第五章-12.10

1、 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。 有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率由低到高无数个正弦波输入下所对应，而是考察频率由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。响应。 频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间频率响应尽管不如

2、阶跃响应那样直观，但同样间接地表示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系接地表示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又有效的工具。统的一个既方便又有效的工具。第五章第五章 控制系统的频域分析法控制系统的频域分析法v频率特性频率特性v典型环节与开环系统频率特性典型环节与开环系统频率特性v频域稳定判据频域稳定判据v频域稳定裕度频域稳定裕度v闭环系统的频域性能指标闭环系统的频域性能指标频域特性法的发展历史频域特性法的发展历史 在控制系统稳定性的代数理论建立之后，在控制系统稳定性的代数理论建立之后，1928年年1945年以美国年以美国AT&T公司公司Bell实验室实验室(Bel

3、l Labs)的科学家们为核心，建立了控制系统分析与设计的的科学家们为核心，建立了控制系统分析与设计的频域方法。频域方法。 Harold Black 1928年年8月月2日，日，Harold Black(1898-1983)，在前往，在前往Manhattan西街西街(West Street)的 上 班 途 中 ， 在的 上 班 途 中 ， 在 H u d s o n 河 的 渡 船河 的 渡 船Lackawanna Ferry上灵光一闪，发明了在上灵光一闪，发明了在当今控制理论中占核心地位的负反馈放大器。当今控制理论中占核心地位的负反馈放大器。由于手头没有合适的纸张，他将其发明记在由于手头没有

4、合适的纸张，他将其发明记在了一份纽约时报（了一份纽约时报（The New York Times）上，这份早报已成为一件珍贵的文物诊藏在上，这份早报已成为一件珍贵的文物诊藏在AT&T的档案馆中。的档案馆中。 Harry Nyquist 反馈放大器的振荡问题给其实用化带来了难以克反馈放大器的振荡问题给其实用化带来了难以克服的麻烦。为此服的麻烦。为此Harry Nyquist(1889-1976)和其他和其他一些一些AT&T的通讯工程师介入了这一工作。的通讯工程师介入了这一工作。Nyquist1917年在耶鲁大学年在耶鲁大学(Yale)获物理学博士学获物理学博士学位，有着极高的理论造

5、诣。位，有着极高的理论造诣。1932年年Nyquist发表了发表了包含著名的包含著名的“乃奎斯特判据乃奎斯特判据”(Nyquist criterion)的论文，并在的论文，并在1934年加入了年加入了Bell Labs。Black关关于的负反馈放大器的论文发表在于的负反馈放大器的论文发表在1934年，参考了年，参考了Nyquist的论文和他的稳定性判据。的论文和他的稳定性判据。 Hendrik Bode(1905-1982） 这一时期，这一时期，Bell实验室的另一位理论专家，实验室的另一位理论专家，Hendrik Bode(1905-1982)也和一些数学家开始对也和一些数学家开始对负反馈放

6、大器的设计问题进行研究。负反馈放大器的设计问题进行研究。Bode是一位是一位应用数学家，应用数学家，1926年在俄荷俄州立大学年在俄荷俄州立大学(Ohio S t a t e ) 获 硕 士 ；获 硕 士 ； 1 9 3 5 年 在 哥 伦 比 亚 大 学年 在 哥 伦 比 亚 大 学(ColumbiaUniversity)获物理学博士学位。获物理学博士学位。1940年，年，Bode引入了半对数坐标系，使频率特性的绘引入了半对数坐标系，使频率特性的绘制工作更加适用于工程设计制工作更加适用于工程设计。 H.Harris 1942年，年，H.Harris引入了传递函数的概念。用方框图、环引入了传递

7、函数的概念。用方框图、环节、输入和输出等信息传输的概念来描述系统的性能和关系。节、输入和输出等信息传输的概念来描述系统的性能和关系。这样就把原来由研究反馈放大器稳定性而建立起来的频率法，这样就把原来由研究反馈放大器稳定性而建立起来的频率法，更加抽象化了，因而也更有普遍意义，可以把对具体物理系更加抽象化了，因而也更有普遍意义，可以把对具体物理系统，如力学、电学、等的描述，统一用传递函数、频率响应统，如力学、电学、等的描述，统一用传递函数、频率响应等抽象的概念来研究。等抽象的概念来研究。1925年英国电器工程师年英国电器工程师O.亥维赛把亥维赛把拉普拉斯变换应用到求解电网络的问题上，提出了运算微积

