第7章拉伸和压缩

1、1拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案第第 7 章章 拉伸和压缩拉伸和压缩7-1 横截面上的应力横截面上的应力 7-2 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算7-3 斜截面上的应力斜截面上的应力 7-4 拉（压）杆的变形与位移拉（压）杆的变形与位移7-5 拉（压）杆内的应变能拉（压）杆内的应变能2拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案7-6 低碳钢和铸铁受拉伸和低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能压缩时的力学性能7-7 简单的拉、压超静定问题简单的拉、压超静定问题7-8 拉（压）杆接头的计算拉（压）杆接头的计算3拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工

2、程力学教程电子教案 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。向伸长或缩短。4拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案7-1 横截面上的应力横截面上的应力 在第在第6章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截面章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截面上的内力上的内力轴力轴力 。显然，它是横截面上法向分显然，它是横截面上法向分布内力的合力。布内力的合力。NF5拉伸

3、和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 要判断一根拉压杆是否会因强度不足而破坏，要判断一根拉压杆是否会因强度不足而破坏，仅确定轴力是不够的，还必须联系杆件横截面的几仅确定轴力是不够的，还必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化规律何尺寸、分布内力的变化规律,找出分布内力在各找出分布内力在各点处的集度点处的集度应力。杆件横截面上一点处法向分应力。杆件横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，以符号布内力的集度称为正应力，以符号s s 表示。表示。定义：法向分布内力的集度定义：法向分布内力的集度 m- -m 截面截面 C点处的正应力点处的正应力s s 为为：（7-1）AFA

4、FAddlimNN0 s sD DA：C点处所取的很小的面积；点处所取的很小的面积；D DFN：面积上分布内力的合力。：面积上分布内力的合力。6拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案AFAFAddlimNN0 s s 是矢量，因而正应力也是矢量，其方向垂是矢量，因而正应力也是矢量，其方向垂直于它所在的截面。上式为正应力大小的计算式。直于它所在的截面。上式为正应力大小的计算式。正应力的量纲为正应力的量纲为 。在国际单位制中，应。在国际单位制中，应力的单位为帕斯卡力的单位为帕斯卡(Pascal)，其中文代号是帕，国其中文代号是帕，国际代号是际代号是Pa。 2长长度度力力NF。

5、)Pa10GPa1 ,Pa10MPa1,N/m1aP1(962 7拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 由于由于应力应力在截面上的变化规律还不知道，所以在截面上的变化规律还不知道，所以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件在受无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件在受力变形后力变形后表面表面上的变形情况为根据，由表及里地作上的变形情况为根据，由表及里地作出内部变形情况的几何假设，再根据分布内力与变出内部变形情况的几何假设，再根据分布内力与变形间的物性关系，得到应力在截面上的变化规律，形间的物性关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过静力学中求合力的概念得到以内力

6、表示然后再通过静力学中求合力的概念得到以内力表示应力的公式。应力的公式。8拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平移，但每一条周线仍位于一个平面内。移，但每一条周线仍位于一个平面内。9拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 平面假设：原为平面的横截面平面假设：原为平面的横截面，在杆变形后仍在杆变形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。为平面，且仍与杆的轴线垂直。 这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的所有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度也

7、所有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度也相等。相等。10拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 在工程上常假设材料是均匀的，连续的在工程上常假设材料是均匀的，连续的,而且而且是各向同性的。于是根据拉杆的变形情况，可以推是各向同性的。于是根据拉杆的变形情况，可以推断，横截面上各点处的正应力处处相等。按静力学断，横截面上各点处的正应力处处相等。按静力学求合力的概念可知：求合力的概念可知：AAAFFAAAs ss ss s dddNN11拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案AFN s s（7-2） 对于轴向压缩的杆件，如果它具有足够的抵抗对于轴向压缩

8、的杆件，如果它具有足够的抵抗弯曲的刚度，上式同样适用。弯曲的刚度，上式同样适用。 对应于伸长变形的对应于伸长变形的拉应力为正拉应力为正，对应于缩短，对应于缩短变形的变形的压应力为负压应力为负。AAAFFAAAs ss ss s dddNN式中，式中， 为轴力，为轴力，A 为横截面面积。为横截面面积。NF12拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 外力作用于杆端的方式不同（例如，外力作外力作用于杆端的方式不同（例如，外力作用在杆件端面的局部或者整个端面），在一般情用在杆件端面的局部或者整个端面），在一般情况下只会影响外力作用处附近横截面上的应力分况下只会影响外力作用处附近横

