高中数学总复习资料汇总(必修1-5_)(5分优评后免费下载)

1、 1 / 84高中数学总复习资料汇总（必修 1-5 ）高考数学复习必修 1第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合 A 中，称x属于 A，记为Ax，否则称x不属于 A，记作Ax。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素

2、的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，0 xx分别表示有理数集和正实数集。定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为BA ，例如ZN 。规定空集是任何集合的子集，如果 A是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。便于理解：BA 包含两个意思：A 与 B 相等 、A 是 B 的真子集定义 3 交集，.BxAxxBA且定义 4 并集，.BxAxxBA或定义 5 补集，若,1AxIxxACIA且则称为 A

3、在 I 中的补集。定义 6 集合,baRxbxax记作开区间),(ba，集合,baRxbxax记作闭区间,ba，R 记作).,(定义 7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合A和元素a，要么aA，要么aA，二者必居其一比如：“所有大于 100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如， “较大的树” 、 “较高的人”等都不能构成集合（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的

4、一个元素如：由a，2a组成一个集合，则a的取值不能是 2 / 840或 1（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分如：由12 3上上组成一个集合，也可以写成13 2上上组成一个集合，它们都表示同一个集合帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意a与 a的区别a是集合 a的一个元素，而 a是含有一个元素a的集合，二者的关系是 aa（2）注意与 0的区别是不含任何元素的集合，而 0是含有元素0的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或 R来表示实数集R这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特

5、征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合()xy yx上中的元素是()xy上，这个集合表示二元方程yx的解集，或者理解为曲线yx上的点组成的点集；集合x yx中的元素是x，这个集合表示函数yx中自变量x的取值范围；集合y yx中的元素是y，这个集合表示函数yx中函数值y的取值范围；集合yx中的元素只有一个（方程yx） ，它是用列举法表示的单元素集合（4）常见题型方法：当集合中有 n 个元素时，有 2n 个子集，有 2n-1 个真子集，有 2n-2个非空真子集。二、基础例题（必会）例 1已知243Ay yxxxR上，222By yxxx R上，求AB正解：2243(2)11yxxx，2222(

6、1)33yxxx ，1Ay y，3By y，13AByy解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素） ，均是 y，所以要求出两个集合中 y 的 3 / 84范围再求交集，A 中的 y 范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合例 2 若322 427Aaaa上上，223211122(38)372Baaaaaaaa上上上上，且 2 5AB 上，试求实数a正解：AB=2，5 ，由32275aaa，解得2a 或1a 当 a=1 时，2221aa与元素的互异性矛盾，故舍去1a ；当1a 时，10 5 2 4B 上上上上，此时2 4 5AB 上上，这与 2 5AB 上矛盾，故又舍去1a ；

7、当2a 时，2 4 5A 上上，13 2 5 25B 上上上上，此时 2 5AB 上满足题意，故2a 为所求解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：确定性 互异性 无序性三、趋近高考（必懂）1.（2010 年江苏高考 1）设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，则实数a=_方法：将集合 B 两个表达式都等于 3，且抓住集合三大性质。 【答案】1.2.（2010.湖北卷 2.）设集合 A=22( , )|1416xyx y，B=( , )|3 xx yy ,则 AB 的子集的个数是（ ） A. 4 B.3 C.2 D.1方法：注意研究元素，是点的形式存在，A 是椭圆，B 是指数函数，

8、有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是 22=4【答案】A集合穿针 转化引线（最新）一、集合与常用逻辑用语3.若2:3840:(1)(2)0pxxqxx上，则p是q的（） （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件解析：2:3840pxx，即23x 或2x ，2:23px 4 / 84:(1)(2)0qxx，即1x 或2x ， : 12qx 由集合关系知：pq，而qpp是q的充分条件，但不是必要条件故选（） 4.若kR，则“3k ”是“方程22133xykk表示双曲线”的（） （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）

9、既不充分又不必要条件解析：方程22133xykk表示双曲线(3)(3)03kkk或3k 故选（A） 二、集合与函数5.已知集合222Py yxxQx yxx RR上上上，那么PQ等于（） （A） （0，2） ， （1，1）（B） （0，2） ， （1，1） （C） 1，2 （D）2y y解析：由代表元素可知两集合均为数集，又 P 集合是函数22yx 中的 y 的取值范围，故 P 集合的实质是函数22yx 的值域而 Q 集合则为函数2yx 的定义域，从而易知2PQy y，选（D） 评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元素而错选（）或（） 三、集合与方程6.已

