复变函数课件1-2复数的几何表示

1、第二节 复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考2一、复平面一、复平面1. 复平面的定义复平面的定义. . , , , . ),( 面面面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 32. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的的模模或

2、或绝绝对对值值向向量量的的长长度度称称为为z , 表表示示可可以以用用复复平平面面上上的的向向量量复复数数OPiyxz . 22yxrz 记记为为xyxyoiyxz Pr显然下列各式成立显然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 43. 复数的辐角复数的辐角 . Arg , , , 0 zzOPzz记作记作的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在说明说明,0有有无无穷穷多多个个辐辐角角任任何何一一个个复复数数 z , 1是是其其中中一一个个辐辐角角如如果果 ).( 2Arg1为为任任意意整

3、整数数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特特殊殊地地的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z辐角不确定辐角不确定.5辐角主值的定义辐角主值的定义:.arg , Arg , )0( 000zzz 记记作作的的主主值值称称为为的的把把满满足足的的辐辐角角中中在在, 0 x)2arctan2( xy其其中中辐角的主值辐角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,64. 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数

4、的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致加减法运算一致. .75. 复数和差的模的性质复数和差的模的性质;)1(2121zzzz .)2(2121zzzz , 2121故故之之间间的的距距离离和和表表示示点点因因为为zzzz 1z2z21zz xyo1z2z. 实轴对称的实轴对称的复平面内的位置是关于复平面内的位置是关于在在和和一对共轭复数一对共轭复数zzxyoiyxz iyxz 8利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos ie

5、i 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示9例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iziz.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所所以以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz10指数表示式为指数表示式为.465iez 5cos5sin)2( iz,

6、1 zr显显然然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez 11.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz ,5sin5cos 5 iei 因因为为)3sin()3(cos3sin3cos ii,3 ie 32)3sin3(cos)5sin5(cos ii所所以以3325)()(iiee ,19 ie 故三角表示式为故三角表示式为,19sin19cos iz 指数表示式为指数表示式为.19 iez 12例例2 2. , 0 ,sincos1 的的辐辐角

7、角的的主主值值并并求求式式三三角角表表示示式式与与指指数数表表示示化化为为把把复复数数ziz 解解 sincos1iz 2cos2sin22sin22 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i.2sin22ie (三角式三角式)(指数式指数式).2arg z13例例3 3解解. , 1cos1cos iez 其其中中的的实实部部和和虚虚部部求求复复数数1cos1cos z cossin1coscoscossin1coscosii 2222)cos(sin)1cos(coscossin2)cos(sin1)cos(cos i.)(cos1coscos2cossin2)(

8、cos1coscos2)(sin222i zRe zIm 14例例4 4.(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 证证明明为为两两个个任任意意复复数数设设证证21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 15 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因为因为两边同时开方得两

9、边同时开方得.2121zzzz 16例例5 5. , :133221232221321zzzzzzzzzzzz 点点的的充充要要条条件件是是成成为为等等边边三三角角形形顶顶三三个个复复数数证证明明证证 :321件为件为是等边三角形的充要条是等边三角形的充要条zzz , 3 3 31121zzzzz即即得得向向量量或或旋旋转转绕绕向向量量 1z2z3z,)( 31213iezzzz 即即,2321 1213izzzz 或或17,2321 1213izzzz 两边平方两边平方, 并化简得并化简得.133221232221zzzzzzzzz 下面例子表明下面例子表明, 很多平面图形能用复数形很多平面

10、图形能用复数形式的方程式的方程(或不等式或不等式)来表示来表示; 也可以由给定的也可以由给定的复数形式的方程复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的来确定它所表示的平面图形平面图形.18例例6 6. 222111表示表示线用复数形式的方程来线用复数形式的方程来的直的直与与将通过两点将通过两点iyxziyxz 解解 ),( ),( 2211的的直直线线的的方方程程与与通通过过两两点点yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t参参数数所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz ),( t参参数数19 ,21的直线段的参数方程为的直线

11、段的参数方程为到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的的中中点点坐坐标标为为得得线线段段zz.221zzz 20例例7 7.1,1 . , , ) , 10( 2212221002121kzzkkzkzzzzzzkkzzzz 且且半径为半径为其圆心为其圆心为平面上的一个圆周平面上的一个圆周表示表示证明方程证明方程证证 , 0 zz圆圆周周 , 0代代入入和和将将 z 22211)(kzzkzz2211kzzk ,)(21221zzkzzkzz 21 , 2zz 两两边边同同除除以以,121221 zzzzkkzzzz , 21zzzzw 令令,12 wkkw两

12、边同时平方两边同时平方,12222 wkkw, 22kw 于于是是,kw . 21kzzzz 故故22例例8 8求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的的点点的的轨轨迹迹为为距距离离表表示示所所有有与与点点方方程程iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆圆方方程程2322)2( ziz.22距距离离相相等等的的点点的的轨轨迹迹和和表表示示所所有有与与点点 i. 22段段的的垂垂直直平平分分线线的的线

13、线和和连连接接点点故故方方程程表表示示的的曲曲线线就就是是 i , iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 设设,)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲线方程为所求曲线方程为24二、复球面二、复球面1. 南极、北极的定义南极、北极的定义 , 0 的的球球面面点点取取一一个个与与复复平平面面切切于于原原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为为南南极极为为北北极极我我们们称称SNxyPNOS25 球面

14、上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作 . 因而球因而球面上的北极面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大 的几何表示的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应对应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2. 复球面的定义复球面的定义 263. 扩充复平面

15、的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. .对于复数对于复数 来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义, 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. 27 : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )1( 加加法法)(, : )2( 减减法法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除除法法28三、小结与思考三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的复数的各种表示法各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面复平面. 注意注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对应, 所谓所谓无穷大无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的的唯一的一个复数，不要与实数中的