2021-2022学年广东省佛山市顺德区乐从中学高一下学期期中数学试题

1、广东省佛山市顺德区乐从中学20212022学年高一下学期期中数学试题一、单选题1.i是虚数单位，复数1+ai2-i为纯虚数，则实数a为( )A.2B.-2C.-12D.12【答案】A【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令实部为0，虚部不为0建立关于a的方程组解出即可.【详解】1+ai2-i=(1+ai)(2+i)(2-i)(2+i) =2-a+(2a+1)i5 =2-a5+(2a+1)5i复数1+ai2-i为纯虚数2-a=02a+10，解得a=2，故选A.【点评】本题主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的

2、模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知向量a=1，m，b=3，-2，且(a+b)b，则m=A.8B.6C.6D.8【答案】D【分析】由已知向量的坐标求出a+b的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】a=(1，m)，b=(3，-2)，a+b=(4，m-2)，又(a+b)b，3×4+(2)×(m2)0，解得m8.故选D.【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.3.已知 (0，2)，2sin2=cos2+1，则sin=A.15

3、B.55C.33D.255【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.【详解】2sin2=cos2+1，4sincos=2cos2.0，2，cos>0.sin>0，2sin=cos，又sin2+cos2=1，5sin2=1，sin2=15，又sin>0，sin=55，故选B.【点评】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉.4.若tan>0，则A.sin>0B.co

4、s>0C.sin2>0D.cos2>0【答案】C【分析】由tan=sincos及sin2=2sincos即可得解.【详解】由tan=sincos>0，可得sin2=2sincos>0.故选C.【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.5.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC【答案】A【分析】先由AD为BC边上的中线得到AD=12AB+AC，再由向量的线性运算即可求解.【详解】如图，易知AD=12AB+AC，则EB=EA+AB=

5、12DA+AB=-12AD+AB=-1212AB+12AC+AB=-14AB-14AC+AB =34AB-14AC. 故选A.6.已知a，b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，则()A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线C.B，C，D三点共线D.A，C，D三点共线【答案】B【分析】根据向量的共线定理，对每个选项逐个分析.【详解】由于a，b为不共线的非零向量，AB，BC向量，BC，CD向量显然没有倍数关系，根据向量共线定理，它们不共线，A，C选项错误；BD=BC+CD=a+5b=AB，于是A，B，D三点共线，B选项正确；又AC=AB+BC=-a+13b

6、，显然和CD也没有倍数关系，D选项错误.故选B.7.若0<<2，-2<<0，cos4+=13，cos4-2=33，则cos+2=()A.33B.-33C.539D.-69【答案】C【分析】由于cos+2=cos4+-4-2结合两角和的余弦公式可求解，由已知条件求出sin4+，sin4-2的值，从而可求出答案【详解】cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2，因为0<<2，-2<<0所以4+4，34，4-24，2，因为cos4+=13，cos4-2=33，所以sin4+=223，sin4-2=63，则cos+2=

7、13×33+223×63=539.故选C8.在ABC中，B=4，BC边上的高等于13BC，则cosA=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010【答案】C【解析】试题分析：设AD=aAB=2a，CD=2a，AC=5asin=cos=22，sin=25，cos=15cosA=cos(+)=-1010，故选C.考点：解三角形.二、多选题9.在水流速度为43km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是()A.这艘船航行速度的大小为123km/hB.这艘船航行速度的大小为83km/hC

8、.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150°D.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°【答案】BD【分析】根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.【详解】设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船的航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知：v3=v12+v22=83km/h，设船的航行方向和水流方向的夹角为，所以tan180°-=1243=3，所以=120°，故选BD.10.已知曲线C1：y=cosx，C2：y=cos2x+3，则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2

9、倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6个单位长度，得到曲线C2C.把C1向左平移6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C2D.把C1向左平移3个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C2【答案】BD【分析】直接由图像的平移伸缩变换依次判断即可.【详解】先把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y=cos2x，再把得到的曲线向左平移6个单位长度，得到y=cos2x+6=cos2x+3，故A错误

10、，B正确；先把C1向左平移3个单位长度，得到y=cosx+3，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y=cos2x+3，故C错误，D正确.故选BD.11.已知向量a=32，12，b=12，32则下列说法正确的是()A.a+ba-bB.a，b的夹角为60C.a在b上的投影向量的坐标为(34，34)D.b在a上的投影向量的坐标为(34，34)【答案】ACD【分析】根据两个向量垂直的充要条件，将垂直关系转化成数量积为0，即可判断A；根据夹角的坐标公式即可求解B；根据投影向量的求解即可求解C，D.【详解】由a=32，12，b=12，32，可知a=b=1，ab=32 对于A.，

11、所以a+ba-b=a2-b2=1-1=0，故a+ba-b，故A对.对于B，设 为a，b的夹角，则cos=abab=32，0，180， 所以a，b的夹角为30 ，故B错.对于C， a在b上的投影向量为acosbb=32b=34，34 ，故C对.对于D， b在a上的投影向量为bcosaa=32a=34，34 ，故D对.故选ACD12.若将函数f(x)=cos(2x+12)的图象向左平移8个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A.g(x)的最小正周期为B.g(x)在区间0，2上单调递减C.x=12是函数g(x)的对称轴D.g(x)在6，6上的最小值为12【答案】AD【解析】函数f