10、知2(2)100Ax xpxxBx x R上上，且AB ，求实数 p 的取值范围解析：集合 A 是方程2(2)10 xpx 的解集，则由AB ，可得两种情况：A ，则由2(2)40p ，得40p ；方程2(2)10 xpx 无正实根，因为1210 x x ， 5 / 84则有0(2)0p上上于是0p综上，实数 p 的取值范围为4p p 四、集合与不等式7. 已知集合222412(21)(1)0Aa axxxaBx xmxm m上上上上，若AB ，求实数 m 的取值范围解析：由不等式22412axxxa恒成立，可得2(2)4(1)0axxa，（）（1）当20a，即2a 时， （）式可化为34x，

11、显然不符合题意（2）当20a时，欲使（）式对任意 x 均成立，必需满足200a上上即2244(2)(1)0aaa 上上解得2Aa a集合 B 是不等式2(21)(1)0 xmxm m的解集，可求得1Bx mxm，结合数轴，只要12m 即可，解得1m 五、集合与解析几何例 6已知集合2()20Axy xmxy上和()10 02Bxy xyx 上上，如果AB ，求实数 m 的取值范围解析：从代表元素()xy上看，这两个集合均为点集，又220 xmxy及10 xy 是两个曲线方程，故AB 的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线220 xmxy与线段10(02)xyx 有公共

12、点，求实数 m 的取值范围 ” 6 / 84由22010(02)xmxyxyx 上上，得2(1)10(02)xmxx ，AB ，方程在区间0，2上至少有一个实数解首先，由2(1)40m ，得3m或1m当 m3 时，由12(1)0 xxm 及121x x 知，方程只有负根，不符合要求；当1m时，由12(1)0 xxm 及1210 x x 知，方程有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间(01上内，从而方程至少有一个根在区间0，2内综上，所求 m 的取值范围是(1 上第二章、函数一、基础知识（理解去记）定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在B 中

13、都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。定义 2 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3x-1 的定义域为x|x0,xR.定义 3 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解

14、析式 y=f(x)中反解 x得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y=x11的反函数是 y=1-x1(x0).补充知识点：定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义 4 函数的性质。（1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，总有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且

15、D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在 7 / 84最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。定义 5 如果实数 ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b） ，集合x|axb,xR记作闭区间

16、a,b，集合x|axb记作半开半闭区间（a,b，集合x|axa记作开区间（a, +） ，集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义 6 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称

17、；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y=x21, u=2-x 在（-,2）上是减函数，y=u1在（0，+）上是减函数，所以 y=x21在（-,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。一、基础知识（初中知识 必会）1二次函数：当a0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线 x=-ab2，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(

18、x0)，其中 x0=-ab2，下同。2二次函数的性质：当 a0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减） ，在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别是x|xx2和x|x1xx2，二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）当=0 时，方程有两个相等的实根 x1=x2=x0=ab2,不等式和

19、不等式的解集分别是x|xab2和空集，f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。3）当0 时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是 R 和.f(x)图象与 x 轴无 8 / 84公共点。当 a0，当 x=x0 时，f(x)取最小值 f(x0)=abac442,若 a0)，当 x0m, n时，f(x)在m, n上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时，f(x)在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出） 。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题

20、由复合命题。一定注意： “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则q；逆否命题：若非 q 则非 p。一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 pq

21、,则 p 是 q 的充分条件；如果 qp，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq但 q 不p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不q 但 pq，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件。二、基础例题（必懂）1数形结合法。例 1（09.江西） 求方程|x-1|=x1的正根的个数.【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=x1的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例 2 （2010.广西模拟） 求函数 f(x)=113632424xxxxx的最大值。【解】 f(x)=222222)0() 1()3()2(xxxx，记点 P(x,

22、 x-2)，A（3，2） ，xyx11x 9 / 84B（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=10) 12(322,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时等号成立。所以 f(x)max=.102.函数性质的应用。例 3 （10、全国） 设 x, yR，且满足1) 1(1997) 1(1) 1(1997) 1(32yyxx，求 x+y.【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x