9、截面上的应力分布情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。布情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。 注意上式只在杆上离外力作用点稍远的部分注意上式只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复杂。杂。圣维南原理：圣维南原理：AFN s s13拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案AFmaxNmax s s（7-3） 此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算得的正应力即危险截面上的正应力，称为式算得的正应力即危险截面上的正应力，称为最最大工作应力大工作应力。 当杆受几个轴向外

10、力作用时，从截面法可求得当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式 ，即得杆内的最大应力为：，即得杆内的最大应力为：AFN s s14拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 一横截面面积一横截面面积 A=400mm2 的等直的等直 杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。解：此杆的最大轴力为：解：此杆的最大轴力为：N30000kN30maxN F最大工作应力为：最大工作应力为：MPa75Pa1075N/m1075m 10400N3000062626Nm

11、axmax AFs s例题例题 7-115拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 一横截面为正方一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知如图所示。已知 F=50kN，试求试求荷载引起的最大工作应力。荷载引起的最大工作应力。 解：首先作轴力图。由于此解：首先作轴力图。由于此柱为变截面杆，因此要求出每柱为变截面杆，因此要求出每段柱的横截面上的正应力，从段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。而确定全柱的最大工作应力。例题例题 7-216拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教

12、案工程力学教程电子教案,(MPa87. 0N/m1087. 0mm240240N1050mm240240kN5026232N压应力）压应力） AFs s例题例题 7-217拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案压压应应力力）。压压应应力力），(MPa1 . 1(MPa87. 021 s ss s。MPa1 . 1max s s最大工作应力为：最大工作应力为：压应力）压应力）(MPa1 . 1N/m101 . 1mm370370N10150mm370370kN15026232IINIIII AFs s例题例题 7-218拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电

13、子教案 试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，则试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，则相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。反之，法向分布内力的合力虽通过形心，但正应力反之，法向分布内力的合力虽通过形心，但正应力在横截面上却不一定处处相等。在横截面上却不一定处处相等。答：根据平行力系求合力的办法，可知杆件横截答：根据平行力系求合力的办法，可知杆件横截面上的正应力均匀分布，则其合力必过横截面的面上的正应力均匀分布，则其合力必过横截面的形心（即该合力为轴力），但横截面上的正应力形心（即该合力为轴力），但横截面上的正应力非均匀分布时，它们仍可能只组

14、成轴力。非均匀分布时，它们仍可能只组成轴力。思考题思考题 7-119拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 注意：拉、压杆横截面上正应力的计算公式注意：拉、压杆横截面上正应力的计算公式是建立在变形符合平面假设的基础上的。因而杆件是建立在变形符合平面假设的基础上的。因而杆件受轴向拉伸或压缩时，只有在变形符合这一假设，受轴向拉伸或压缩时，只有在变形符合这一假设，且材料均匀连续的条件下且材料均匀连续的条件下, 才能应用该公式。才能应用该公式。AFN s s 工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，

15、同件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，同一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大现象，即产生所谓现象，即产生所谓“应力集中应力集中”。应力集中处的局。应力集中处的局部最大应力部最大应力 s smax与按等截面杆算得的应力与按等截面杆算得的应力s s0 之比称之比称为应力集中系数为应力集中系数a a 。20拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案0maxs ss sa a 最大应力最大应力 s smax与按等截面杆算得的应力与按等截面杆算得的应力s s0 之比之比即即应力集中系数应力集中系数a a ：21拉伸和压缩拉伸和压

16、缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案7-2 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算 为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度著的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破坏，杆件内最大工作应力破坏，杆件内最大工作应力s smax不能超过杆件材料不能超过杆件材料所能承受的极限应力所能承受的极限应力s su，而且要有一定的安全储，而且要有一定的安全储备。这一强度条件可用下式来表达备。这一强度条件可用下式来表达。numaxs ss s 22拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 上式中，上式中，n 是大

