《工程弹性力学基础》

1、弹性力学李凯 课程简介 教 材 工程弹性力学基础周道祥 张伟林 编著 合肥工业大学出版社 参考书参考书 弹性力学复习及解题指导弹性力学复习及解题指导 王俊民王俊民 同济大学出版社同济大学出版社 弹性力学弹性力学 徐芝纶徐芝纶 高等教育出版社高等教育出版社 弹性力学弹性力学 杨桂通杨桂通 高等教育出版社高等教育出版社 工程弹性力学工程弹性力学 赵学仁赵学仁 北京理工大学出版社北京理工大学出版社 工程弹性力学工程弹性力学 黄炎黄炎 清华大学出版社清华大学出版社 铁木辛柯铁木辛柯 （Timoshenko） 弹性理论弹性理论 科学出版社科学出版社 Carlos A.Felippa. Introduct

2、ion to finite element methods. Colorado,2004课程计划与成绩评定 第一章 绪论 第二章 平面问题的基本理论 第三章 用直角坐标解平面问题 第四章 用极坐标解平面问题 第五章 有限单元法解平面问题考核方式：平时成绩（30%）+期末考试（70%）第一章第一章 绪论绪论 研究对象和任务研究对象和任务基本假设基本假设基本概念基本概念发展历史发展历史1.11.1 弹性力学的内容弹性力学的内容1.21.2 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设1.31.3 弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念1.41.4 弹性力学的发展和主要解法弹性力学的发展和主要解法目目 录录弹

3、性力学，弹性力学，是是变形体力学变形体力学的一个重要的一个重要组成部分。组成部分。 基本任务基本任务研究由于受外力研究由于受外力、边界约束或、边界约束或温度改温度改变变等原因，在等原因，在弹性体弹性体内部所产生的内部所产生的应力、应力、形变和位移形变和位移及其分布情况等。及其分布情况等。1.11.1 弹性力学的内容弹性力学的内容材料力学材料力学研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。 弹性力学弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。 结构力学结构力学在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。 课程课程 研究对象研究

4、对象 研究任务研究任务 材料材料力学力学 杆状构件杆状构件分析弹性构件分析弹性构件在弹性阶段的在弹性阶段的应力和位移，应力和位移，校核强度、刚校核强度、刚度和稳定性度和稳定性 结构结构力学力学杆系，即：杆状构件组杆系，即：杆状构件组成的结构成的结构 弹性弹性力学力学一般性构件（杆、板、一般性构件（杆、板、壳、块体）及结构壳、块体）及结构三种力学体系的对比三种力学体系的对比研究采用的假设 弹力弹力：物理问题：物理问题基本假设基本假设力学模型力学模型数学模型解答。精确分析和精确结果数学模型解答。精确分析和精确结果 材力材力：基本假设：基本假设+附加简化假设附加简化假设例如平截例如平截面假设、剪力分

5、布假设等。面假设、剪力分布假设等。 结构力学结构力学：附加简化假设例如分层法忽：附加简化假设例如分层法忽略各层框架相互影响略各层框架相互影响假设不同求解难度不同；结果的复杂程度也不同假设不同求解难度不同；结果的复杂程度也不同工程应用工程应用( (设计设计) )和理论研究的和理论研究的思维方式思维方式不同不同最后的最后的数学数学问题问题弹力：三维数学问题，综合分析的是偏微分方程边弹力：三维数学问题，综合分析的是偏微分方程边值问题。值问题。材力：一维数学问题，求解的基本方程是常微分方程。材力：一维数学问题，求解的基本方程是常微分方程。研究方法研究方法弹力弹力:从从微分单元体微分单元体入手入手,仅由