23、+y=2.例 4 （10、全国） 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，求 a的取值范围。【解】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设 f(1-a)f(a2-1)。又 f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得 0a1。例 5 （10、全国） 设 f(x)是定义在（-，+）上以 2 为周期的函数，对 kZ, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1，已知当 xI0 时，f(x)=x2，求 f(x)在 Ik 上的解析式。【解】 设 xIk，则 2k-10，则由得 n0，设 f(t)=t(42

24、t+1),则 f(t)在（0，+）上是增函数。又 f(m)=f(-n)，所以 m=-n，所以 3x-1+2x-3=0，所以 x=.54 10 / 84)若 m0。同理有 m+n=0,x=54,但与 m0 矛盾。综上，方程有唯一实数解 x=.543.配方法。例 7 （经典例题） 求函数 y=x+12 x的值域。【解】 y=x+12 x=212x+1+212 x+1-1=21(12 x+1)-121-1=-21.当 x=-21时，y 取最小值-21，所以函数值域是-21，+） 。4换元法。例 8 （经典例题） 求函数 y=(x1+x1+2)(21x+1),x0,1的值域。【解】令x1+x1=u，因

25、为 x0,1，所以 2u2=2+221x4,所以2u2,所以222 22u2，122u2，所以 y=22u,u22+2，8。所以该函数值域为2+2，8。5判别式法。例 9 求函数 y=434322xxxx的值域。【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当 y1 时，式是关于 x 的方程有实根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得71y1.又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立，所以函数值域为71，7。6关于反函数。例 10 （10 年宁夏）若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f-1(x)

26、在(-,+ )上也是增函数。 11 / 84【证明】设 x1x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1y2，则因为f(x)在(-,+ )上递增，所以 x1x2 与假设矛盾，所以 y1y2。即 y=f-1(x)在(-,+ )递增。例 11 （经典例题）设函数 f(x)=42314xx，解方程：f(x)=f-1(x).【解】 首先 f(x)定义域为（-，-32）-41，+） ；其次，设 x1, x2 是定义域内变量，且 x1x20,所以 f(x)在（-，-32）上递增，同理 f(x)在-41，+）上递增。在方程 f(x)=f-1(x

27、)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以x,y-41，+）.若 xy，设 xy，则 f(x)=yy 也可得出矛盾。所以 x=y.即 f(x)=x，化简得 3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为 x0，所以 3x4+5x3+5x2+5x+10，所以 x=1.7待定系数法。例 1 （经典例题） 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函数 f(x).【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a0),则由已知 f()=,f()= 相减并整理得

28、（-）（+）a+b+1=0，因为方程 x2-x+1=0 中0，所以 ，所以(+)a+b+1=0.又 +=1,所以 a+b+1=0.又因为 f(1)=a+b+c=1，所以 c-1=1，所以 c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由 f()= 得 a2-(a+1)+2=,所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0.即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.8方程的思想例 2 （10.全国） 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范围。【解】 因为-4f(1

29、)=a-c-1, 12 / 84所以 1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=38f(2)-35f(1),所以38(-1)+35f(3)385+354,所以-1f(3)20.9利用二次函数的性质。例 3 （经典例题） 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 f(f(x)=x 也无实根。【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。所以 f(f(x)x，所

30、以方程 f(f(x)=x 无实根。注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。10利用二次函数表达式解题。例 4 （经典例题）设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足0 x1x2a1,（）当 x(0, x1)时，求证：xf(x)x1；（）设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称，求证：x0.21x【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）当 x(0, x1)时，x-x10, x-x20，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1

31、=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+a10，所以 f(x)x1.综上，xf(x)1，求证：方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 13 / 84【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0.构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。12定义在区间上的二次函数的最值。例 6 （经典例题）当 x 取何值时，函数 y=2224) 1(5xxx取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1-222)