12、(x)=cos(2x+12)的图象向左平移8个单位长度后得函数g(x)的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等.【详解】函数f(x)=cos(2x+12)的图象向左平移8个单位长度后得g(x)=cos2x+8+12 =cos2x+3，最小正周期为，A正确；2k2x+3+2k(kZ)k-6x3+k(kZ)为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为-6，3，故B错；令2x+3=k，得x=-6+k2，kZ，故C错；x6，6，2x+30，23，cos(2x+3)-12，1，故 D对故选AD三、填空题13.函数f(x)=Asin(x+)(A，是常数，A>0，>0)的部分图象如图所示，则_【

13、答案】62【解析】由图可知：A=2，T4=712-3=4，=2， 2×3+=2k+，=2k+3，f(0)=2sin(2k+3)=62 故答案为62.14.设为锐角，若cos+6=45，则sin(2+12)的值为_.【答案】17250【分析】利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.【详解】为锐角，6<+6<23， sin+6=1-cos2+6=35.sin(2+12)=sin(2+3-4)=22sin2+3-22cos2+3=22×2sin+6cos+6-222cos2+6-1=2×35×45-222

14、15;452-1=12225-7250=17250.故答案为：1725015.已知复数z满足方程z2+4z+5=0，则z=_.【答案】5【分析】先解方程求出z，再计算z即可.【详解】由题意知：z=-4±16-202=-2±i，故z=-22+±12=5.故答案为：5.16.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=a+b(，R)，则_.【答案】4【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】建立如图所示的直角坐标系.可知：a=-1，1， b=6，2，c=-1，-3，因为c=a+b，R，所以-1=-+6-3=+2 解得：=-2=-12 ，故=4，故答案为：4四、

15、解答题17.设函数fx=cosx+(>0，-2<<0)的最小正周期为，且f4=32(1)求和的值；(2)填下表并在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象；x+xf(x)【答案】(1)=2，=-3；(2)见解析【分析】(1)先由最小正周期求出=2，再由f4=32解出=-3即可；(2)直接填出表格画出图像即可.【详解】(1)由题意知：T=2=，解得=2，又f4=cos(24+)=32，又-2<<0，解得=-3.(2)由(1)知：fx=cos2x-3，列表如下2x-3-3023253x06512231112f(x)1210-1012图像如图：.18.若e1，e2是夹

16、角为60的两个单位向量，a=2e1+e2，b=-3e1+2e2.(1)求ab(2)求向量a，b的夹角.【答案】(1)-72；(2)120【分析】(1)先计算出e12，e22，e1e2，再由数量积的运算律计算ab即可；(2)先由a=a2，b=b2计算出a，b，再由夹角公式计算夹角即可.【详解】(1)由题意知：e12=1，e22=1，e1e2=e1e2cos60=12，则ab=2e1+e2-3e1+2e2=-6e12+e1e2+2e22 =-6+12+2=-72；(2)设a，b的夹角为，a2=4e12+4e1e2+e22=7，则a=a2=7，b2=9e12-12e1e2+4e22=7，b=b2=7

17、，故cos=abab=-12，则=120，故向量a，b的夹角为120.19.如图，A，B是海面上位于东西方向相距53+3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】救援船到达D点需要1小时.【解析】解：由题意知AB=5(3+3)海里，DBA=90°-60°=30°，DAB=45°，ADB=105°在DAB中，由正弦定理得DBsinDAB

18、=ABsinADBDB=ABsinDABsinADB=5(3+3)sin45°sin105°=5(3+3)sin45°sin45°cos60°+sin60°cos45°海里又海里中，由余弦定理得，海里，则需要的时间答：救援船到达D点需要1小时20.已知函数fx=2sin4+xsin4-x+23sinxcosx(1)求f6；(2)在ABC中，若fA2=2，求sinB+sinC的最大值.【答案】(1)2；(2)3【分析】(1)先通过诱导公式及降幂公式得到f(x)=cos2x+3sin2x，再由辅助角公式得到f(x)=2sin(2

19、x+6)，代入求值即可；(2)先由(1)求得A=3，再通过差角正弦公式及辅助角公式求得sinB+sinC=3sin(B+6)，结合正弦函数最值即可求解.【详解】(1)易知sin4-x=sin2-4+x=cos4+x，则fx=2sin4+xcos4+x+23sinxcosx=sin(2+2x)+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6)，故f6=2sin2×6+6=2；(2)由(1)知，fA2=2sin(A+6)=2，又A0，故A=3，B+C=23，则sinB+sinC =sinB+sin(23-B)=sinB+32cosB+12sinB =332sinB+12cos

20、B=3sin(B+6)，显然当B=3时，sinB+sinC取得最大值，最大值为3.21.已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A；(2)若a=2，ABC的面积为3，求b、c.【答案】(1)A=3；(2)b=c=2【分析】(1)由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0，再由sinB=sin(A+C)化简得3sinA-cosA=1，再借助辅助角公式求A即可；(2)由面积公式求得bc=4，再由余弦定理求得b2+c2=8，联立解方程即可求出b，c.【详解】(1)由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0，又A+C=-B，则sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，则sinAcosC+3sinAsinC-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0，整理得3sinAsinC-sinCcosA-sinC=0，又sinC0，故3sinA-cosA=1，