6、静力平衡、几仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分附加假定。力中的大部分附加假定。材力：借助于直观和实验现象作一些假定，材力：借助于直观和实验现象作一些假定，如如平面假设平面假设等，然后由静力学、几何关系、等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。物理方程三方面进行分析。结果结果不同：不同：弹性力学弹性力学求解求解微分方程得出较微分方程得出较精确精确的解答；的解答；材料力学材料力学建立的是近似理论，得到的是建立的是近似理论，得到的是近近似似的解答的解答；例例1 1：分析深度和跨度相同的直梁在横向荷载：分析深度和跨度相同的直

7、梁在横向荷载作用下的弯曲。作用下的弯曲。弹性力学与材料力学比较弹性力学与材料力学比较按材料力学，应用平面截面假设，得出横截面上的按材料力学，应用平面截面假设，得出横截面上的 正应力（弯应力）正应力（弯应力）, ,按直线分布（按直线分布（M( (y- -3h)/)/I）；）；弹性力学分析的结果并不是按直线分布，而是按曲弹性力学分析的结果并不是按直线分布，而是按曲线变化的。线变化的。弹性力学与材料力学比较弹性力学与材料力学比较因此，材料力学给出的最大正应力误差很大因此，材料力学给出的最大正应力误差很大例例2 2：分析有孔拉伸构件净截面上的拉应力分：分析有孔拉伸构件净截面上的拉应力分布布。弹性力学与

8、材料力学比较弹性力学与材料力学比较按材料力学，通常假定拉应力在净截面上均匀按材料力学，通常假定拉应力在净截面上均匀分布；分布；弹性力学分析的结果，远不是均匀分布，而是弹性力学分析的结果，远不是均匀分布，而是在孔的附近发生高度的应力集中，孔边的最大在孔的附近发生高度的应力集中，孔边的最大拉应力会比平均拉应力大出几倍。拉应力会比平均拉应力大出几倍。弹性力学与材料力学比较弹性力学与材料力学比较应用于非杆件工程结构的力学分析；应用于非杆件工程结构的力学分析；现代大型工程结构中现代大型工程结构中安全性和经济性安全性和经济性评价与分析；评价与分析；弹性力学在弹性力学在机械机械、水利、水利、土木土木、航空、

9、航空等工程学科中占有重要地位；等工程学科中占有重要地位；弹性力学的工程弹性力学的工程应用应用领域领域建筑工程水利工程航空航天工程船舶机械工程杆、板、块体杆、板、块体组合结构组合结构1.11.1 弹性力学的内容弹性力学的内容1.21.2 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设1.31.3 弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念1.41.4 弹性力学的发展和主要解法弹性力学的发展和主要解法目目 录录l基本假设是学科的研究基础。基本假设是学科的研究基础。l超出基本假设的研究领域是固体力学其它学超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。科的研究。弹性力学基本假设弹性力学基本假设为什么要提出基本假定为

10、什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住小的次要因素，抓住主要主要因素因素 建立计建立计算模型算模型 归纳为学科的基本假定。归纳为学科的基本假定。1.2 弹性力学的基本假设1.1. 连续性假设连续性假设 假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。变形后仍然保持连续性。变形后仍然保持连续性。根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的应力等均为物体空

11、间的连续函数连续函数。微观上这个假设不成立微观上这个假设不成立宏观假设。宏观假设。2.2. 均匀性假设均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 物体的弹性性质处处都是相同的。物体的弹性性质处处都是相同的。物体各个部分的物理性质不随物体各个部分的物理性质不随坐标位置坐标位置的变化而改变。的变化而改变。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，可以视为并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，可以视为均匀材料。均匀材料。3. 3. 各向同性假设各向

12、同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。而变化。 宏观假设，材料性能各向同性。宏观假设，材料性能各向同性。当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。异性材料。这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。材料力学性能参数由材料力学性能参数由3636个减少为个减少为2 2个。个。4. 4. 完全弹性假设完全弹性假设 对应一定的温度，如果应力和应变之

