且互斥独立且互斥s不难发现不难发现, 与任何事件都独立与任何事件都独立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设A、B为互斥事件为互斥事件, 且且P(A)0, P(B)0,下面四个结论中下面四个结论中, 正确的是：正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 设设A、B为独立事件为独立事件, 且且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中下面四个结论中,