平面向量复习讲义

1、平面向量复习讲义一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向

2、量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_（答：（4）（5）二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐

3、标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的线性运算：（1）向量加法：三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和，记作定：a + 0-= 0 +aa a=a,当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<|+|；当与同向时，则+、同向，且|+|=|+|，当与反向时，若|>|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|<|，则+的方向与相同，且|+b|=|-|.结论：平行四边形法则:以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。加法的运算律 1）向量加法

4、的交换律：+=+2）向量加法的结合律：(+) +=+ (+) （2）向量减法： 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 1.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - bOabBaba-b 2.求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O， 作= a， = b 则= a - b即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向

5、量.由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。OABaBb-bbBa+ (-b)ab 注意：1°表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2°用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)课堂练习：1.化简：_；_；_（答：；）；2.若正方形的边长为1，则_（3）向量数乘：求实数与向量a的积的运算1.a|_|a|_；2当>0时，a的方向与a的方向_相同_；当<0时，a的方向与a的方向相反_；当0时，a0_3向量数乘的运算律(a)_（）a_；()a_aa_；(ab)_ab_。（4）共线向量定理a是一个非零向量，

6、若存在唯一一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线（证明三点共线）三点共线共线。注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线例1.设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线4 平面向量的基本定理： 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1

7、e2 我们把不共线的向量e1和e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。向量的夹角:已知两个非零向量、，作，则AOB，叫向量、的夹角，当，、同向，当，、反向，当，与垂直，记作。例1如图，在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.用方程思想解决平面向量的线性运算问题：例2如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.解设manb，则manba(m1)anb.ab.又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.又manbaanb，baab.又C

8、、M、B三点共线，与共线存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.课堂练习：（1）若，则_（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（答：）；（4）已知中，点在边上，且，则的值是_（答：0）5 平面向量的坐标运算：若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)加法：ab(x1x2，y1y2)(2)减法：ab(x1x2，y1y2)(3)数乘：l a(l x1，l y1) （4）向量的坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，一个向量的坐

9、标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。 （5）中点坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为 （6）向量相等：:若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 （7）向量共线或平行：a(x1，y1)，b(x2，y2)，若，则. 题型一 求向量的坐标OxAy 【例题1】如图所示，若,与轴正方向夹角为30°，求向量的坐标. 【例题2】的三个顶点的坐标分别是，为的中点，求向量. 题型二 由向量相等求参数的值 【例题3】已知向量，若，求的值. 题型三 平面向量的坐标运算 1. 向量坐标运算的直接应用 【例题4】已知平面向量，则向量=（ ） A. B. C. D

10、. 2. 利用向量坐标运算求点的坐标 【例题5】已知且,求的坐标. 题型四 平面向量平行的坐标运算 【例题6】(1)若向量，当_时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，且，则x_（答：4）；（3）设，则k_时，A,B,C共线（答：2或11）6 平面向量的数量积（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：1当时，与同向；2当时，与反向；3当时，与垂直，记；4注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0°q180°（2）平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量，它们的夹角是，则数量叫的数量积，记作，即有=，（）.注意数量积是一个实

11、数，不再是一个向量。 其中是的夹角，叫做向量方向上（方向上）的投影。我们规定0向量与任何向量的数量积为0.（3） 两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量， 1ab Û a×b = 02当a与b同向时，a×b = |a|b|； 当a与b反向时，a×b = -|a|b|. 特别的a×a = |a|2或 |a×b| |a|b| cosq = 3当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；当为直角时，=0.（4） 向量的投影：“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量

12、b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|； 当q = 180°时投影为 -|b|.向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.（5）向量的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，。如下列命题中： ； ； ； 若，则或；若则；。其中正确的是_（答：）（6） 向量的数量积的坐标表示、模、夹角：1 数量积：a·bx1x2y1y2，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。2向量垂直：abx1x2y

13、1y203向量的模长：若a(x，y)，则4向量的夹角：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则5两点间的距离：若，则 6a在b方向上的正射影的数量为课堂练习：1.已知，且，则向量在向量上的投影为_（答：）2.已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：或且）；3.已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（答：）；4.ABC中，则_（答：9）；5.已知，与的夹角为，则等于_（答：1）；6.已知，则等于_（答：）；7.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_（答：）； 8.已知是两个非零向量，且，则的夹角为_七向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，若，则