13、间存在一一对对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和应关系，而且这个关系和时间时间无关，也和变形无关，也和变形历史历史无关，无关，称为完全弹性材料。称为完全弹性材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。性的应力与应变关系。研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。消除消除时间时间因素对变形体的影响。因素对变形体的影响。假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。内部没

14、有应力。弹性力学求解的应力仅仅是弹性力学求解的应力仅仅是外部作用外部作用（外力或温度改变）产（外力或温度改变）产生的。生的。5. 5. 无初始应力假设无初始应力假设 6. 6. 小变形假设小变形假设 假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。在弹性体的在弹性体的平衡平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。引起的尺寸变化。忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基

15、本方程成为程成为线性线性的偏微分方程组。的偏微分方程组。 弹性力学的基本假设：连续性、均匀性、各向同性、完全弹性、自然应力状态和小变形假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。弹性力学的基本假设1.11.1 弹性力学的内容弹性力学的内容1.21.2 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设1.31.3 弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念1.41.4 弹性力学的发展和主要解法弹性力学的发展和主要解法目目 录录VVQFlim0kjiFZYXX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位

16、：单位：N/m3kN/m3 体力分布集度体力分布集度QxyzOijkXYZl F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；l F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)l X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。一、外力: 其他物体对研究对象（弹性体）的作用力其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。1. 体力体力 ：分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。：分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。体力大小一般用弹性体内单位体积所受力的大小表示，称体力体力大小一般用弹性体内单位体积所受力的大小表示，称体力的集度。的集度。

17、2. 面力面力作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力SQSSQFlim0 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzOijkXYZkjiFZYXX Y Z 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位：1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)l F 是坐标的连续分布函数；是坐标的连续分布函数；l F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;l 的正负号由坐标方向确定的正负号由坐标方向确定。XYZ内力内力 物体承受外力作用，其内部各物体承受外力作用，其内部各部分之间产生相互作部分之间产生相互作用，即为内力。为了显示出这些内

18、力，用一截面截开用，即为内力。为了显示出这些内力，用一截面截开物体物体，并取出其中一部分并取出其中一部分： 其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。们是分布在截面上分布力的合力。1.内力包括力和力矩2.内力同时与位置和截面有关3.弹性力学中，内力是应力的积分。4. 内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。 2 2、应力、应力 应力：内力的集度，即单位面积上的内力。应力：内力的集度，即单位面积上的内力。 取截面的一部分，它的面积为取截面的一部分，它

19、的面积为A A，为物体在该截面上为物体在该截面上A A点的点的应力应力F FA A平均集度为平均集度为F/F/A A，其极限，其极限作用于其上的内力为作用于其上的内力为F F，pAFA lim0全应力全应力p p 、正应力、正应力 、切应力、切应力 通常将全应力通常将全应力 p p 沿垂直于截面和平行于截面两个沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为方向分解为p p正应力正应力剪（切）应力剪（切）应力 与物体的变形和材料强度直接相关的是正应力与物体的变形和材料强度直接相关的是正应力和和切应力切应力。 yxyzoxz正应力正应力 图示单元体面的法线为图示单元体面的法线为y,y,称为称为y y面，应

20、力分量垂直面，应力分量垂直于单元体面的应力称为于单元体面的应力称为正应力正应力。 正应力记为正应力记为y y , ,沿沿y y轴的正向为正轴的正向为正, ,其下标其下标y y表示所表示所沿坐标轴方向。沿坐标轴方向。剪（切）应力剪（切）应力 平行于单元体面的应力平行于单元体面的应力称为称为切应力切应力，用，用yxyx 、yzyz表示，其第一下标表示，其第一下标y y表表示所在的平面，第二下标示所在的平面，第二下标x x、z z分别表示沿坐标轴的方向。分别表示沿坐标轴的方向。如图示的如图示的yxyx、yzyz。xyzoyzyzyxyxyxyzo（2 2）符号规定：）符号规定：正面和负面正面和负面：