8、。拉普拉斯变换应用到求解电网络的问题上，提出了运算微积。不久拉普拉斯变换就被应用到分析自动调节系统问题上，并不久拉普拉斯变换就被应用到分析自动调节系统问题上，并取得了显著成效。传递函数就是在拉普拉斯变换的基础上引取得了显著成效。传递函数就是在拉普拉斯变换的基础上引入的。入的。 至至1945年，控制系统设计的频域方法，年，控制系统设计的频域方法，“波德波德图图”(Bode plots)方法，已基本建立了。方法，已基本建立了。 米哈依洛夫米哈依洛夫 在这同一时期，苏联科学家也在控制系统稳定性在这同一时期，苏联科学家也在控制系统稳定性的频域分析方面取得了进展。的频域分析方面取得了进展。1938年和年

9、和1939年，全年，全苏电工研究所的米哈依洛夫以柯西幅角原理为基础，苏电工研究所的米哈依洛夫以柯西幅角原理为基础，发表论文给出了闭环控制系统稳定性的频域判别法。发表论文给出了闭环控制系统稳定性的频域判别法。米哈依洛夫还提出了把自动调整系统环节按动态特米哈依洛夫还提出了把自动调整系统环节按动态特性加以典型化来进行结构分析的问题。性加以典型化来进行结构分析的问题。 米哈依洛夫米哈依洛夫 米哈依洛夫有关稳定性频域判据的论文虽然正式米哈依洛夫有关稳定性频域判据的论文虽然正式发表较晚。他的方法现被称为发表较晚。他的方法现被称为“米哈依洛夫稳定判米哈依洛夫稳定判据据”。有些学者又将。有些学者又将“乃奎斯特

10、判据乃奎斯特判据”称为称为“乃奎乃奎斯特斯特-米哈依洛夫判据米哈依洛夫判据” 客观地讲，在频域稳定性客观地讲，在频域稳定性判别研究中，乃奎斯特不仅在时间上领先，其工作判别研究中，乃奎斯特不仅在时间上领先，其工作也更完备。现在我们所使用的也主要是乃奎斯特的也更完备。现在我们所使用的也主要是乃奎斯特的开环稳定判据。开环稳定判据。 频域特性法的特点频域特性法的特点v控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和实验法获得并可用多种形式的曲线表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。v频率特性具有明确的物理意义。对于一阶和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统可以建立

11、近似的对应关系v控制系统的频率设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面内容v频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。5-1 频率特性频率特性v频率特性的基本概念频率特性的基本概念v频率特性的几何表示法频率特性的几何表示法频率特性的概念设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:40不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输

12、入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。R图5-3 R-C电路Ciuou1( )11( )( )11oiUsG sUsRCsTs )sin()(tAtui输入：输入： tAATarctgtTAtuossinsin122输出：输出：1 1 频率特性的定义频率特性的定义系统输入输出响应曲线系统输入输出响应曲线 22,( )11arctg TTA 其中其中)sin()(tAtui输入：输入： tAATarctgtTAtuossinsin122输出：输出：)(所示频率特性的物理意义是：当一频率为所示频率特性的物理意义是：当一频率为的正弦信号加到电路

13、的输入端后，在稳态时，电路的输出与的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。 称为电路的幅频特性。它表示在稳态时，电路的称为电路的幅频特性。它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。输出与输入的幅值之比。称为电路的相频特性。它表示在稳态时，输出信称为电路的相频特性。它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。号与输入信号的相位差。)(A)()()(jejAjG称为电路的频率特性称为电路的频率特性电路的输出与输入的幅值之比 (a) 幅频特性 (b)相频特性 输出与输入的相位之差 RCssG

14、sUsUio11)()()(TjRCjjGjUjUio1111)()()(频率特性与传递函数具有十分相的形式 比较jssGjG)()(频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp 频率特性频率特性1( )1G sTs传递函数传递函数2222arctan2211()11111jTTG jjj TTTeT( )arctan T 221( )1AT22( )1TQT 221( )1PT幅频特性幅频特性相频特性相频特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性例子：设传递函数为：431)()()(2sssxsysG微分方程为：)()(4)(3)(,431)()(2222txtydttdydttyddtddt

15、dtxty频率特性为：4)( 3)(1)()()(2jjjxjyjG 频率特性的表示法 (1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot)(2)极坐标图 (Polar plot)(3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)对数频率特性曲线)(log20jGdB)(L对数幅频特性相频特性()纵坐标均按线性分度横坐标是角速率)()(jG10倍频程，用dec lg按分度2 频率特性的表示法(1)(1) 幅相频率特性曲线（奈奎斯特图）幅相频率特性曲线（奈奎斯特图） 以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵以开环频率特

