第六节压杆稳定

1、1第七章第七章 强度理论强度理论目录2 构件的失效方式：一 脆性断裂；二为塑性屈服 于是对材料破坏的原因，提出了各种不同的假说，即强度理论。 目的：复杂应力状态下，材料破坏的原因，利用简单的轴向拉伸或压缩试验结果来研究此状态下的强度条件。以下为常用的强度理论。3一、脆性断裂理论（1） 最大拉应力理论即：第一强度理论中心思想：最大拉应力是引起断裂的主要因素。任一点的拉应力达到极限应力值jx，材料就要发生断裂破坏。破坏条件：强度条件：jx 1 1优点： 可很好地解释铸铁等脆性材料在拉伸和扭转时的破坏条件。缺陷：没有考虑另两个主应力的影响，对没有拉应力的状态不适用。4（2） 最大伸长线应变理论即：第

2、二强度理论中心思想：最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。任一点最大伸长线应变1达到极限值jx，材料就要发生断裂破坏。由广义虎克定律知 ：32111E5破坏条件为：破坏条件为：即即强度条件为：强度条件为：Ejxjx 1 321优点： 可很好地解释石料、混凝土等脆性材料压缩时的破坏现象。 EEjx 321116二、塑性屈服理论(1) 最大剪应力理论 即：第三强度理论中心思想：最大剪应力是引起材料破坏的主要因素。任一点最大剪应力max达到极限值0，材料就要发生屈服破坏。由前知 ： 0由单向拉伸试验确定，在与轴线成45度的斜面上有：所以，屈服条件为：231max200220317除以安全系数后强度条件

3、为： 31优点： 可很好地解释塑性材料的屈服现象。没有考虑中间主应力的影响，计算结果偏于安全。(2) 形状改变比能理论 即：第四强度理论中心思想：形状改变比能是引起材料破坏的主要因素。无论处于何种应力状态，形状改变比能Uf达到单向拉伸相应于0的形状改变比能Uf 0时，材料就要发生屈服。几个概念： 变形能，比能，体积改变比能，形状改变比能三向应力状态，弹性体的形状改变比能：单向拉伸相应于0的形状改变比能为：2312322161Euf200612Euf8所以，综合两式得屈服条件：02312322121 2312322121强度条件：综合：四个强度理论统一为： 相当应力，由三个主应力按一定形式组合的

4、。如下： r23123221431332121121rrrr9作用范围：脆性材料产生脆性断裂失效，采用第一二强度理论； 塑性材料产生塑性屈服形式的失效，采用第三四强度理论。材料的破坏，仍与所处的应力状态有关。第五节 组合变形的强度计算一、组合变形的概念与实例组合变形：杆件同时产生两种或两种以上的基本变形。研究方法：假设，在材料服从虎克定律和小变形时，每一种基本变形都各自独立、互不影响。采用叠加原理，外力简化分解，对应几种基本变形，求出各自的内力、应力，然后进行叠加。10（1）拉伸（或压缩）与弯曲的组合如图：矩形截面悬臂梁，纵向对称面内力P，与梁的夹角为，分解：Px=Pcos Py=Psin 则

5、，可知： Px使梁产生轴向拉伸， Py使梁产生弯曲。各横截面正应力：最大弯曲正应力：将危险截面上的正应力与拉伸正应力按代数和相加，得到危险截面上的总的正应力，如图：在截面的上下边缘处应力值有最值：ppxpyxyzoo固定端APANcosWPlWlPWMysinmax maxminWMANmaxminmax11（2）弯曲与扭转的组合左端固定，右端自由，受力偶矩为m、向下的外力P的作用：力偶使轴扭转变形，横向力使轴弯曲变形。扭矩图和弯矩图如下：强度条件： WMANmaxmaxTmMplLyxZPmOC1C212可知，上下边缘的C1和C2点的正应力和剪应力同时达到最大值：tWTWM强度条件的建立：塑

