最新的现代数学概况

1、现代数学概况初等教育学院初等教育学院赵世恩赵世恩一一 现代数学概况现代数学概况二二 数学的分类数学的分类一一 现代数学概况现代数学概况1 第三次数学危机2 数学基础3 哥德尔的不完全性定理4 二十世纪的数学发展1 第三次数学危机 1.1 对数学基础的思考 自古希腊以来，数学的严格基础严格基础就是数学家们追求的目标，而这样的追求在20世纪前，曾经历过两次巨大的考验两次巨大的考验： 古希腊不可公度量的发现（无理数）古希腊不可公度量的发现（无理数） 微积分基础的争论（无穷小量）微积分基础的争论（无穷小量） 19世纪末世纪末，严格的微积分理论的建立，数学史上的第二次危机基本解决。 1900年年在巴黎举

2、行的第二届国际数学第二届国际数学家大会上家大会上，庞加莱高兴的指出：“今天我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！完全的严格性已经达到了！” 但事实上，集合论集合论的相容性相容性（无矛盾性无矛盾性）没有得到证明！ 要想使我的集合论完美无缺，就不能不能研究一切一切集合所组成的集合！集合所组成的集合！ 康托康托微积分理论微积分理论集合论集合论实数理论实数理论 1.2 悖论的出现 1901年，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的希望，引起了对数学基础的新争论。 对数学基础的更深入的探讨，以及由此引发的数理逻辑的发展是20世纪纯粹数学的又一重要发展趋势。 悖论悖论就是指这样的推理过程推理

3、过程：它看上去它看上去是合理的，但结果却得到了矛盾。是合理的，但结果却得到了矛盾。 例：设M=A|A为非空集合，且为非空集合，且A不属于不属于A， 问：问：M是否属于是否属于M？ 罗素悖论不仅否定了庞加莱关于“完全的严格性已经达到”，而且直接动摇了把集合论集合论作为分析基础的信心！作为分析基础的信心！ 一个科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成的时候它的基础坍塌了。工作完成的时候它的基础坍塌了。 费雷格 人们把集合论悖论的出现，和由此引起的争论称为第三次数学危机第三次数学危机。2 数学基础 从20世纪开始，数学家们对数学基础展开激烈的争论和不懈的探索。按照哲学观点的不同，分为以下3大派

4、： 逻辑主义 费雷格和罗素费雷格和罗素 直观主义 布劳沃布劳沃 形式主义 希尔伯特希尔伯特 2.1 逻辑主义 逻辑主义认为算数理论不能看成是全部数学的最终基础，数学的可靠基础是逻辑。 （1）从少数的逻辑概念出发去定义全部、或大部分数学概念； （2）从少数的逻辑法则出发去演绎全部、或大部分数学理论。 功绩：成功的将古代数学纳入到一个统一的公理系统，虽然这个系统不是纯逻辑的，但却是近代（现代）公理化方法发展中的一个重要起点。 不足：隔离了数学与现实的关系，企图没有实现，也不可能实现。 2.2 直观主义 直观主义者认为数学的出发点不是集合论，而是自然数：（1）在无限观的问题上彻底采用潜无限，排斥实无

5、限； 例：拒绝无穷集合，集合论不是数学，而是玄学！ （2）否定传统逻辑的普遍有效性，重新建立直观主义的逻辑规则。 例：不允许将排中律用到无穷集合。 否定用排中律得到的存在性定理就相当于全部放弃了数学的科学性。 希尔伯特 （3）批判古典数学，排斥非构造数学； 例： 不承认中值定理 功绩：他们指出，数学上最重要的进展不是通过完善逻辑形式，而是通过变革其基本原理得到了，不是数学依赖逻辑，而是逻辑依赖数学； 排中律的使用。 不足：把古代数学搞的支离破碎！整个公理体系太少，使得数学的任务“非常艰巨”！最终失败了！ 2.3 形式主义 (1)逻辑和数学中的基本概念和公理系统都是一行行毫无意义的符号。 数学是