16、性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以坐标，以为参变量的幅值与相位的图解表示法。为参变量的幅值与相位的图解表示法。 频率特性频率特性复变函数复变函数 1) 1)若表示为实数和虚数和的形式，则实部为实轴坐标值，虚若表示为实数和虚数和的形式，则实部为实轴坐标值，虚部为虚轴坐标值。部为虚轴坐标值。 2) 2)若表示为复指数形式，则为复平面上的向量：若表示为复指数形式，则为复平面上的向量： 向量长向量长度度频率特性的幅值，频率特性的幅值， 向量与实轴正方向的夹角向量与实轴正方向的夹角频率特性的相位。频率特性的相位。-90-78.7-76-71.5-63.5-45-26.6000.200.240

17、.320.450.710.891 0 2211T arctgT 12T1T2T3T5T4TRC网络的幅频特性RC网络的相频特性均为的函数。RC网络的幅频特性和相频特性数据表 2211TA ( )arctg T j01ImG(j)ReG(j)绘制方法一：绘制方法一：幅值与相角幅值与相角法法二、对数频率特性曲线（又称波德图） 它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：q 横坐标分度：它是以频率 的对数值 进行分度的。所以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：logDecDe

18、cDecDec12012.log01. 001 . 0110100由于 以对数分度，所以零频率线在 处。q 纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以 或 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将 或 值标注在纵坐标上。 )(logA)(log20A)(logA)(log20A 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：)log(20幅值增益 20151086420增益增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值幅值)(A返

19、回对数坐标系对数坐标系使用对数坐标图的优点：使用对数坐标图的优点：v可以展宽频带；频率是以可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。中频和高频段的幅频和相频特性。v可以将乘法运算转化为加法运算。可以将乘法运算转化为加法运算。v所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。v对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。可以很

20、容易的写出它的频率特性表达式。三、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。横、纵坐标都是线性分度。5-2 典型环节与开环系统频率特性典型环节与开环系统频率特性v典型环节典型环节v典型环节的频率特性典型环节的频率特性v开环福相曲线绘制开环福相曲线绘制v开环对数频率特性曲线的绘制开环对数频率特性曲线的绘制v传递函数的频域实验确定传递函数的频域实验确定1. 典型环节典型环节典型环节分为两大类：典型环节分为两大类：（1)1)最小相位环节（系统）：最小相位环节（系统）：零点和极点零点

21、和极点均位于均位于s s左半平面的环节称为最小相位环左半平面的环节称为最小相位环节（系统）节（系统）（2)2)非最小相位环节：非最小相位环节：在在s s右半平面有零右半平面有零点和极点环节（系统）称为最小相位环节点和极点环节（系统）称为最小相位环节（系统）（系统）“最小相位最小相位”概念的含义概念的含义“最小相位最小相位”是指具有相同幅频特性的一些环是指具有相同幅频特性的一些环节，其中相角位移有最小可能值的，称为最小节，其中相角位移有最小可能值的，称为最小相位环节；反之相角位移大于最小可能值的称相位环节；反之相角位移大于最小可能值的称为非最小相位环节，后者常在传递函数中包含为非最小相位环节，后

22、者常在传递函数中包含s右半平面的零极点。右半平面的零极点。（1） 最小相位环节最小相位环节比例环节：比例环节：( )(0)G sK K 惯性环节：惯性环节：1( )(0)1G sTTs一阶微分环节：一阶微分环节：( )1(0)G sTsT（1） 最小相位环节最小相位环节 振荡环节：振荡环节：221( )(0,01)21nnnG sss（1） 最小相位环节最小相位环节 二阶微分环节：二阶微分环节：222( )1(0,01)nnnsG ss（1） 最小相位环节最小相位环节微分环节：微分环节：( )G ss积分环节：积分环节：1( )G ss（2） 非最小相位环节非最小相位环节比例环节：比例环节：(

23、 )(0)G sK K 惯性环节：惯性环节：1( )(0)1G sTTs一阶微分环节：一阶微分环节：( )1(0)G sTsT （2） 非最小相位环节非最小相位环节 振荡环节：振荡环节：221( )(0,01)21nnnG sss（2） 非最小相位环节非最小相位环节 二阶微分环节：二阶微分环节：222( )1(0,01)nnnsG ssb.频率特性：频率特性：2.典型环节的频率特性典型环节的频率特性（1 1）比例环节）比例环节()G jK KsG)(a.传递函数传递函数ReImKc.幅相频率特性幅相频率特性幅频特性：幅频特性： ；相频特性：；相频特性： KA)(0)(实频特性实频特性 ： ；虚