21、截面外法线与坐标轴正方向一致，则该面：截面外法线与坐标轴正方向一致，则该面为正面，反之，如果截面外法线与坐标轴负方向一致，为正面，反之，如果截面外法线与坐标轴负方向一致，则该面为负面。则该面为负面。正面正面正面NNN应力的符号应力的符号：正面上的应力沿：正面上的应力沿坐标轴正向为正，沿坐标轴的坐标轴正向为正，沿坐标轴的负向为负；负面上的应力沿坐负向为负；负面上的应力沿坐标轴负向为正，沿坐标轴的正标轴负向为正，沿坐标轴的正向为负。即：向为负。即： “ “”“”； “ “”“” “ “”“”； “ “”“”xyzoxy x x、y y、z z 负负面上的面上的正正的应力分量的表示如图所示。的应力分

22、量的表示如图所示。xyzoz zx zy y yx yz xz x xy yxzox x y y z z zx zx yx yx yz yz zy zy xy xy xz xz ab 可见：正应力以拉应力为正，压应力为负，与材可见：正应力以拉应力为正，压应力为负，与材料力学的符号一致。料力学的符号一致。yxzox x y y z z zx zx yx yx yz yz zy zy xy xy xz xz ab正、负面上，正、负面上，正正的应力分量的应力分量正、负面上，正、负面上，负负的应力分量的应力分量弹性力学材料力学 注意弹性力学切应力符号和材料注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图

23、示中，弹性力学力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。邻两面的的符号是不同的。 在画在画应力圆应力圆时，应按材料力学的时，应按材料力学的符号规定。符号规定。xy yx yx xy 应力分量应力分量 描述描述一点的应力状态一点的应力状态，通常围绕该点取一微小的，通常围绕该点取一微小的正平行六面体，其棱边分别平行于三个坐标轴。各面正平行六面体，其棱边分别平行于三个坐标轴。各面上的应力用沿坐标轴的分量来表示，称为上的应力用沿坐标轴的分量来表示，称为应力分量应力分量。 相对平面上的应力分相对平面上的应力分量在略去高阶小量的

24、意义量在略去高阶小量的意义上大小相等，方向相反。上大小相等，方向相反。xyzo 应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，不是一般的矢量，而是二阶张量。关，不是一般的矢量，而是二阶张量。 333231232221131211 ij（4 4）切应力互等定律）切应力互等定律即即xyxy yxyx , ,yzyz zyzy , , zxzx xzxz证明：连接六面体前后两面证明：连接六面体前后两面中心的直线中心的直线abab为矩轴，列出为矩轴，列出力矩平衡方程：力矩平衡方程：02222 zxyyxzzyyz 同理可得：同理可得：得：得：zyyz xzzxyx

25、xy ,yxzox x y y z z zx zx yx yx yz yz zy zy xy xy xz xz abyyxxyxyxxyxy)(zOxy例：平面问题中正的应力例：平面问题中正的应力应力与面力应力与面力，在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。)(zOxyxfyfxyyfxfxxxy)(zOxyxfyfxyyfxfxxxy例：例：应力应力与与面力面力正方向的关系正方向的关系弹力弹力与材力材力相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同材力：以拉为正材力：以拉为正材力：顺时针向为正材力：顺时针向为正xxxy)(zOxy)(zO例：例：弹力弹力与材力中应力符号对比与材力中应

26、力符号对比 已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。10040804050608060120 xyxzxxyyzyxzyzzzoxy10080406050401206080应力的概念举例3.3.应变应变1.1.线应变线应变: :过该点取三个正交微分线段研究过该点取三个正交微分线段研究,如图所示如图所示：dxdxdydyydzdzzxyzdxdydzdzdydx(1)(1)应变分量应变分量沿沿x方向方向沿沿y y方向方向 沿沿z z方向方向线应变符号规定线应变符号规定伸长为正缩短为负伸长为正缩短为负。( (与正应力的正负号规定相对应）与正应力的正负号规定相对应） 沿两个坐标轴沿两个

