视导材料：直线与圆锥曲线位置关系教师版

1、课题：直线与圆锥曲线活动一：基础检测：1.抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为 的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是_.2.椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是_.3.过点（0，）的直线l与抛物线yx2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为_.答案：1.42. .± 3.活动二：探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1（南通市2015届高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆（）的左、右焦点，顶点的坐标为（0，b），且是边长为的等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2

2、）过右焦点的直线与椭圆交于两点，记，的面积分别为，.若，求直线的斜率.训练1.（2015届南京、盐城市高三二模）如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：（）的离心率为，直线l：与椭圆E相交于A，B两点，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.（1）求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值.xyAOBCDMN解（1）因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2. 2分故椭圆方程为1.由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限.由解得A（b，b）.又AB2，所以OA，即b2b25，解得b23.故a，b. 5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为

3、 1，从而A（2，1），B（2，1）.当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1k2.从而k1 ·kCB·. 所以kCB. 8分同理kDB. 于是直线AD的方程为y1k2（x2），直线BC的方程为y1（x2）.由解得 从而点N的坐标为（，）. 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）. 11分所以kMN 1.即直线MN的斜率为定值1. 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，1）.仍然设DA的斜率为k2，由知kD

4、B.此时CA：x2，DB：y1（x2），它们交点M（2，1）.BC：y1，AD：y1k2（x2），它们交点N（2，1），从而kMN1也成立.由可知，直线MN的斜率为定值1. 16分方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 1，从而A（2，1），B（2，1）.当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2.显然k1k2.直线AC的方程y1k1（x2），即yk1x（12k1）.由得（12k12）x24k1（12k1）x2（4k124k12）0.设点C的坐标为（x1，y1），则2·x1，从而x1. 所以C（，）.又B（2，1），所以kBC. 8分所以直线BC的方程为

5、y1（x2）.又直线AD的方程为y1k2（x2）.由解得 从而点N的坐标为（，）. 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）. 11分所以kMN 1.即直线MN的斜率为定值1. 14分当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，1）.仍然设DA的斜率为k2，则由知kDB.此时CA：x2，DB：y1（x2），它们交点M（2，1）.BC：y1，AD：y1k2（x2），它们交点N（2，1），从而kMN1也成立.由可知，直线MN的斜率为定值1. 16分探究点二中点弦问题【例2】过点P（1，1）作直线交椭圆 1于

6、A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在直线的方程. 审题视点 已知弦的中点，常采用“点差法”求弦所在直线的斜率，进而求得直线的方程.解设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则1，1，由得.线段AB所在直线的方程为y1（x1），即x2y30. 中点弦问题常用“点差法”求解.在椭圆1中，以P（x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P（x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k，在抛物线y22px（p0）中，以P（x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k.【训练2】椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆

7、的方程.解设A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程并作差得a（x1x2）（x1x2）b（y1y2）（y1y2）0.而1，kOC，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程（ab）x22bxb10的两根，故24·4，将ba代入得a，b. 所求椭圆的方程是1.探究点三定值（定点）问题【例3】已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P（x1，y1），Q（x2，y2）且x1x22.（1）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；（2）设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标.审题视点 （1）由x1x22可得PQ的中点横坐标，引入参数PQ中

8、点的纵坐标，先求kPQ，利用直线PQ的方程求解.（2）建立PB关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值.（1）证明P（x1，y1），Q（x2，y2），且x1x22.当x1x2时，由，得·.设线段PQ的中点N（1，n），kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n（x1），（2x1）ny0，则直线恒过一个定点A.当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.（2）解由于点B与点A关于原点O对称，故点B.2x12，2x22，x12x20，2，PB22y（x11）2，当点P的坐标为（0，±）时，PBmin. 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证

9、明题常见的有：证明直线过定点和证明某些量为定值.而解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向.【训练3】（2011·四川）如图过点C（0，1）的椭圆 1（ab0）的离心率为.椭圆与x轴交于两点A（a，0）、B（a，0）.过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（2）当点P异于点B时，求证：·为定值.（1）解由已

10、知得b1，解得a2，所以椭圆方程为y21.椭圆的右焦点为（，0），此时直线l的方程为yx1，代入椭圆方程化简得7x28x0.解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为.故CD .（2）当直线l与x轴垂直时与题意不符.设直线l的方程为ykx1（k0且k）.代入椭圆方程化简得（4k21）x28kx0.解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为.又直线AC的方程为y1，直线BD的方程为y（x2），联立解得因此Q点坐标为（4k，2k1）.又P点坐标为.所以··（4k，2k1）4. 故·为定值.活动三：自主检测：一、填空题1.（2

11、009·重庆）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_.2.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为_.3.已知直线yk（x2）（k0）与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点.若FA2FB，则k .4.（2011·镇江模拟）若直线ykx1（kR）与焦点在x轴上的椭圆 1恒有公共点，则t的范围是 .5.（2010·全国）已知抛物线C：y22px（p0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为 的直线与l相交

12、于点A，与C的一个交点为B，若AM，则p_.自主检测：1. yx2.2解析由抛物线y24x知直线l2为其准线，焦点为F（1，0）.由抛物线的定义可知动点P到直线l2的距离与P到焦点F（1，0）的距离相等，所以P到直线l1的距离与P到焦点F（1，0）的距离之和的最小值为焦点F（1，0）到直线l1的距离（如图），则d2.3. 4.1，5）5.2二、解答题：6.（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F ¢与F，圆：.（1）设M为圆F上一点，满足，求点M的坐标；（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT

13、，证明：点F到直线QT的距离FH为定值.（第6题） 7.（2010·天津）已知椭圆1（ab0）的离心率e，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且·4，求y0的值.解（1）由e，得3a24c2.再由c2a2b2，得a2b.由题意可知×2a×2b4，即ab2.解方程组得所以椭圆的方程为y21.（4分）（2）由（1）可知A（2，0），且直线l的斜率必存在.设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk（

14、x2）.于是A，B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得（14k2）x216k2x（16k24）0.由根与系数的关系，得2x1，所以x1，从而y1.设线段AB的中点为M，则M的坐标为（，）.（6分）以下分两种情况讨论：当k0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2，y0），（2，y0）.由·4，得y0±2.（8分）当k0时，线段AB的垂直平分线的方程为y（x）.令x0，解得y0. 由（2，y0），（x1，y1y0），·2x1y0（y1y0）（）4，整理得7k22，故k±.所以y0±.（13分）综上，y0±2或y0±.（14分）8.（2015年江苏高考）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线分别交椭圆于A，B两点，线段