17、于是大于 1 的因数，称为安全因数，的因数，称为安全因数，其数值通常是由设计规范规定的。它包括了两方面其数值通常是由设计规范规定的。它包括了两方面的考虑。的考虑。 一方面是强度条件中有些量的本身就存一方面是强度条件中有些量的本身就存在着主观认识与客观实际间的差异，另一方面则是在着主观认识与客观实际间的差异，另一方面则是给构件以必要的安全储备。给构件以必要的安全储备。 。numaxs ss s 23拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 s ss s max 材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验来测定。来测定。 极限应力除以安全因

18、数得到材料能安全工作的极限应力除以安全因数得到材料能安全工作的许用应力许用应力s s 。于是强度条件又可写作。于是强度条件又可写作 应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类计算：计算：maxNs s AF对对等等截截面面杆杆有有24拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案3. 确定许用荷载确定许用荷载已知杆件的横截面积已知杆件的横截面积 A、材材料的许用应力料的许用应力s s 以及杆件所承受的荷载的情以及杆件所承受的荷载的情况，根据强度条件确定此杆所能容许的轴力，况，根据强度条件确定此杆所能容许的轴力，从而计算荷载的最大容许值。从而计算荷

19、载的最大容许值。2. 选择截面尺寸选择截面尺寸已知荷载及许用应力，根据已知荷载及许用应力，根据强度条件选择截面尺寸。强度条件选择截面尺寸。 s ss s max1. 校核强度校核强度 已知杆件的横截面面积已知杆件的横截面面积A、材料材料的许用应力的许用应力s s 以及杆件所承受的荷载，检验以及杆件所承受的荷载，检验是否满足下式，从而判定杆件是否具有足够是否满足下式，从而判定杆件是否具有足够的强度。的强度。maxNs sFA maxNs sAF 25拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情况、各

20、段长度如图况、各段长度如图(a)所示。所示。BC 段和段和CD 段的横截段的横截面面积是面面积是AB 段横截面面积的两倍。矩形截面的高段横截面面积的两倍。矩形截面的高度与宽度之比度与宽度之比 h/b=1.4，材料的许用应力材料的许用应力s s=160 MPa。试选择各段杆的横截面尺寸。试选择各段杆的横截面尺寸h 和和b。 例题例题 7-326拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案解：解：首先作杆的轴力图首先作杆的轴力图。对于对于AB段，要求段，要求：例题例题 7-3 24263Nm1025. 1)(N/m10160N1020 s sABFAAB27拉伸和压缩拉伸和压缩工程

21、力学教程电子教案工程力学教程电子教案 。24263Nm10875. 1)(N/m10160N1030 s sCDCDFA对于对于CD段，要求段，要求由题意知由题意知CD 段的面积是段的面积是AB 段的两倍，应取段的两倍，应取,m1025. 124 ABA24m1025. 1 ABA例题例题 7-3。则则244m1050. 221025. 1 CDA28拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案可得可得AB 段横截面的尺寸段横截面的尺寸b1及及h1：,m1025. 124 ABA由由。mm3 .13mm,5 . 9,4 . 1m1025. 111211124 hbbhb 。24

22、4m1050. 221025. 1 CDA由由可得可得CD段横截面的尺寸段横截面的尺寸b2及及h2：。mm7 .18mm,4 .13,4 . 1m1050. 222222224 hbbhb例题例题 7-329拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 解：要研究自重对杆的强解：要研究自重对杆的强度的影响，应探讨自重与杆内度的影响，应探讨自重与杆内最大正应力的关系，为此可先最大正应力的关系，为此可先算出杆的任一横截面上的轴算出杆的任一横截面上的轴 力，从而求出杆的最大轴力。力，从而求出杆的最大轴力。例题例题 7-4 图示图示一一等直杆在自重和力等直杆在自重和力 作用作用下的示意

23、图。已知杆的横截面面积为下的示意图。已知杆的横截面面积为A，材料密度为材料密度为r r ，许用应力为，许用应力为s s 。试分析杆的自重对强度的影响。试分析杆的自重对强度的影响。F30拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案作轴力图如下：作轴力图如下：例题例题 7-431拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案gAlFFr r maxN s sr r AgAlF glFAr rs s 由此可见，若杆的由此可见，若杆的r rg l与其材料的与其材料的s s 相比很相比很小，则杆的自重影响很小而可忽略不计。小，则杆的自重影响很小而可忽略不计。例题例题 7-4