6、关于形式系统的科学。 柯瑞 （2）数学的真理性等价于系统的相容性，无矛盾性是对数学系统的唯一要求。 数学本身就是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑，同时建立自己的数学；各有各的概念；各有各的公理系统；各有各的推到订立的法则，各有各的定理。把每个演绎系统发展起来，就是数学的任务！ 功绩：为数学家提供了创造任意数学结构的自由； 使数学研究从“实在”的舒服下解放了出来； 利用新的数学基础，人们完全可以称之为证明论，我们将可以解决世界上所有的基础性问题。希尔伯特（1928年，国际数学家大会） 不足：希尔伯特认为能够解决相容性以及完备性问题。类比类比 公交车表示公理体系 乘客表示数学内容逻辑主义直观主义

7、形式主义给予数学足够给予数学足够思考和思考和研究的空间！研究的空间！3 哥德尔的不完全性定理 1931年在数学物理月刊上发表了一篇题为论和有关系统中的形式不可判定命题的论文，作者哥德尔。它被认作数学和逻辑的基础方面的划时代文献。 功绩： 它摧毁了数学的所有重要领域能被完全公理化这一强烈的信念！ 它扑灭了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望！ 它是的人们不得不必须重新评价普遍认可的数学哲学！ 它把一个新的、强有力且丰富的分析级数引到了基础研究中。 皮亚诺关于自然数系建立的公设集不是完全的。 哥德尔第一定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中不可判定问题；即存在F中

8、的命题S，使得S和非S都在F中不可证。 例：哥德巴赫猜想，还没有被证明或推翻！ 是否有方法确定一个命题是否可判断呢？ 车敕定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，不存在有效的方法，决定F中的哪些命题在F中是可证的。 哥德尔第二定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中证明。 数学不再是精确论证的顶峰，不再是真理的化身，任何公理体系都有局限性。 相容就不完备，完备一定有矛盾！4 二十世纪的数学发展数论：古典数论 解析数论，代数数论，超越数论, 模型式与模函数论代数学：线性代数 群论, 群表示论, 李群, 李代数, 代数群, 典型群, 同调代数, 代数K理论, Kac

9、-Moody代数, 环论, 代数, 体, 格, 序结构. 域论和多项式 拓扑群 矩阵论 向量代数 张量代数几何学：（整体，局部）微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论, 杨-米尔斯场与纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何 欧氏几何 非欧几何 解析几何拓扑学：微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑. 流形和胞腔复形 大范围分析,微分拓扑 同调论复流形泛函分析：（非）线性泛函分析, 算子理论, 算子代数, 差分与泛函方程, 广义函数. 变分法，积分变换 积分方程微分方程：泛函微分方程, 特征

10、与谱理论及其反问题, 定性理论, 稳定性理论、分支理论,混沌理论, 奇摄动理论,动力系统, 常微分方程非线性椭圆(和抛物)方程,偏微分方程, 微局部分析与一般偏微分算子理论, 调混合型及其它带奇性的方程, 非线性发展方程和无穷维动力系统.20世纪诞生的数学：分形几何、混沌学、数学实验 概率论的发展历史概率论起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。1657年，荷兰数学家惠更斯发表了论赌博中的计算，这是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。而概率论最为一门独立的数学分支，真

11、正的奠基人是雅格布，伯努利。他在遗著猜度术中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。18世纪-19世纪的概率论 伯努利之后，法国数学家棣莫弗把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。 之后法国数学家蒲丰提出了著名的“普丰问题”，引进了几何概率。 另外，拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步奠基性工作。特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的概率的分析理论中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结

12、果系统化，开辟了概率论发展的新时期。 泊松则推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。19世纪-20世纪的概率论 19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。 他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。 19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。这些问题却强烈要求对概率论的逻辑基础做出更加严格的考察19世

13、纪-20世纪的概率论 1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作概率论基础，这是概率论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。 由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支密切地联系者。科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，他还是出色的教育家。由于概率论等其它许多领域的杰出贡献，科尔莫戈罗夫荣获80年的沃尔夫奖。 古典概型 几何概型 统计概型

14、 概率空间的概念泛函分析概论 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。 由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科； 对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论； 对数学分析的研究又建立了集合论。 这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。 比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并

15、且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。 泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的映像。 这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。 随后，希尔伯

16、特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 研究无限维线性空间上的泛函和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。 在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 度量空间 Banach空间 Hilbert空间 1. 一致有界定理（共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对

17、偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。 泛函分析目前包括以下分支： 软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。 巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。 非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。 与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何

18、化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间