24、频特性：；虚频特性： ；KP)(0)(Q-KlogdBL/ )(log)(180180Klog201K1KKlog201KKlog200K0K比例环节的对数频率特性图（比例环节的对数频率特性图（bode图）图）（2）积分环节）积分环节b.频率特性频率特性ssG1)(a.传递函数传递函数2111)(jejjjG2)(1)(A1)(Q0)(Pc.幅相频率特性曲线（奈氏图）：幅相频率特性曲线（奈氏图）：幅频特性幅频特性相频特性相频特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性j积分环节的奈氏图为负虚轴。频率积分环节的奈氏图为负虚轴。频率 从从0时，特性曲时，特性曲线由虚轴的线由虚轴的趋向坐标原点。趋向坐标原点

25、。0积分环节的幅相频率特性图（奈氏图）积分环节的幅相频率特性图（奈氏图）积分环节的积分环节的Bode图图,log201log20)(log20)(ALd. 对数频率特性对数频率特性对数幅频特性对数幅频特性可见，积分环节的斜率为可见，积分环节的斜率为-20db/dec2)(相频特性相频特性-20db/dec积分环节的对数频率特性（伯德图）积分环节的对数频率特性（伯德图）1, ( )0L1K dBL/ )()(9020402040110100110100斜率为斜率为20db/dec 20db/dec 注：注：当有两个积分当有两个积分环节时可见斜率为环节时可见斜率为40/dec 40/dec 10(

26、 )20L 当时，K=12)(-40db/dec思考题：思考题： 绘出的绘出的 对数频率对数频率特性曲线，并与特性曲线，并与 比较，明确比比较，明确比例系数的变化与系统对数频率特性曲线的关系例系数的变化与系统对数频率特性曲线的关系 101( )( )5G sG sss和1( )G ss积分环节L() G(s)=1s G(s)=10s1 G(s)=5s-20-20-20100.2210.1L()dB0dB2040-40-20201000.02（3）微分环节）微分环节b.频率特性：频率特性：( )G ssa.传递函数传递函数2()jG jje( )2 ( )A( )Q0)(Pc.幅相频率特性曲线（

27、奈氏图）：幅相频率特性曲线（奈氏图）：幅频特性幅频特性相频特性相频特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性j积分环节的奈氏图为负虚轴。频率积分环节的奈氏图为负虚轴。频率 从从0时，特性曲时，特性曲线由坐标原点沿虚轴趋向线由坐标原点沿虚轴趋向。0微分环节的幅相频率特性图（奈氏图）微分环节的幅相频率特性图（奈氏图）( )20log( )20logLAd. 对数频率特性对数频率特性对数幅频特性对数幅频特性可见，微分环节的斜率为可见，微分环节的斜率为20db/dec( )2 相频特性相频特性-20db/dec积分环节的对数频率特性（伯德图）积分环节的对数频率特性（伯德图）1, ( )0L1K dBL/ )

28、(9020402040110100110100斜率为斜率为20db/dec 20db/dec 10( )20L当时，( )2 微分环节的对数频率特性（伯德图）微分环节的对数频率特性（伯德图）20db/dec)(90思考题：思考题： 绘出的绘出的 的的 对数对数频率特性曲线，并与频率特性曲线，并与 比较，明比较，明确比例系数的变化与系统对数频率特性曲线的确比例系数的变化与系统对数频率特性曲线的关系关系 ( )2( )0.1G ssG ss和( )G ss G(s)=s G(s)=2s G(s)=0.1s100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100+20+20+20微分环节L

29、()结论：结论：增大比例系数增大比例系数K，对数幅频特性的斜率，对数幅频特性的斜率不变，位置上移不变，位置上移（4）惯性环节）惯性环节b.频率特性频率特性1( )1G sTsa.传递函数传递函数2222arctan2211()11111jTTG jjj TTTeT( )arctan T 221( )1AT22( )1TQT 221( )1PTc.幅相频率特性曲线（奈氏图）：幅相频率特性曲线（奈氏图）：幅频特性幅频特性相频特性相频特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性TtgTA122)(,11)(0)0(1)0(0)0(1)0(0QPA，时：21)1(21)1(45)1(21)1(1TQTPTTA