32、1(511xx,令112xu,则 0u1。y=5u2-u+1=5201920191012u,且当101u即 x=3 时，ymin=2019.例 7 设变量 x 满足 x2+bx-x(b-1)，并且 x2+bx 的最小值是21，求 b 的值。【解】 由 x2+bx-x(b-(b+1)，即 b-2 时，x2+bx 在0，-(b+1)上是减函数，所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-21,b=-23.综上，b=-23.13.一元二次不等式问题的解法。例 8 （经典例题） 已知不等式组12022axaaxx 的整数解恰好有两个，求 a的取值范围。【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两

33、根为 x1=a, x2=1-a,若 a0，则 x1x2.的解集为 ax1-2a. 14 / 84因为 1-2a1-a，所以 a0,所以不等式组无解。若 a0，）当 0a21时，x1x2,的解集为 ax1-a.因为 0ax1-a21时，a1-a，由得 x1-2a，所以不等式组的解集为 1-ax1 且 a-(1-a)3，所以 1a2，并且当 1a2 时，不等式组恰有两个整数解 0，1。综上，a 的取值范围是 10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20 恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即 A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有 B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若

34、 A0，B0，C0 且 A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若 A=0，则由 B2+C22BC 得(B-C)20，所以 B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若 A0，则由知0，所以成立，所以成立。综上，充分性得证。15常用结论。定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.绝对值不等式【证明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.综上定理 1 得证。定理 2 若 a,bR, 则

35、 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y.2 xy注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。第三章、基本初等函数一、基础知识（必会） 15 / 841指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为（0，+） ，当 0a1 时，y=ax 为增函数，它的图象恒过定点（0，1） 。2分数指数幂：nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,1。3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 0a1 时，y=logax 为增函数。

36、4对数的性质（M0, N0） ；1）ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）loga（NM）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M（万能恒等式）5）loga nM=n1loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=abccloglog(a,b,c0, a, c1).5. 函数 y=x+xa（a0）的单调递增区间是a,和,a，单调递减区间为0 ,a和a, 0。 （请同学自己用定义证明）6连续函数的性质：若 ab, f(x)在a, b上连续，且 f(a)f(b)0.【证明】 设 f(x)=(b+

37、c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则 f(x)是关于 x 的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)0 且 f(1)0（因为-1a0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例 2 （06） （柯西不等式）若 a1, a2,an 是不全为 0 的实数，b1, b2,bnR，则（niia12）（niib12）(niiiba1)2，等号当且仅当存在R，使 ai=ib, i=1, 2, , n时成立。【证明】 令 f(x)= （niia12）x2-2(niiiba1)x+niib12=niiibxa12)(,因为niia120，

38、且对任意 xR, f(x)0， 16 / 84所以=4(niiiba1)-4（niia12）(niib12)0.展开得（niia12）(niib12)(niiiba1)2。等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在，使 ai=ib, i=1, 2, , n。*注释：根据许多省市的 2011 年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就即可，不需深入做题。例 3（10.全国卷） 设 x, yR+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u=yyxx11的最小值。【解】u=yyxx11=xy+xyxyyx1xy+xy1+2xyyx=xy+xy1+2.令 xy=t，则 0t=xy44

39、)(22cyx,设 f(t)=t+t1,0t.42c因为 0c2，所以 00，所以pq=.251例 5 （经典例题）对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且wzyx1111，求证：a+b=c.【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以w1lga=x1lg70, w1lgb=y1lg70, w1lgc=z1lg70，相加得w1(lga+lgb+lgc)=zyx111lg70，由题设wzyx1111，所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70.所以 abc=7

40、0=257.若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a1.又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7.所以 a+b=c.例 6 （经典例题） 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab.【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得bxcxxaaaaaloglog2logloglog，因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换

41、底公式往往是解题的桥梁。3指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例 7 （经典例题）解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为xxx653221=1。设 f(x)= xxx653221, 则 f(x)在(-,+)上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3.例 8 （经典例题） 解方程组：312xyyxyxyx（其中 x, yR+）.【解】 两边取对数，则原方程组可化为.3lg)(lg12lg)(glxyyxyxyx 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)

42、2-36lgx=0. 18 / 84由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6，代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0.又 y0，所以 y=2, x=4.所以方程组的解为24;112211yxyx .例 9 已知 a0, a1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足00)(22222axakxaxakx.若、同时成立，则必成立，故只需解0)(222akxaxakx. 由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x