24、32拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 有一三角架如图所示，有一三角架如图所示，其斜杆由两根其斜杆由两根 等等边角钢组成，横杆由两根边角钢组成，横杆由两根10号槽钢组成，材料均为号槽钢组成，材料均为Q235 钢，许用应力钢，许用应力s s =120 MPa。 求许用荷载求许用荷载 F 。78080 例题例题 7-533拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案解：解：(1)首先求斜杆和横杆首先求斜杆和横杆的轴力与荷载的关系。的轴力与荷载的关系。,230sin001FFFFy FFFFFx732. 130cos230cos00012 例题例题 7-53

25、4拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 (2) 计算许用轴力。由计算许用轴力。由型钢表查得：型钢表查得：2221cm5 .25274.12,cm7 .21286.10 AA s ss s AFN由由强强度度条条件件知许用轴力为：知许用轴力为： ,.FkN260N10260N/m10120m10721326241 例题例题 7-535拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 kN306N10306N/m10120m105 .25326242 F(3) 计算许用荷载。计算许用荷载。 。杆：杆：kN1302kN26021 FFABAB kN177732.

26、1kN306732. 12 FFACAC杆：杆：故斜杆和横杆都能安全工作的许用荷载应取故斜杆和横杆都能安全工作的许用荷载应取 kN130 F例题例题 7-536拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案7-3 斜截面上的应力斜截面上的应力 实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一定沿实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一定沿横截面发生，有时是沿某一斜截面发生。为了研究横截面发生，有时是沿某一斜截面发生。为了研究其破坏原因，现讨论斜截面上的应力。其破坏原因，现讨论斜截面上的应力。37拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案FF a a问题：问题：? a ap38拉

27、伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案a aa aa aAFp 仿照前面求正应力的仿照前面求正应力的分析过程，同样可知斜截分析过程，同样可知斜截面上的应力处处相等。面上的应力处处相等。a aa acos AA(A为横截面的面积为横截面的面积)a as sa aa aa acoscos0 AFpFF39拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案AF 0s s。，切切应应力力应应力力用用两两个个分分量量来来表表示示：正正a aa aa a s sp),2cos1(2coscos020a as sa as sa as sa aa a p.2sin2sincoss

28、in00a as sa aa as sa a a aa a pa as sa aa aa acoscos0 AFpFF40拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案),2cos1(20a as ss sa a .2sin20a as s a a 应力状态：通过一点的所有各截面上的应力其应力状态：通过一点的所有各截面上的应力其全部情况。全部情况。 单向应力状态：一点处的应力状态由其横截面单向应力状态：一点处的应力状态由其横截面上的正应力即可完全确定。上的正应力即可完全确定。 以上的分析结果对压杆也同样适用。以上的分析结果对压杆也同样适用。 以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜

29、以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截面上的正应力和切应力随截面上的正应力和切应力随a a 角而改变的规律。角而改变的规律。41拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案a as s a as ss sa aa a2sin2,)2cos1(200 和和由由式式中中的的最最大大值值。它它是是a aa as ss ss sa a, 0)1(0 中中的的最最大大值值。它它是是，a aa a s ss s a a2)452sin(245)2(0004500 可知：可知：42拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案2)45(2sin2450004500s ss s

30、 a aa a 拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成45 的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。2)452sin(2450004500s ss s a aa a 43拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案),2cos1(20a as ss sa a 22sin20450s s a as s a a ，思考题思考题 7-2 受轴向拉（压）的杆件，其斜截面上的应力与受轴向拉（压）的杆件，其斜截面上的应力与横截面上的应力有下面的确定关系，那么，对于由横截面上的应力有下面的确定关系，那么，对于由某种材料制成的拉

31、杆如果实际上是由于某种材料制成的拉杆如果实际上是由于 而引起的强度破坏，是否可用而引起的强度破坏，是否可用 作为强度破作为强度破坏的判据呢？坏的判据呢？ a a 045a as ss s 044拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 答：可以。拉（压）杆斜截面上的最大切应答：可以。拉（压）杆斜截面上的最大切应力与横截面上的正应力间保持着固定比例，所以力与横截面上的正应力间保持着固定比例，所以按横截面上的正应力与材料的极限应力相比较所按横截面上的正应力与材料的极限应力相比较所建立的强度条件，与按斜截面上最大切应力所建建立的强度条件，与按斜截面上最大切应力所建立的条件是等价的

