系统根轨迹分析

1、1、根轨迹的概念：系统中某参数变化时闭环极点的集合为根轨迹。例如：负反馈系统开环传递函数为，闭环特征方程为特征根为当 变化时，特征根也随之变化：)2() 1()()(sssksHsG0)2(2ksks24)2(222, 1kkks643131235 . 05 . 013121643131235 . 05 . 0135 . 00103244213245 . 0021jjjsjjjsk0由k2、根轨迹与性能关系：利用根轨迹可分析系统稳定性、动态性能、稳态性能。 例如：K2时，根轨迹都在左半平面，系统闭环稳定。 时为过阻尼和临界阻尼，特征根为实根，阶跃响应为单调衰减； 时为欠阻尼，特征根为共轭复根，

2、阶跃响应为振荡衰减。324 k3242 k3、为什么要研究根轨迹： 当系统参数变化特征根也随之变化，可分析特征根变化对性能影响，因此可绘制根轨迹来分析系统性能；但根据闭环特征方程求特征根来绘制根轨迹只适用于一、二阶系统、不适用于高阶系统，有必要研究一般根轨迹的绘制法则，从而分析系统。4、幅相条件：负反馈系统开环传递函数为：当 ，有则相角条件为：幅值条件为：njjmiipszsksHsG11)()()()(0由k0)()(1sHsG) 12()()(11lpszsnjjmii111miinjjszksp 1、概念：负反馈系统开环传递函数为 ， 由此画出的闭环系统的根轨迹为一般根轨迹。本质：由开环

3、传函零极点确定闭环极点的分布。11()( )( )( )()miinjjkszP sGskQ ssp开0:k1、对称性：以实轴为对称轴；2、分支数：等于开环极点个数；3、起始点起始点：开环极点；终止点终止点：开环零点、“无穷零点”； 一一对应一一对应4、实轴上根轨迹：满足“右奇”原则；5、分离点、会合点：实轴上根轨迹两端若都为开环极点，则必存在分离点；若两端都是开环零点（或一个开环零点一个无穷零点），则必有会合点；解 ，得到的值中取在根轨迹上的值。 分离或会合角为 为分离或会合根轨迹的分支数。0P QQ P180,dll6、平面上根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点为：渐近线与实轴正方向夹角为：1

4、1nmjijiapznma110),/() 12(mnlmnl、7、根轨迹与虚轴交点方法1：将 代入特征方程，然后令特征方程的实部和虚部为零，即可求得。方法2：利用Roth代数判据求得。8、平面上根轨迹的出射角、入射角出射角：入射角：实质：js 1,1(21)()()()()anmpajaijj ailpppz 11,(21)()()()()bnmzbjbijii blzpzz ) 12()()(11lpszsnjjmii1、根轨迹在左右方向上大体平衡，即有向左的轨迹则必有向右的轨迹，且从感官上轨迹长度大体相当；2、靠近虚轴和原点附近的根轨迹尽可能精确绘制，方法是：在草图基础上确定若干点，然后

5、对草图修正；3、根轨迹的“圆”。（P87、P88）1、概念：负反馈系统当 时的根轨迹，或正反馈系统 时的根轨迹。2、绘制法则：与一般根轨迹对比，区别在于：（1）相角条件由180度变为0度；（2）实轴上根轨迹满足“右偶”原则。其余完全相同。0 0度根轨迹与一般根轨迹呈度根轨迹与一般根轨迹呈“对称性对称性”。:0k 0:k例：负反馈系统开环传递函数为则闭环特征方程为整理，得再整理，得则可得等价开环传递函数为)()()()()(sNsMkssHsG0)()()(1sNsMks0)()()(sMkssN0)()()(1sNssMskM)()()()(sNssMskMsGH等价1、基本思路： 构造等价的开环传递函数，满足：、其闭环特征方程与原系统相同；、其参变量与一般根轨迹相同，为根轨迹增益。 绘制等价的开环传递函数系统的根轨迹，即为原系统根轨迹。2、一般步骤： 首先求原系统闭环特征方程，其次构造等价的开环传递函数，最后绘制等价的开环传递函数系统的根轨迹即为原系统根轨迹。、得到的等价开环传递函数其根轨迹可能为一般根轨迹或零度根轨迹，需判定。、得到的等价开环传递函数可能分子最高次数比分母最高次数高，此时可根据分子、分