43、=kka2)1 (2，代入得kk212k.若 k1，所以 k0，则 k21，所以 0k0，则 Ax+By+C0表示的区域为 l 上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为2,2ED，半径为 32 / 84FED42122。若点 P(x0, y0)为圆上一点，则过点 P 的切线方程为. 0220000FyyExxDyyxx 14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分） ，这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(

44、E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。二、基础例题（必会）1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。例 1 （经典例题） 在 ABC 中，AB=AC，A=900，过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E，求证：ADB=CDE。证明 见图 10-1，以 A 为原点，AC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系。设点 B，C 坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点 D 坐标为（a, 0） 。直线 BD 方程为12ayax， 直线 BC方程为 x+y=2

45、a， 设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2，则 k1=-2。因为 BDAE，所以 k1k2=-1.所以212k，所以直线 AE 方程为xy21，由ayxxy2,21解得点 E 坐标为aa32,34。所以直线 DE 斜率为. 234323aaak因为 k1+k3=0.所以BDC+EDC=1800，即BDA=EDC。例 2 （经典例题）半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为 600。证明 以 A 为原点，平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴，建立直角坐标系见图10-2，设D 的半径等于 BC 边上的高，并且

46、在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB，AC 的交点分别为 E，F，设半径为 r，则直线 AB，AC 的方程分别为xy3,xy3.设D 的方程为(x-m)2+y2=r2.设点 E，F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则,311xy 223xy，分别代入并消去 y 得. 03).(03)(2222222121rxmxrxmx 33 / 84所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。由韦达定理4,2222121rmxxmxx，所以|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-

47、r2)=r2.所以|EF|=r。所以EDF=600。2到角公式的使用。例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1，C2，正 PQR 三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。证明 假设 P，Q，R 在同一支上，不妨设在右侧一支 C1 上，并设 P，Q，R 三点的坐标分别为,1,1,1,332211xxxxxx且 0 x1x2-1，在（1）区域里，求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。解 （1）由已知得, 032, 322, 41xxyyx或. 032,232, 41xxyyx解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=

48、2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距，直线 l 与阴影相交，因为 a-1，所以它过顶点C 时，f(x, y)最大，C 点坐标为（-3，7） ，于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-12，则 l 通过 B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1.6参数方程的应用。例 7 如图 10-5 所示，过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点，在该直线上取 P 点，使 P到直线 y=2 的距离等于|PQ|，求 P 点的轨迹方程。解 设直线 OP 的参数方程为sincostyt

49、x（t 参数） 。代入已知圆的方程得 t2-t2sin=0.所以 t=0 或 t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|.所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sin=-1. 35 / 84当 t=2 时，轨迹方程为 x2+y2=4；当 sin=1 时，轨迹方程为 x=0.7与圆有关的问题。例 8 点 A，B，C 依次在直线 l 上，且 AB=ABC，过 C 作 l 的垂线，M 是这条垂线上的动点，以 A 为圆心，AB 为半径作圆，MT1 与 MT2 是这个圆的切线，确定 AT1T

50、2 垂心 的轨迹。解 见图 10-6，以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立坐标系，H 为 OM 与圆的交点，N 为T1T2 与 OM 的交点，记 BC=1。以 A 为圆心的圆方程为 x2+y2=16，连结 OT1，OT2。因为 OT2MT2，T1HMT2，所以 OT2/HT1，同理 OT1/HT2，又 OT1=OT2，所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。又因为 OMT1T2，OT1MT1，所以21OTONOM。设点 H 坐标为（x,y） 。点 M 坐标为(5, b)，则点 N 坐标为2,2yx，将坐标代入21OT=ONOM，再由xyb5得.516516222yx在 AB 上取

51、点 K，使 AK=54AB，所求轨迹是以 K 为圆心，AK 为半径的圆。例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A，B，且 OA，OB 与 x 轴正方向所成的角是 和 ，见图 10-7，求证：sin(+)是定值。证明 过 D 作 ODAB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为2，因为 ODAB，所以 212tan,所以212tan。所以.542tan12tan2)sin(2例 10 已知O 是单位圆，正方形 ABCD 的一边 AB 是O 的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。解 以单位圆的圆心为原点，AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系，设点 A，B 的坐标分别为 A(co