32、。立的条件是等价的。),2cos1(20a as ss sa a 22sin20450s s a as s a a ，45拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 (3) 拉（压）杆任意两个互相垂直的截面拉（压）杆任意两个互相垂直的截面 k- -k 和和 n- -n 上上的切应力为：的切应力为：a as s a a2sin20 a as sa as s a a2sin2)90(2sin200)90( 拉（压）杆两个相互垂直截面上的切应力大拉（压）杆两个相互垂直截面上的切应力大小相等，而指向都对着（或都背离）该两截面的小相等，而指向都对着（或都背离）该两截面的交线。交线。46

33、拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案a as s a as s a aa a2sin2,2sin20)90(00 切应力互等定理切应力互等定理：两个相互垂直平面上与这两个：两个相互垂直平面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，也必定大小相等，而面的交线垂直方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）这两个垂直平面的交线。指向都对着（或都背离）这两个垂直平面的交线。 该定理有普遍意义。该定理有普遍意义。47拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案,2cos2200a as ss ss sa a .2sin20a as s a a 20220)2

34、()2(s s s ss sa aa a 单向拉伸（压缩）时的单向拉伸（压缩）时的应力圆：应力圆： 代表斜截面上应代表斜截面上应力的点必落在这个圆周上。力的点必落在这个圆周上。( (4) ) 关于应力圆的概念关于应力圆的概念48拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 s ss ss sa acos2200 CEOCOE由图可知由图可知),2cos1(20a as ss sa a 与与.2sin20a as s a a a a 2 比比较较可可知知，而且而且 与与a a 的转向相同。的转向相同。 s s a asin20 DE49拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程

35、力学教程电子教案(2) 如果是这样，是否说如果是这样，是否说明了明了 以及以及 ？090 a aa a 0900s ss ss sa aa a 思考题思考题 7-3 (1) 应力圆上代表拉（压）杆两个相互垂直截面上应力圆上代表拉（压）杆两个相互垂直截面上应力的点，是否位于直径的两端？应力的点，是否位于直径的两端？50拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案参照右图可得出如下结论：参照右图可得出如下结论：090 a aa a 0900s ss ss sa aa a 思考题思考题 7-3 51拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 图示一从拉杆内取出的一个

36、微小的正六面体图示一从拉杆内取出的一个微小的正六面体（单元体）及其应力状态，求图示斜截面上的应力（单元体）及其应力状态，求图示斜截面上的应力，并求该单元体中的最大切应力及其作用面。，并求该单元体中的最大切应力及其作用面。例题例题 7-652拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案解：解：(1) 作应力圆作应力圆例题例题 7-653拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 求所示斜截面上的应求所示斜截面上的应 力，如图力，如图(c)所示。所示。(3) 求最大切应力，如图求最大切应力，如图(b)所示。所示。最大切应力发生在最大切应力发生在B 及及B点，并有：

37、点，并有：s s 21max 例题例题 7-654拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 最大切应力的作用面如下图所示。最大切应力的作用面如下图所示。例题例题 7-655拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案(1) 图图(e) 所示斜截面上的正应力和所示斜截面上的正应力和切切应力其数值和应力其数值和指向是否正确？指向是否正确？思考题思考题 7-456拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案(2) 图图(a)所示斜截面上的应力，其数值和指向与图所示斜截面上的应力，其数值和指向与图(c)所示是否相同？所示是否相同？参照下图分析参照下图

38、分析思考题思考题 7-457拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案7-4 拉（压）杆的变形与位移拉（压）杆的变形与位移1. 胡克定律胡克定律 实验表明，工程上许多材料，如低碳钢、合金实验表明，工程上许多材料，如低碳钢、合金钢等都有一个线弹性阶段，即：钢等都有一个线弹性阶段，即：lll 1AlFlN （ 为轴力，为轴力，A为截面积）为截面积）NF58拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案引入比例常数引入比例常数 E 有有：EAlFlN 上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中上式即为拉（压）杆的胡克定律。式中E为弹性模为弹性模量，其量纲为量，其量纲为 ，常用