6、性材料（抗拉和抗压强度相等），取一点研究即可。现取C1点，其单元体为二向应力状态，即：x=，y=0和xy=，代入公式：22minmax22xyyxyx得C点的三个主应力为：C1042122223113不同材料的强度校核采用不同的理论如，塑性材料应采用第三或第四强度理论：则代入校核公式得： 223134r第三强度理论第四强度理论 22231232214321r又已知， 且对圆截面有 Wt=2W，于是得圆轴在扭转和弯 曲组合变形下的强度条件为：tWTWM 2231TMWr 22475. 01TMWr14构件的承载能力构件的承载能力 工程中有些工程中有些构件具有足够的构件具有足够的强度、刚度，却强度

7、、刚度，却不一定能安全可不一定能安全可靠地工作。靠地工作。强度强度刚度刚度稳定性稳定性15不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远微小扰动就使小球远离原来的平衡位置。离原来的平衡位置。 微小扰动使小球离开原微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置后小球回复到平衡位置一、一、压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念11-1目录一、稳定平衡与不稳定平衡一、稳定平衡与不稳定平衡16平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置； 干扰力撤消：干扰力撤消：（1）稳定平衡）稳定平衡 凹面上，刚球回到原位置凹面上，刚球

8、回到原位置（2）不稳定平衡）不稳定平衡 凸面上，刚球不回到原位置，凸面上，刚球不回到原位置， 而是偏离到远处去。而是偏离到远处去。（3）随遇平衡）随遇平衡 平面上，刚球在新位置上平衡平面上，刚球在新位置上平衡一、一、压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念17工程实例工程实例目录一、一、压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念18如右图：如右图：压杆的稳定性试验压杆的稳定性试验简化模型如后目录一、一、压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念19 理想弹性压杆（材理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线）压力沿轴线） 作用压力作用压力P，给给一横向干扰力，出现一横向干扰力，出现类似

9、现象：类似现象： （1）稳定平衡）稳定平衡 若干扰力撤消，直杆能回到原若干扰力撤消，直杆能回到原 有的直线状态有的直线状态 ，图图 b 压力压力P P小小 类似凹面作用类似凹面作用（2）不稳定平衡不稳定平衡 若干扰力撤消，直杆不能回若干扰力撤消，直杆不能回 到原有直线状态，到原有直线状态，图图 c 压力压力P P大大 类似凸面作用类似凸面作用一、一、压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念20压杆的平衡压杆的平衡压力小于临界力压力小于临界力目录一、一、压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念P21压力等于临界力压力等于临界力目录一、一、压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念crPP 22压力大于临界力压

10、力大于临界力目录一、一、压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念 压杆丧失压杆丧失直线直线状态的平衡状态的平衡，过，过渡到渡到曲线状态的曲线状态的平衡平衡失稳失稳。crPP 23目录一、压杆稳定的基本概念一、压杆稳定的基本概念24二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式临界压力临界压力:当杆件所受压力达到某个限度，压杆突然从当杆件所受压力达到某个限度，压杆突然从直线的稳定状态转化为曲线的不稳定状态，直线的稳定状态转化为曲线的不稳定状态，这个压力的限度称为临界压力。这个压力的限度称为临界压力。与临界压力的相关因素：与临界压力的相关因素： 与压杆的材料有关；与压杆的材料有关； 与压杆横截面的形状和

11、尺寸有关；与压杆横截面的形状和尺寸有关； 与压杆的长度有关；与压杆的长度有关； 与牙杆两端的支座形式有关。与牙杆两端的支座形式有关。EPcrJPcr21lPcr21 crP25适用条件：适用条件：理想细长压杆（轴线为直线，压力与轴线重理想细长压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）合，材料均匀）线弹性，小变形线弹性，小变形目录二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式欧拉公式普遍形式：欧拉公式普遍形式：22lEJPcr 支座系数支座系数（长度因数）（长度因数）相当长度相当长度l26两端铰支两端铰支22)(lEJPlj 1 一端固定一端自由一端固定一端自由22)2( lEJPlj 2 目录