30、T，时：0)(0)(90)(0)(QPA，时：由：由：可得：可得：0ReG(j)j1惯性环节惯性环节11)(TjjG惯性环节的幅相频率特性图（奈氏图）惯性环节的幅相频率特性图（奈氏图）惯性环节G(j)G(s) = 0.5s+110.25 2+1A()=1() = -tg-10.5 j01ImG(j)ReG(j) 00.51245820o()A()01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76 -840.450.370.240.0522221( )20log( )20log120log 1LATT d. 对数频率特性对数频率特性对数幅频特性对数幅频特性( )

31、arctan T 相频特性相频特性22( )20log 1LT ( )arctan T 由：由：0( )0L( )0 11TT（）22( )20log 120log23.01LT ( )arctan45oT 惯性环节的惯性环节的Bode图图-20db/dec1/T渐近线渐近线-3.01惯性环节以渐近线表示时引起的对数幅值误差惯性环节以渐近线表示时引起的对数幅值误差10-1100101-3-2.5-2-1.5-1-0.50的对数频率特性曲线，明确比例系数对特性的对数频率特性曲线，明确比例系数对特性曲线的影响曲线的影响 1100( )( )0.515G sG sss和例题：例题：绘制环节绘制环节

32、G(s)=10.5s+1100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100惯性环节L()-20-2026dB0o- 30o- 45o- 60o- 90o10020( )50.21G sss（5）一阶微分环节）一阶微分环节b.频率特性频率特性( )1G sTsa.传递函数传递函数22arctan()11jTG jj TT e ( )arctan T 22( )1AT( )QT( )1Pc.幅相频率特性曲线（奈氏图）：幅相频率特性曲线（奈氏图）：幅频特性幅频特性相频特性相频特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性一阶微分环节的幅相频率特性图（奈氏图）一阶微分环节的幅相频率特性图（奈氏图

33、）1j 022( )20log( )20log 1LATd. 对数频率特性对数频率特性对数幅频特性对数幅频特性( )arctan T 相频特性相频特性22( )20log 1LT( )arctan T 由：由：0( )0L( )0 22( )20log20logLTT( )arctan T 11TT（）11TT（）22( )20log 120log23.01LT( )arctan45oT 0.110010120-200.110010145o-45oL()()90o一阶微分环节的对数频率特性图（伯德图）一阶微分环节的对数频率特性图（伯德图）渐近线渐近线Bode Diagram of G(jw)=

34、jwT+1) T=0.1Frequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)051015202510010110204590)()(Tarctg)(log20)(1 log20)(2dBTTL20db/dec G(s)= 0.5s+10.3 G(s)=(0.25s+0.1)L()dB100.2210.10dB2040-40-2020100一阶微分L()0o+30o+ 45o+ 60o+ 90o+20+20（6）振荡环节）振荡环节21( )(0,01)()21nnnG sssa.传递函数传递函数（6）振荡环节）振荡环节b.频率特性频率特性22222222222

35、22222211()()211212(0,01)(1)4(1)4nnnnnnnnnnnG jjjjj2222221( )(1)4nnAc.幅相频率特性曲线（奈氏图）：幅相频率特性曲线（奈氏图）：幅频特性幅频特性2222222arctan()12( )arctan12180arctan()1nnnnonnnn 相频特性相频特性振荡环节G(j)曲线（Nyquist曲线）曲线）0j1 21)(An2r121)(A 21rn谐振频率谐振峰值谐振频率谐振峰值 2221G(j )2(1)( 2)2(2)20nnnnddt21rn2r121)(A 由：由：得：得：当当 时，幅值曲线不可能有峰值出现，时，幅值

36、曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振即不会有谐振 707. 0图图5-15rM与与关系曲线关系曲线 0.10.20.30.40.50.60.70.8051015rM/dB0db20db40db-20db-40dbL()1s2s1) s (G2 o90 o0 0.1110100o180 -402121lg20 21lg20振荡环节振荡环节L() 2222222222221( )20log( )20lg(1)420lg(1)4nnnnLA d. 对数频率特性对数频率特性对数幅频特性对数幅频特性dBnnlog40log2022低频渐近线为一条低频渐近线为一条0 0分贝的水平线分贝的水平线高频时的对数幅

37、频特性曲线是一条斜率为高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为- -40db/dec40db/dec的直线的直线在低频时，即当在低频时，即当 时时 -20log1=0dBn在高频时，即当在高频时，即当 时时ndBn01log40log40由于在由于在 时时n所以高频渐近线与低频渐近线在所以高频渐近线与低频渐近线在 处相交。处相交。n10-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 0幅频特性与 关系10-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 0幅频特性与 关系10-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 02 . 0幅频特性与 关系10-1