39、单位为，常用单位为MPa。E的的数值随材料而异，是通过试验测定的。数值随材料而异，是通过试验测定的。EA称为抗称为抗拉（压）刚度。拉（压）刚度。2/长长度度力力AFEllN1 (单向应力状态时的胡克定律单向应力状态时的胡克定律)上述公式也适用于压杆。上述公式也适用于压杆。59拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 s sE 该式表达的是均匀伸长时的线应变。该式表达的是均匀伸长时的线应变。llAFN s s,1NAFEll 普遍地用于所有的单向应力状态。普遍地用于所有的单向应力状态。60拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案2. 横向变形系数横向变形系

40、数泊松比泊松比n nddddd1 横向线应变为：横向线应变为：实验证实：实验证实：n n n n ,泊松比泊松比是一与材料有关的无量纲的量，其数值是一与材料有关的无量纲的量，其数值通过实验测定。通过实验测定。(拉压杆内的应力不超过材料的比例极限时拉压杆内的应力不超过材料的比例极限时)。61拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 若在受力物体内一点处已测得两个相互垂直的若在受力物体内一点处已测得两个相互垂直的 x 和和 y 方向均有线应变，则是否在方向均有线应变，则是否在 x 和和 y 方向方向必定必定均有正应力？若测得仅均有正应力？若测得仅 x 方向有线应变，则是否方向有

41、线应变，则是否 y 方向无正应力？若测得方向无正应力？若测得 x 和和 y 方向均无线应变，则方向均无线应变，则是否是否 x 和和 y 方向方向必定均无正应力？必定均无正应力？思考题思考题7-562拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 一横截面为正方形的砖一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知图所示。已知F=50kN,材料的材料的弹性模量弹性模量 E=3103MPa 。试。试求砖柱顶面的位移。求砖柱顶面的位移。例题例题 7-763拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程

42、电子教案 解：解：首先作轴力图。若认首先作轴力图。若认为基础无沉陷，则砖柱顶面下为基础无沉陷，则砖柱顶面下降的位移等于全柱的缩短。降的位移等于全柱的缩短。 由于此柱为变截面杆，由于此柱为变截面杆，且上下两段轴力不等且上下两段轴力不等,因此要因此要分段计算。分段计算。例题例题 7-764拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案IIIIN11N21II1EAlFEAlFlll mm3 . 2m0023. 0m)00146. 000087. 0(m)10370370()103(4)1000150()10240240()103(3)100050(6969 l由此得由此得向向下下）m

43、m(3 . 2 l例题例题 7-765拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 图示两根材料相图示两根材料相同的等截面杆，同的等截面杆，(1) 它它们的总变形是否相同们的总变形是否相同？(2) 它们的变形程度它们的变形程度是否相同？是否相同？(3) 两杆哪两杆哪些相应截面的纵向位些相应截面的纵向位移相同？移相同？思考题思考题 7-666拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案例题例题 7-8 图图(a)是一是一等直杆在自重和力等直杆在自重和力 作用下的示意图。已知杆的横截面作用下的示意图。已知杆的横截面面积为面积为A，材料密度为材料密度为r r ，弹性模

44、量，弹性模量为为E，杆长为杆长为l 。试求杆的总伸长。试求杆的总伸长。F67拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案作轴力图：作轴力图：FN(x)= F+Ar rg x例题例题 7-8解：要求杆的总伸长，首先作出轴力图。解：要求杆的总伸长，首先作出轴力图。68拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案EAPlEAFlEAgAlEAFlElgEAFlxEAgAxFEAxxFlEAxxFxll222dd)(d)()(d2200NN r rr rr r(P为杆的总重量为杆的总重量 P=r rgAl) 自重引起的伸长等于将杆重的一半作用在杆端自重引起的伸长等于将杆

45、重的一半作用在杆端所引起的伸长。所引起的伸长。例题例题 7-8FN(x)= F+Ar rg x69拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案例题例题7-8中杆任意横截面中杆任意横截面m-m的纵向位移是否可由的纵向位移是否可由下式计算：下式计算： xlEAxxFd)(N为什么式中积分的下限为什么式中积分的下限为为l ，而不取为零？为什而不取为零？为什么积分号前取正号？么积分号前取正号？思考题思考题7-7FN(x)= F+Ar rg xmmmm70拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 图示杆系由圆截面钢图示杆系由圆截面钢杆杆1、2组成。各杆的长度组成。各杆

46、的长度均为均为l =2m，直径均为，直径均为d =25mm。已知钢的弹性已知钢的弹性模量模量E=2.1105MPa，荷，荷载载 F=100kN ，变形前，变形前a a = 30o 。试求节点试求节点A的位的位 移移D DA。例题例题 7-971拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案解：解：分析可知结点分析可知结点A只有竖直位移只有竖直位移a aa aa acos20coscos2121NNNNFFFFFF 例题例题 7-972拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案a acos21N21EAFlEAlFll a a2cos2EAFlA )mm(3 .