27、坐标轴正向正向之间的直角变小为正之间的直角变小为正, ,变大变大为负。（与剪应力正负号规定相对应）为负。（与剪应力正负号规定相对应）之间与之间与之间与dxdzdzdydydxzxyzxyzxyzxyx、(1)(1)剪应变分量剪应变分量角度的变化与材料力学相同。角度的变化与材料力学相同。2 2、剪应变：、剪应变：(2)(2)剪应变符号规定剪应变符号规定所以应变分量共有六个所以应变分量共有六个: :xddy剪应变剪应变例：分析如图所示微分体例：分析如图所示微分体(PA(PA固定固定) )的应力的应力应变状态。应变状态。一点应变状态一点应变状态xyzOPBCAzxyzzyzxyzyyxxzxyxij

28、四四. .位移：位移：物体内物体内任一点任一点位置的移动。一般用在三个坐位置的移动。一般用在三个坐标中的投影表示，符号：标中的投影表示，符号：wvu,变形前变形前zyxp,.,wzvyuxp变形后变形后对比材料力对比材料力学的位移：学的位移：弹性力学位弹性力学位移是针对点移是针对点的，不存在的，不存在角位移。角位移。量纲：量纲：m 或 mm刚体位移刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变对位置不变变形位移变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。各个点的相对位置。位

29、移形式位移形式坐标轴正向为正坐标轴正向为正, ,负向为负。负向为负。位移的符号规定位移的符号规定1.11.1 弹性力学的内容弹性力学的内容1.21.2 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设1.31.3 弹性力学的基本概念弹性力学的基本概念1.41.4 弹性力学的发展和主要解法弹性力学的发展和主要解法目目 录录1 1、发展初期（约于、发展初期（约于1660166018201820）这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。体的受力与变形之间的关系。16781678年，胡克（年，胡克（R.HookeR.Hooke）通过实验发现胡克

30、定律；）通过实验发现胡克定律；伯努利（伯努利（17051705年）和库仑（年）和库仑（17761776年）研究了梁的年）研究了梁的弯曲理论。弯曲理论。 18071807年，杨通过实验提出和测定了材料的弹性模年，杨通过实验提出和测定了材料的弹性模量；量； 1.4 弹性力学的发展和主要解法弹性力学的发展和主要解法弹性力学的发展大致可分为四个时期：弹性力学的发展大致可分为四个时期：2 2、理论基础的建立（约于、理论基础的建立（约于1821182118551855年）年）这个时期建立了线性弹性力学的基本理论，并对这个时期建立了线性弹性力学的基本理论，并对材料性质进行了深入研究。材料性质进行了深入研究。

31、18201820年，纳维建立了各向同性弹性体的方程，其年，纳维建立了各向同性弹性体的方程，其中只有一个参数；中只有一个参数；18281828年，柯西提出应力、应变概念，建立了平衡年，柯西提出应力、应变概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义胡克定律。柯西的工作是微分方程，几何方程和广义胡克定律。柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独近代弹性力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。立的固体力学分支学科。 3 3、线性理论发展时期（约、线性理论发展时期（约于于1854185419071907年）年） 这个时期主要是数学家和这个时期主要是数学家和力学家应用已建

32、立的线性理论力学家应用已建立的线性理论去解决工程实际问题。去解决工程实际问题。18561856年，圣维南年，圣维南（A.J.Saint-VenantA.J.Saint-Venant）建立了）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论，柱体扭转和弯曲的基本理论，提出了圣维南原理；提出了圣维南原理；圣维南圣维南（A.J.Saint-VenantA.J.Saint-Venant）18621862年，年，艾里艾里（G.B.AiryG.B.Airy）提出了应力函数，以求解平面问提出了应力函数，以求解平面问题；题；18821882年，赫兹建立了接触应年，赫兹建立了接触应力理论，求解了接触问题力理论，求解了接触问题；赫