38、100101-40-30-20-1001020dB1 . 02 . 03 . 0幅频特性与 关系10-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 02 . 03 . 05 . 0幅频特性与 关系10-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 0幅频特性与 关系10-1100101-40-30-20-1001020dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1图5-13 二阶因子的对数幅频特性曲线 幅频特性与 关系-40db/dec振荡环节L()100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020

39、1004s22 . 02s40s2sk) s (G22nn22n dB14. 8121lg20Alg202m 92. 1212nr -4010-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 0相频特性与 关系10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 0相频特性与 关系10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order

40、 factor1 . 02 . 03 . 0相频特性与 关系10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 03 . 05 . 0相频特性与 关系10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 0相频特性与 关系10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200degPhase of 2-order factor1

41、. 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1图5-13 二阶因子的对数相频特性曲线 相频特性与 关系10-1100101-6-4-202468101214dB1 . 0幅值误差与 关系10-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 0幅值误差与 关系10-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 0幅值误差与 关系10-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 05 . 0幅值误差与 关系10-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 05

42、. 07 . 0幅值误差与 关系10-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1图5-14 二阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差幅值误差与 关系二阶微分2n2nn222s2s1Ts2sT) s (G T1n o1800)j (G ,01)0j (Go ,902)j (Gon j01幅相曲线幅相曲线o902 对数幅频渐近曲线对数幅频渐近曲线0dBL()dB+40n2nr21 2m12lg20L 2lg20)(Ln00.707时有峰值：时有峰值：几点说明几点说明0db20db40db-20db-40dbL()1

43、ss25. 0) s (G2 o90o0 0.1110100o18040212lg20 2lg20二阶微分二阶微分L() 二阶微分环节的波德图二阶微分环节的波德图3.开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制v开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）开环幅相曲线绘制的三个要素：开环幅相曲线绘制的三个要素：Im ()()0 xxG jH j()()xxG jH jk（1）开环幅相曲线的起点（）开环幅相曲线的起点（=0+）和终点（）和终点（ =）（2）开环幅相曲线与实轴的交点）开环幅相曲线与实轴的交点令：令：或：或：得交点坐标得交点坐标:Re ()()()()xxG

44、jH jG jH j(3)开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性例例5-1 某某0型单位反馈系统型单位反馈系统1212( ); ,0(1)(1)kG sk T TTsT s试绘制系统概略开环幅相曲线。试绘制系统概略开环幅相曲线。解：解：开环系统频率特性：开环系统频率特性：12122222122112222212( )(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)kG sj Tj Tkj Tj TTTkTTjk TTTT幅频特性：幅频特性：222212()(1)(1)kATT12( )arctanarctanTT 相频特性：相频特性：（1）起点与终点

45、：）起点与终点：(0), (0)0oAk( )0, ( )180oA 由：由：虚部虚部 不可能不可能 为零为零 ，故与实轴无，故与实轴无交点交点 (2)与实轴的交点与实轴的交点(3)变化范围变化范围12( )arctanarctanTT 2112222212(1)()()(1)(1)kTTjk TTG jTT由：由：可得：变化范围为可得：变化范围为0-180o12()k TTj0k 0-k例例5-1图图例例5-2 设系统开环传递函数为：设系统开环传递函数为：1212( ); ,0(1)(1)kG sk T Ts TsT s试绘制系统概略开环幅相曲线。试绘制系统概略开环幅相曲线。j231 212

46、kTTTT0例例5-2图图1例例5-3 已知单位反馈系统开环传递函数为：已知单位反馈系统开环传递函数为：1212(1)( ); ,0(1)(1)ksG sk T Ts TsT s试绘制系统概略开环幅相曲线。试绘制系统概略开环幅相曲线。j01 212TTTT1 212TTTT例例5-3图图例例5-4 已知系统开环传递函数为：已知系统开环传递函数为：(1)( ); , ,0(1)ksG sk Ts Ts试绘制系统概略开环幅相曲线。试绘制系统概略开环幅相曲线。j0k例例5-4图图例例5-5 设系统开环传递函数为：设系统开环传递函数为：22( ); ,0(1)(1)nkG sk Tss Ts试绘制系统