47、1m0013. 0m)30cos)1025(4101 . 22210100(0223113 A问题：位移与变形的联系与区别？问题：位移与变形的联系与区别？例题例题 7-973拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 应变能（应变能（V ）：）：弹性体在外力作用下产生弹性体在外力作用下产生变形变形时，其内部储存的能量。当外力除去时能量也就时，其内部储存的能量。当外力除去时能量也就随变形的消失而释放出来。这种伴随着弹性变形随变形的消失而释放出来。这种伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为应变能。本节研究拉（的增减而改变的能量称为应变能。本节研究拉（压）杆在线性弹性范围内工作时的应

48、变能。压）杆在线性弹性范围内工作时的应变能。7-5 拉（压）杆内的应变能拉（压）杆内的应变能74拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案)d(d11AFW 外外力力所所作作的的元元功功：AFW21 外力所作的功：外力所作的功：75拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 如果荷载缓慢地增大，而可以不如果荷载缓慢地增大，而可以不计动能，并忽略热能等，根据能量守计动能，并忽略热能等，根据能量守恒原理，荷载作的功在数值上等于拉恒原理，荷载作的功在数值上等于拉杆内的应变能。杆内的应变能。AFV21 EAlFEAlFFV2)(212NNN 对于图示杆，其应变能为：

49、对于图示杆，其应变能为：应变能的单位与功相同，为焦耳应变能的单位与功相同，为焦耳(J)：mN1J1 上面的公式适用于线弹性范围。上面的公式适用于线弹性范围。76拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 拉（压）杆单位体积内所积蓄的应变能拉（压）杆单位体积内所积蓄的应变能比能比能 v 为为EAFEAlEAlFVVv2)(212/22N2Ns s ,21ss v22 Ev 比能的常用单位是：比能的常用单位是：3J/mV 表示体积表示体积 77拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 杆系如图所示，杆系如图所示，(1) 求该系统内的应变能求该系统内的应变能V

50、，(2) 求外力所作的功求外力所作的功W。例题例题 7-978拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案系统的应变能为：系统的应变能为：N1074.57cos23NN21 a aFFF解：解：(1) 例例7-8的结果知的结果知ACABACABVVVVV EAlFEAlFV2N2N1122 mN65mN)1025(4101 . 22)1074.57(231123 V例题例题 7-979拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案(2) 外力的功为：外力的功为：AFW21 mm3 . 1 AmN65mN)103 . 1()10100(2133 W例题例题 7-98

51、0拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案例题例题 7-10 图示的三根圆截面杆，其材料、支撑情况、图示的三根圆截面杆，其材料、支撑情况、荷载荷载 及长度及长度 l 均相同，但直径及其变化不同。均相同，但直径及其变化不同。试比较这三根杆内的应变能。自重不计。试比较这三根杆内的应变能。自重不计。F81拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案解：计算解：计算1 杆的应变能杆的应变能)4/(22222N1dElFEAlFV 计算计算2杆的应变能时，杆的应变能时，应分段计算：应分段计算：12222222167)4/(21674/)(22)4/3()4/(2)4/

52、(VdElFdElFdElFV 例题例题 7-1082拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案同理同理3杆的应变能为：杆的应变能为：122222233211)4/(232114/)2(2)8/7()4/(2)8/(VdElFdElFdElFV 3211:167:1:321 VVV 体积增大，体积增大，1、2、3杆的应变能依次减少。杆的应变能依次减少。例题例题 7-1083拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案例题例题 7-11 如图所示，重量为如图所示，重量为 的重物从高处自由落下，的重物从高处自由落下，在与杆在与杆AB下端的盘下端的盘B 碰撞后不发生

