平面向量解三角形数列知识点

1、平面向量 解三角形 数列 知识点概述板块一：平面向量知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算1概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零

2、向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用

3、平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”3向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若

4、、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向

5、量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点特别注意三角形的四心的向量表

6、示：1.平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：，则下列结论正确的是( )(A)P在CA上，且2 (B)P在AB上，且2(C)P在BC上，且2 (D)P点为ABC的重心2.ABC中，向量所在直线( )(A)垂直于BC (B)平分BC边 (C)过ABC的内心 (D)过ABC的外心3.已知点在所在的平面且满足,则点一定落在( )A.边的垂直平分线上 B.边的中线所在的直线上C.边的高线所在的直线上 D.边所在的直线上三点共线定理：二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与

7、数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满足:0时,与同

8、向;0)是等比数列6、若为等比数列，则(c0且c1) 是等差数列7、在等比数列中：（1）若项数为，则 （2）若项数为，则8、数列是公比不为1的等比数列数列前n项和Sn=等差数列等比数列定义递推公式；通项公式（）中项（）（）前项和重要性质9、等比数列的判定方法（1）、an=an1q（n2），q是不为零的常数，an10an是等比数列.（2）、an2=an1an1（n2, an1,an,an10）an是等比数列.（3）、an=cqn（c，q均是不为零的常数）an是等比数列.10、等比数列的前n项和的性质（1）、若某数列前n项和公式为Sn=an1(a0,1)，则an成等比数列.（2）、若数列an是公比

9、为q的等比数列，则Snm=SnqnSm.（3）、在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则（4）、Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列.（片段和的性质）专题三：有递推公式求通项公式的方法：（整体思想）高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知数列满足，求。变式: 已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其

10、中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，求。例2:已知， ，求。变式:（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，求.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；

11、（）证明：类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。（少见）解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两

12、边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 变式: (2005,江西,文,22本小题满分14分）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列

13、()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列中，求数列变式:（2005，江西,理,21本小题满分12分）已知数列（1）证明 （2）求数列的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 类

14、型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。类型10 或解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。例：（I）在数列中，求 （II）在数列中，求类型11 归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式 类型12 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.类型15 周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻

15、找周期。例：若数列满足，若，则的值为_。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD专题四：数列求和教学目标：熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；熟记一些常用的数列的和的公式教学重点：特殊数列求和的方法（一） 主要知识：等差数列与等比数列的求和公式的应用； 倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法； （二）主要方法：基本公式法：等差数列求和公式： 等比数列求和公式：； .错位相减法：给各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前项和. 一般适应于数列的前向求

16、和，其中成等差数列，成等比数列。分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：若是公差为的等差数列，则；倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。导数法：灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答.递推法.奇偶分析法.（三）典例分析： 问题1求下列数列前项和： ，； ，；，；， ； ，；问题2求和； ； 问题3已知数列的通项，求其前项和 问题4(全国文)设正项等比数列的首项，前项和为，且.（）求的通项；（）求的前项和.

17、（四）巩固练习：（北京）设，则等于 明朝程大拉作数学诗：“远望巍巍塔七层，红光点点加倍增，共灯三百八十一，请问尖头 盏灯”.求数列，的前项和. 在数列中，又，则数列的前 项和为 求数列，的前项和.（五）课后作业： (荆州统测)数列满足递推关系：，且，.求、；求；求数列的前项和.（六）走向高考： （广东）在德国不莱梅举行的第届世乒赛期 间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第堆只有一层，就一个乒乓球；第、堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则 ； （答案用表示）.（福

18、建）数列的前项和为，若，则等于 3.（福建文）“数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和数列综合练习一、选择题 1、设是等差数列，若,则数列前8项的和为( )A.128 B.80 C.64 D.562、记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）A、2 B、3 C、6 D、73、设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）ABCD4、设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63 B45 C36 D275、在数列中， ，则（ ） A B C D6、若等差数列的前5项和，且，则（ ）（A）12 （B）13 （C）14 （D）157、已知是等比数列，则=( )（A）16（） （B）16（） （C

19、）（） （D）（）8、非常数数列是等差数列，且的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为 （ ） A B5 C2 D9、已知数列满足，则=（ ） A0BCD10、在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,黑、白两只蚂蚁均从点A出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是AA1A1D1D1C1；黑蚂蚁的爬行路线是ABBB1B1C1,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i+2段与第i段所在的直线必为异面直线(其中i为自然数),设黑、白蚂蚁都爬完2008段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为 ( ) A 1 B C D 0二、填空题 11已知为等差数列，则_12设数列中，则通项 _。13设是等差数列的前项和，, ,则 14已知函数,等差数列的公差为.若,则 .15、将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 三、解答题 16已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列；（）数列的前项和17数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列的公差；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn0时，求n的最大值18设等比数列的首项，前n项和为，且，且数列各项均正。（）求的