47、概略开环幅相曲线。试绘制系统概略开环幅相曲线。j00n例例5-5图图nn开环概略幅相曲线的绘制规律：开环概略幅相曲线的绘制规律：v开环幅相曲线的起点开环幅相曲线的起点：取决于比例环节：取决于比例环节K和积分或和积分或微分环节的个数微分环节的个数vv开环幅相曲线的终点：开环幅相曲线的终点：取决于开环传递函数中分子取决于开环传递函数中分子分母多项式中最小相位环节和非最小相位环节的介分母多项式中最小相位环节和非最小相位环节的介次和次和v若开环传递函数存在若开环传递函数存在l重等幅震荡环节，则相频特性重等幅震荡环节，则相频特性在在n n附近相角突变附近相角突变- -l*180o4.开环对数频率特性曲线

48、开环对数频率特性曲线开环对数频率特性曲线的绘制方法：开环对数频率特性曲线的绘制方法： 叠加法：即先绘制出构成系统的各典型环叠加法：即先绘制出构成系统的各典型环节对数频率特性曲线，然后进行叠加，即可得节对数频率特性曲线，然后进行叠加，即可得出系统的频率特性曲线出系统的频率特性曲线开环频率特性曲线的绘制步骤开环频率特性曲线的绘制步骤系统典型环节分为三部分系统典型环节分为三部分（a） 或或ks(0)kks(b)一阶环节：惯性环节、一阶微分环节及对一阶环节：惯性环节、一阶微分环节及对应的非最小相位环节应的非最小相位环节（1 1）开环传递函数典型环节分解）开环传递函数典型环节分解一阶环节的交接频率为一阶

49、环节的交接频率为1/T，二阶环节的交，二阶环节的交接频率为接频率为n。 记记min为最小交接频率，称为最小交接频率，称minmin渐近特性线渐近特性线21Tj因子的转折频率因子的转折频率1T高频渐近线，其斜率为高频渐近线，其斜率为decdBmn/)(20（n为极点数，为极点数，m为零点数）为零点数） 注：作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正 根据表达式，在低频中频和高频区域中各选根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线择若干个频率进行计算，然后连成曲线 （5）作相频特性曲线。）作相频特性曲线。例例已知一反馈控制系

50、统的开环传递函数为已知一反馈控制系统的开环传递函数为)5 . 01 ()1 . 01 (10)()(ssssHsG试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示）示） )5 . 01 ()1 . 01 (10)()(ssssHsG10(1)1010()(1)2jG jjj（1+0.1j ）j (1+0.5 )22101lg2021lg20lg2010lg20)(L10290)(arctgarctg解：解：将系统按典型环节分解将系统按典型环节分解L()dB0dB2040-40-20100220101200-20db/dec-40db/dec-20db/

51、dec10022010120020lg10-90o-180oBode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-40-200204010-1100101102-150-120-90Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-40-200204010-1100101102-150-120-90-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec绘制L()例题100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-20-40) 130/ s)(1s2(

52、s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 绘制绘制的的L()曲线曲线低频段低频段：S405 . 0 时为时为38db1 . 0 时为时为52db转折频率：转折频率：0.5 2 30斜率：斜率： -20 +20 -20-20-40例例5-65-6已知开环系统传递函数为已知开环系统传递函数为2220004000( )( )(1)(10400)sG s H sssss试绘制系统开环对数频率特性渐近线试绘制系统开环对数频率特性渐近线2210 12( )( )1 2(1)1202 20sG s H ssss解：解：将开环传递函数按典型环节分解将开环传递函数按典型环节分解L()dB0dB2040

53、-40-20100220101200-40db/dec-60db/dec-40db/dec-80db/dec5-35-3频率域稳定判据（频率域稳定判据（奈氏判据奈氏判据）（1 1）奈奎斯特稳定性判据是根据闭环系统的开环频）奈奎斯特稳定性判据是根据闭环系统的开环频率特性判断闭环系统稳定性的一种判据（在时域里，率特性判断闭环系统稳定性的一种判据（在时域里，劳斯判据劳斯判据）。）。（2 2）奈奎斯特稳定性判据不需要求解闭环系统的特）奈奎斯特稳定性判据不需要求解闭环系统的特征根，当系统某些环节（延迟）无法用分析法写时，征根，当系统某些环节（延迟）无法用分析法写时，可以通过实验法获得系统开环频率特性来判

54、断闭环可以通过实验法获得系统开环频率特性来判断闭环稳定性。稳定性。（3 3）奈奎斯特稳定性判据能给出系统的稳定裕量）奈奎斯特稳定性判据能给出系统的稳定裕量（幅值裕量、相位裕量幅值裕量、相位裕量）来描述系统的相对稳定性，）来描述系统的相对稳定性，能指出提高和改善系统动态性能的途径，因而这种能指出提高和改善系统动态性能的途径，因而这种方法在工程上获得广泛的应用。方法在工程上获得广泛的应用。奈奎斯特稳定性判据特点奈奎斯特稳定性判据特点：奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线曲线 GHGH不穿过（不穿过（-1-1，j0j0）