53、回跳。已知自碰撞后不发生回跳。已知自由落距为由落距为h，杆的长度为杆的长度为l， 盘及杆重均可不计。盘及杆重均可不计。试求杆的最大伸长及其横截面上的最大拉应力。试求杆的最大伸长及其横截面上的最大拉应力。P84拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案)(21dddddhPWFVWV sddddKPKF )()(21sdsdddD DD DKhPWKPKV 例题例题 7-11 解：解：碰撞结束后，杆的伸长达到最大碰撞结束后，杆的伸长达到最大值值圆盘的最大位移。相应于这个最大位移的假想圆盘的最大位移。相应于这个最大位移的假想静荷载称为冲击荷载，以静荷载称为冲击荷载，以 表示。表示

54、。相应的应力称为冲相应的应力称为冲击应力，以击应力，以s sd表示。表示。dF85拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案022)(21sd2dsds2dd hKKKhPPKWVEAPlhK ssd,211 APPlhEAK211sdd s ss s EAPlPlhEAK211sdd 材料在线弹性范围内工作时，上述结果正确。材料在线弹性范围内工作时，上述结果正确。例题例题 7-1186拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案(1) 若图中重物不是从高处自由下落而是骤然加若图中重物不是从高处自由下落而是骤然加在杆在杆AB下端下端的盘的盘 B上，上，则冲击系

55、数为多少？则冲击系数为多少？(2) 图图(b)、(c)、(d)所示三根杆件若承受图所示三根杆件若承受图(a)那样那样的冲击，试求它们的冲击系数之比。的冲击，试求它们的冲击系数之比。思考题思考题 7-987拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案思考题思考题7-9参考答案：参考答案：20d KhEAPlhK ssd211(1)88拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案思考题思考题7-9参考答案：参考答案：EAPlhK ssd,211)(, )(21sdsdddKhPWKPKV (2)89拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案3211

56、:167:1:3d2d1d KKK3211:167:1:3s2s1s 思考题思考题7-9参考答案：参考答案：90拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案(3) 推导公式推导公式 时略去了碰撞过程时略去了碰撞过程中能量的损失，那么由此算得的中能量的损失，那么由此算得的Kd是偏大还是偏是偏大还是偏小？小？sd211hK 偏大。偏大。故算得的故算得的所以所以，答：因为答：因为dsdssd2d211211, 022KhKhhKKWV 91拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案7-6 低碳钢和铸铁受拉伸低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能和压缩时的力学性能1.

57、材料的拉伸和压缩试验材料的拉伸和压缩试验 圆截面试样：圆截面试样：l = 10d 或或 l = 5d(工作段长度称为工作段长度称为标距标距)。 矩形截面试样：矩形截面试样： 或或 。 Al3 .11 Al65. 5 拉伸试样拉伸试样 92拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案试验设备试验设备 ：(1) 万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。 (2) 变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。仪器。 圆截面短柱圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能用于测试金属材料的力学性能) 31 d

58、l正方形截面短柱正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性用于测试非金属材料的力学性能能) 31 bl 压缩试样压缩试样 93拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 实验装置实验装置（万能试验机）（万能试验机）94拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案2. 低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 拉伸图拉伸图 纵坐标纵坐标试样的试样的抗力抗力F(通常称为荷载通常称为荷载) 横坐标横坐标试样工试样工作段的伸长量作段的伸长量 95拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个

59、阶段：低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段阶段弹性阶段弹性阶段 变形完全是弹性的，变形完全是弹性的，且且l与与F 成线性关系，即此时材料的力学行为符成线性关系，即此时材料的力学行为符合胡克定律。合胡克定律。96拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 (2) 阶段阶段屈服阶段屈服阶段 在此阶段伸长变形急在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很剧增大，但抗力只在很小范围内波动。小范围内波动。 此阶段产生的变形是不此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见在抛光的试样表面上可见大约与轴线成大约与轴线成45的滑移的滑移线线

60、( ，当，当=45时时a 的绝对值最的绝对值最大大)。a as s a a2sin20 97拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案(3) 阶段阶段强化阶段强化阶段 试件的变形主要是试件的变形主要是塑性变形，且变形过程塑性变形，且变形过程中不断发生强化，使抗中不断发生强化，使抗力增加。整个试件的横力增加。整个试件的横向尺寸在缩小。向尺寸在缩小。98拉伸和压缩拉伸和压缩工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案卸载及再加载规律卸载及再加载规律 若在强化阶段卸载，则若在强化阶段卸载，则卸载过程中卸载过程中Fl关系为直关系为直线。可见在强化阶段中，线。可见在强化阶段中，l=le+l