12、两端固定两端固定22)5 . 0(lEJPlj 5 . 0 22)7 . 0(lEJPlj 7 . 0 一端固定一端铰支一端固定一端铰支二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式27目录crPcrPcrPcrPcrP二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式28两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式29例题例题解：轴惯性矩临界压力目录22lEJPlj269kNN102693JcrPcrP二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式30目录二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式31欧拉公式欧拉公式22)( lEJPcr 越大越稳定越

13、大越稳定crP减小压杆长度减小压杆长度 l减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束）增大截面惯性矩增大截面惯性矩 J（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）增大弹性模量增大弹性模量 E（合理选择材料）（合理选择材料）提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施11-6目录二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式32减小压杆长度减小压杆长度 l目录二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式crPcrPcrPcrP22lEJPcr 224lEJPcr EJ33减小支座系数减小支座系数（增强约束）（增强约束）目录二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式crP22lEJPcr crPcrP

14、224lEJPcr EJEJ34增大截面惯性矩增大截面惯性矩 J J（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）目录增大弹性模量增大弹性模量 E E（合理选择材料）（合理选择材料）二、临界压力和欧拉公式二、临界压力和欧拉公式35欧拉公式只适用于大柔度压杆欧拉公式只适用于大柔度压杆三、压杆稳定计算三、压杆稳定计算AlEJAPcrcr22)( 目录临界应力临界应力（1-51）AJl 令令称为压杆柔度（无量称为压杆柔度（无量纲量）纲量）22 Ecr（1-52）欧拉公式欧拉公式36圆截面压杆的柔度圆截面压杆的柔度 dlddlAJl 44/6424结论：结论：压杆越长、越细，压杆越长、越细， 其柔度越大，故

15、柔度又叫长细比；其柔度越大，故柔度又叫长细比；压杆越短越粗，支座约束限制越严格，其柔度越小。压杆越短越粗，支座约束限制越严格，其柔度越小。压杆的柔度越大，其失稳的临界应力越小，即压杆越压杆的柔度越大，其失稳的临界应力越小，即压杆越细长，越容易丧失稳定性。细长，越容易丧失稳定性。三、压杆稳定计算三、压杆稳定计算37pcrE 22划分长细杆和短粗杆的标准划分长细杆和短粗杆的标准即失稳的临界应力不超过材料的弹即失稳的临界应力不超过材料的弹性极限的杆为长细杆性极限的杆为长细杆 。对于低碳钢对于低碳钢100,200,1025 得得带入上式带入上式MPaMPaEP当压杆的柔度大于当压杆的柔度大于100时属

16、于长细杆，才可应用时属于长细杆，才可应用欧拉公式计算临界应力。欧拉公式计算临界应力。三、压杆稳定计算三、压杆稳定计算38cn稳定安全系数稳定安全系数 钢杆钢杆1.83 铸铁杆铸铁杆55.511-4目录临界力或临界应力的校核（长细杆临界力或临界应力的校核（长细杆)：ccrccrnnPP （1-53）三、压杆稳定计算三、压杆稳定计算39压杆稳定性校核简化计算压杆稳定性校核简化计算 AP（1-55）式中：式中：对对压压杆杆稳稳定定性性的的影影响响。柔柔度度，反反映映了了压压杆杆的的材材料料和和柔柔度度于于称称为为折折减减系系数数，它它决决定定 压压缩缩许许用用应应力力 （1-55）适用范围：从长细杆

17、到短粗杆的）适用范围：从长细杆到短粗杆的各种柔度范围。各种柔度范围。三、压杆稳定计算三、压杆稳定计算40柔度柔度Q235-A钢钢16Mn钢钢铸铁铸铁木材木材01.001.001.001.00100.990.980.970.99200.960.960.910.97300.940.940.810.93400.920.890.690.87500.890.840.570.80600.860.780.440.71700.810.700.340.60800.750.630.260.48900.690.590.200.381000.600.450.160.311100.520.390.251200.450.330.221300.400.280.181