33、兹（赫兹（H.HertzH.Hertz）18501850年及以后，基尔霍夫建年及以后，基尔霍夫建立了平板理论，解决了平板的立了平板理论，解决了平板的平衡和振动问题；平衡和振动问题； 生於德国。曾在海登堡大生於德国。曾在海登堡大学和柏林大学任物理学教学和柏林大学任物理学教授，他发现了电学中的授，他发现了电学中的“基尔霍夫定理基尔霍夫定理”，同时，同时也对弹性力学，特别是薄也对弹性力学，特别是薄板理论的研究作出重要贡板理论的研究作出重要贡献。献。基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchoff(G.R.Kirchoff) )4 4、弹性力学更深入的发展时期（、弹性力学更深入的发展时期（19071907年

34、至今）年至今）19071907年后，非线性弹性力学迅速发展。年后，非线性弹性力学迅速发展。19071907年，卡门提出了薄板的大挠度问题；年，卡门提出了薄板的大挠度问题；卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；力学工作者提出了大应变问题、非线性材料问题力学工作者提出了大应变问题、非线性材料问题（塑性力学等）。（塑性力学等）。19331933年，穆斯海里什维利发展了应用年，穆斯海里什维利发展了应用复变函数复变函数理论理论求解弹性力学问题的方法等。求解弹性力学问题的方法等。另一个重要理论成果是建立另一个重要理论成果是建立能量原理能量原理；提出一系列；提出一系

35、列基于能量原理的近似计算方法。基于能量原理的近似计算方法。许多科学家许多科学家. .像拉格朗日像拉格朗日(J.L.Lagrange)(J.L.Lagrange)，乐甫，乐甫(A.E.H.Love)(A.E.H.Love)，铁木辛柯铁木辛柯(S.P.Timoshenko(S.P.Timoshenko) )做出了做出了贡献。贡献。中国科学家钱伟长、钱学森、徐芝伦、胡海昌等在中国科学家钱伟长、钱学森、徐芝伦、胡海昌等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。重要贡献。钱伟长钱学森胡海昌徐芝纶杨桂通弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法根据已知弹

36、性体的边界形状、弹性常数、物根据已知弹性体的边界形状、弹性常数、物体所受的体力，以及边界上的面力和约束，体所受的体力，以及边界上的面力和约束，来求解弹性体内的应力、形变和位移的未知来求解弹性体内的应力、形变和位移的未知函数。函数。弹性力学问题究竟是如何求解的呢？弹性力学问题究竟是如何求解的呢？uvwxyz 物体的形状、尺寸、体力、面力、约束情况、材物体的形状、尺寸、体力、面力、约束情况、材料的物理常数。料的物理常数。应力、应变、位移共应力、应变、位移共1515个函数。个函数。已知量和待求量已知量和待求量(1)(1)已知量已知量(2)(2)待求量待求量1 1、解析法：、解析法：根据静力学、几何学

37、和物理学等条件，根据静力学、几何学和物理学等条件，建立区域内的微分方程和边界条件，用数学分析方建立区域内的微分方程和边界条件，用数学分析方法求解微分方程的法求解微分方程的边值问题边值问题，得出的解答是精确的，得出的解答是精确的函数解；函数解；2 2、变分法（能量法）：、变分法（能量法）：根据变形体的根据变形体的能量极值原能量极值原理理，导出弹性力学的变分方程，并进行求解。所得，导出弹性力学的变分方程，并进行求解。所得解大多是近似的。解大多是近似的。3 3、差分法：、差分法：将导出的微分方程及边界条件化为差将导出的微分方程及边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解，是微分方程的近似分方程（代数方程）进行求解，是微分方程的近似数值解法。数值解法。弹性力学的主要解法弹性力学的主要解法弹性力学的主要解法可概括如下：弹性力学的主要解法可概括如下：4 4、有限单元法有限单元法：将连续体变换为离散