52、s,sin),B(cos,-sin)，由题设|AD|=|AB|=2sin，这里不妨设 A 在 x 轴上方，则 (0,).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧（否则将整个图形关于 y 轴作对称即可） ，从而点 D 坐标为(cos+2sin,sin)，所以|OD|=1cossin4sin4sin)sin2(cos222=.42sin2233)2cos2(sin2 36 / 84因为2242sin2222，所以. 12|12OD当83时，|OD|max=2+1；当87时，|OD|min=. 12 例 11 当 m 变化且 m0 时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定

53、直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。证明 由1, 12mbma消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公切线方程为 y=kx+b，则由相切有 2|m|=21|) 1() 12(|kbmmk，对一切 m0 成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m0 成立所以, 01, 034bkk即.47,43bk当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 y=4743x和 x=1.三、趋近高考【必懂】1.（2010 江西理）8.直线3ykx与圆22324xy相交于 M,N 两点，若2 3MN ，则 k 的取值范围是

54、A. 304， B. 304 ， C. 3333， D. 203，【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法 1：圆心的坐标为（3.，2） ，且圆与 y 轴相切.当|MN| 2 3时，由点到直线距离公式，解得3,04；解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取，排除 B，考虑区间不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A 2.（2010 安徽文） （4）过点（1，0）且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0【答案】A【解析】设直线方程为

55、20 xyc，又经过(1,0)，故1c ，所求方程为 37 / 84210 xy .【方法技巧】因为所求直线与与直线 x-2y-2=0 平行，所以设平行直线系方程为20 xyc，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线 x-2y-2=0 平行.3.（2010 重庆文） （8）若直线yxb与曲线2cos ,sinxy（0,2 )）有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（A）(22,1) （B）22,22（C）(,22)(22,) （D）(22,22)【答案】D解析：2cos ,sinxy化为普通方程22(2)1xy，表示

56、圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以21,2b解得2222b法 2：利用数形结合进行分析得22,22ACbb 同理分析，可知2222b4.（2010 重庆理）(8) 直线 y=323x与圆心为 D 的圆33cos ,13sinxy 0,2交与 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为A. 76 B. 54 C. 43 D. 53【答案】C解析：数形结合301 302由圆的性质可知213030 38 / 84故435.（2010 广东文）6.（2010 全国卷 1 理） （11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么PA PB 的最小值为 (

57、A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 7.（2010 安徽理）9、动点,A x y在圆221xy上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周。已知时间0t 时，点A的坐标是13( ,)22，则当012t 时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是A、0,1B、1,7C、7,12D、0,1和7,12【答案】 D【解析】画出图形，设动点 A 与x轴正方向夹角为，则0t 时3，每秒钟旋转6，在0,1t上,3 2 ，在7,12上37,23，动点A的纵坐标y关于t都是单调 39 / 84递增的。【方法技巧】由动点,A x y在圆221xy上绕坐标原点沿逆时针方

58、向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当 t 在0,12变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.8.（2009 江苏卷 18） （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy.（1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为2 3，求直线l的方程；（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的

59、弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标。【解析】 (1)设直线l的方程为：(4)yk x，即40kxyk由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离222 34()12d ，结合点到直线距离公式，得：2| 31 4 |1,1kkk 化简得：272470,0,24kkkor k 求直线l的方程为：0y 或7(4)24yx ，即0y 或724280 xy(2) 设点 P 坐标为( , )m n，直线1l、2l的方程分别为： 1(),()ynk xmynxmk ，即：110,0kxynkmxynmkk因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心1C

60、到直线1l与2C直线2l的距离相等。 40 / 84故有：2241|5| 31|111nmknkmkkkk ，化简得：(2)3,(8)5mn kmnmnkmn或关于k的方程有无穷多解，有：20,30mnmnm -n+8=0或m +n-5=0 解之得：点 P 坐标为3 13(,)2 2或51( ,)22。高考数学复习必修 3一、基础知识（理解去记）(1)四种基本的程序框(2)三种基本逻辑结构 顺序结构 条件结构 循环结构(3)基本算法语句（一）（一）输入语句 41 / 84单个变量多个变量 （二）（二）输出语句（三）（三）赋值语句（四）条件语句（四）条件语句IF-THEN-ELSE 格式格式当计