探索勾股定理456

1、B BA AC C图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积4 44 48 8S SA A+S+SB B=S=SC CC C图甲图甲1.1.观察图甲，小观察图甲，小方格的边长为方格的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的面积各为多的面积各为多少？少？正方形正方形A A、B B、C C的面积有什么关系？的面积有什么关系？C CA AB BB BC CA AC C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？9 916162525S SA A+S+SB B= =S

2、SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8S SA A+S+SB B= =S SC C图甲图甲图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积C CA AB BB BC CA A图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8S SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面

3、积a ab bc ca ab bc cA AB BC CC C图乙图乙S SA A+S+SB B=S=SC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲a ab bc ca ab bc c3.3.猜想猜想a a、b b、c c 之间的关系？之间的关系？a2 +b2 =c2命题命题: :如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为a a、 b b，斜边长为，斜边长为c c ，那么，那么a a2 2 +b +b2 2 =c =c2 2abcaabbccb-ab-a 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边，斜边为为c，那么，那么a2 + b2 =

4、c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理勾股定理cababcabcabcabc确定斜边确定斜边灵活运灵活运用公式用公式？ 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。 毕达哥拉斯有次

5、应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数数之间的关系，之间的关系，于是于是 拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线拿了画笔

6、并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇面积和。他很好奇. 于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：设： 任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边

7、平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。 希腊的著明数学家希腊的著明数学家毕达格拉斯发现了这个毕达格拉斯发现了这个定理，因此世界上许多定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为国家都称勾股定理为“毕达格拉斯毕达格拉斯”定定理为了庆祝这一定理理为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理奉神灵，因此这个定理又有人叫做又有人叫做“百牛定百牛定理理” 由於欧几里得证法的辅助线多了一点由於欧几里得证法的辅助线多了一点, ,而而不如别的证法简洁不如别的证法简洁

8、, ,所以中世纪欧洲的大学生所以中世纪欧洲的大学生无不深感头痛无不深感头痛, ,而有驴桥在此而有驴桥在此, ,愚者莫过愚者莫过之叹之叹! !这就是此定理这就是此定理几何原本卷一命几何原本卷一命题五被称为驴桥定理的主要由来。题五被称为驴桥定理的主要由来。 这个这个史实反映了中世纪欧洲数学的严重衰颓，上史实反映了中世纪欧洲数学的严重衰颓，上述这个定理才只是第一卷第五个命题而已述这个定理才只是第一卷第五个命题而已都已经是都已经是“驴桥驴桥”了其它的相比更难了。了其它的相比更难了。一个周末的傍晚，伽菲尔德突然发现附近的一一个周末的傍晚，伽菲尔德突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着

9、什么，个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为别为3和和4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：伽菲尔德答到：“是是5呀呀”小男小男孩又问道：孩又问道：“如果两条直角边分别为如果两条直角边分别为5和和7，那么这个直角三角形的斜边，那么这个直角三角形的斜边长又是多少

10、？长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理先生，你能说出其中的道理吗？吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法洁的证明方法1881年，伽

11、菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为为“总统总统”证法。证法。周髀算经周髀算经 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 商高商高 数学史话数学史话赵爽弦图赵爽弦图训练巩固训练巩固1 1、 在在RtRtABCABC中，中，=90=90，a a、b b、c c分别是角分别是角A A、 B B、C C所对的三条边。所对的三条边。 (1) (1) 如果如果 a = 3a = 3，= 4= 4，求，求 c c ； (2) (2) 如果如果 c = 13c = 13，b = 12b = 12，求，求 a a； (3) (3) 如果如果 c = 17c = 17，a = 8a = 8，求，求 b b； (4) (4) 如果如果 a:ba:b = 3:4, c=15 , = 3:4, c=15 ,求求 a a、b. b. 2.2.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x x