55、点，且逆时针包围）点，且逆时针包围（-1-1，j0j0）点的圈数）点的圈数R R等于开环传递函数的正等于开环传递函数的正实部极点数实部极点数P P。1、半闭合曲线、半闭合曲线GH的绘制的绘制ReIm00 -10P （a）(1)(1)开环传递函数不含积分环节，直接用开环幅相曲线为开环传递函数不含积分环节，直接用开环幅相曲线为GHGHReIm00 -10P （b）(2)(2)开环传递函数含开环传递函数含个个积分环节积分环节绘制开环幅相曲线后，应从频率绘制开环幅相曲线后，应从频率0+0+对应的点开始，逆时针补对应的点开始，逆时针补画圆心角为画圆心角为9090、半径无穷大的圆。、半径无穷大的圆。ReI

56、m00 -12,0P（a）1、半闭合曲线、半闭合曲线GH的绘制的绘制1、半闭合曲线、半闭合曲线GH的绘制的绘制（3 3）开环传递函数含）开环传递函数含有等幅振荡有等幅振荡环节时环节时绘制开环幅相曲线后，应从绘制开环幅相曲线后，应从G(jG(jn-n-)H(j)H(jn n- -) )点开始，顺时针补画点开始，顺时针补画圆心角为圆心角为1 1180180、半径无穷大的圆弧至、半径无穷大的圆弧至G(jG(jn+n+)H(j)H(jn n+ +) )点。点。2、包围圈数、包围圈数R的计算的计算开环幅相曲线包围开环幅相曲线包围(-1,j0)(-1,j0)点的圈数，仅仅与幅相曲线点的圈数，仅仅与幅相曲线

57、(, 1) 的次数有关。的次数有关。穿越实轴区间穿越实轴区间把自上向下把自上向下( (逆时针逆时针) )穿越这个区间的次数表示为穿越这个区间的次数表示为N把自下向上把自下向上( (顺时针顺时针) )穿越这个区间的次数表示为穿越这个区间的次数表示为NNNN1正穿越负穿越2、包围圈数、包围圈数R的计算的计算ReIm0-1+-幅相曲线在实轴幅相曲线在实轴 区间的正负穿越图区间的正负穿越图(, 1) 右图中右图中2N2N220NNN则，则，注意：若穿越时从这个区间的实轴上开始的，注意：若穿越时从这个区间的实轴上开始的， 记为半次正记为半次正( (半次负半次负) )穿越。穿越。开环幅相曲线包围开环幅相曲

58、线包围(-1,j0)(-1,j0)点的圈数点的圈数R=2Nj0-1-12、包围圈数、包围圈数R的计算的计算V=02、包围圈数、包围圈数R的计算的计算11V=1V=2j0-1-12、包围圈数、包围圈数R的计算的计算V=2j0-1-12、包围圈数、包围圈数R的计算的计算V=0j0-1-12、包围圈数、包围圈数R的计算的计算V=0奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线曲线 GHGH不穿过（不穿过（-1-1，j0j0）点，且逆时针包围）点，且逆时针包围（-1-1，j0j0）点的圈数）点的圈数R R等于开环传递函数的正等于开环

59、传递函数的正实部极点数实部极点数P P。奈氏判据奈氏判据 Z=P-R=P-2NZ=0时稳定。时稳定。) 1sT)(1sT)(1sT(K) s (G321) 1sT)(1sT( sK) s (G21) 1Ts(sK) s (G21TsK) s (GReIm00- -1 1A AB BC C例例5.13 5.13 已知最小相位系统的开环奈奎斯特（幅相）曲线已知最小相位系统的开环奈奎斯特（幅相）曲线该曲线与实轴的交点为该曲线与实轴的交点为A A、B B、C C点，相应三点的频率为点，相应三点的频率为 试确定开环增益试确定开环增益K K的稳定范围。的稳定范围。cba、K减小减小临界稳定值临界稳定值临界

60、稳定值ccbbaaKKK解：柯西幅角定理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上相对应封闭曲线F 包围原点的圈数R=P-Z。若R为正，表示 F逆时针包围原点；若R为0，表示F不包围原点；若R为负，表示F顺时针包围原点。)()()()()(1)()(1)(SASBSASASBSHSGSF将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：由上式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点； 三个特点：三个特点： 1. 零、极点分别为闭、开环特征根零、极点分别为闭、开环特征根;2.