第七章 梁的位移-转角、挠度

1、第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形1第七章第七章 梁的位移梁的位移- -转角、挠度转角、挠度7.1 工程中梁的变形工程中梁的变形 转角转角 挠度挠度7.2 梁挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似微分方程7.3 利用积分法求梁的位移利用积分法求梁的位移7.4 利用叠加法求梁的位移利用叠加法求梁的位移7.5 梁的刚度条件与校核梁的刚度条件与校核7.6 简单超静定梁的计算简单超静定梁的计算7.7 提高抗弯刚度的措施提高抗弯刚度的措施 第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形2第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形3位移的度量y挠度转角挠曲线挠曲线 梁变形后各截梁变形后各截面形心的连线面形心的连线Cl

2、FABCCABBxyy挠度向下为正，向上为负挠度向下为正，向上为负. .转角绕截面中性轴顺时针转为正，转角绕截面中性轴顺时针转为正，逆时针转为负。逆时针转为负。7-2 7-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程1.1.基本概念基本概念第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形4变形过大第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形52.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 7-2 7-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲

3、变变形形6ZEIxM)(13222)(11dxdydxyd ZEIxMdxdydxyd)()(132227-2 7-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形7xoyMM022dxydZEIxMdxyd)(22xoyMM022dxydZEIxMdxyd)(22梁挠曲线近似微分方程第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形81)(CdxEIxMdxdyZ21)(CxCdxdxEIxMyZZEIxMdxyd)(22CCABBxy在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。dxdy tan第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形9通过积分求弯曲位移

4、的特征：u适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。u积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。u积分常数由位移边界条件确定。第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形10AAAAAAAAAAAAAAAAAA0 Ay0 Ay0 A 位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件ARALyy ARAL 积分常数积分常数C C1 1、C C2 2由边界和连续条件确定由边界和连续条件确定第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形11Ay 例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。xyxAlABFFxxM1)(CdxEIxMdxdyZ1

5、CFxdxdxdyEIz2122CxCdxFxyEIz2136CxCFxyEIz122CFxEIz 边界条件Lx 0BzEIFLC221Lx 0ByzEIFLC332zzEIFLEIFx2222zzzEIFLxEIFLEIFxy3263230 xzAEIFL22zAEIFLy33第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形12例7-2求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。lABxyx 221xLqxM 221 xLqxMyEIz1361CxLqEIyEIzz 214241CxCxLqyEIz边界条件0 x0zEIqLC6310 x0yzEIqLC2432336LxLEIqz434424LxLxLEIqyz

6、Lx zBEIqL63zBEIqLy84第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形13例7-3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。xxyxlFBAbaCLFbLFa xLFbxM1ax 0 axFxLFbxM2LxaAC段 xLFbxMyEIz11 1212CxLFbEIz 11316DxCxLFbyEIzCB段 axFxLFbxMyEIz22 2222212CaxFxLFbEIz 22332616DxCaxFxLFbyEIz0 x 00 yLx 0Ly01Dax ayay21 aa21222132122CaaFaLFbCaLFb21CC 22331136166DaCaa

7、FaLFbDaCaLFb21DD 0616233LCaLFLLFbLEIZ22216bLLFbCCLbLFbxLFbEIz622221xLbLFbxLFbyEIz662231LbLFbaxFxLFbEIz621222222xLbLFbaxFxLFbyEIz661622332第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形14求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。xxyxlFBAbaCLFbLFaLbLFbxLFbEIz622221xLbLFbxLFbyEIz662231LbLFbaxFxLFbEIz621222222xLbLFbaxFxLFbyEIz661622332最大转角0 y

8、 0 xM0 xLx LEIbLFbzA622LEIbLFabz6LbLFbaLFLLFbEIBz62122222 LEIaLFabzB6 力靠近哪个支座，哪边的转角最大。最大挠度0y令x=aLbLFbaLFbEICz62222LbaFabC3转角为零的点在AC段0622220LbLFbxLFb3220bLxLb21Lx2100bLx330L577. 0一般认为梁的最大挠度就发生在跨中第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形15第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形16讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形17)(22xMEIydxy

9、dEI 设梁上有设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y，则有：，则有： )(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iy)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMyEIyEIniinii7-47-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形18故故 )( 1niiyy由于梁的边界条件不变，因此由于

10、梁的边界条件不变，因此,1nii niiyy1重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形19叠加法计算位移的条件：叠加法计算位移的条件：1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；性关系；第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形2

11、02lFBAqC2lzEI 试用叠加原理求图示弯曲刚度为试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨的简支梁的跨中截面挠度中截面挠度c和梁端截面的转角和梁端截面的转角A，B.2lBAqC2lzEI2lFBAC2lzEIFcqccyyyzqcEIqLy38454zFcEIFLy483zzcEIFLEIqLy48384534FAqAAzqAEIqL243zFAEIFL162zzAEIFLEIqL162423B例例 7-4 第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形21 30Lq60LqlBAC0qZEILq384540ZCEILq38452140ZEILq768540例例7-5第七章第七章 梁的弯曲

12、梁的弯曲变变形形22 已知：已知：悬臂梁受力如图悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C 1 1）首先，将梁上的载荷）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形变成有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的

13、变形例例7-6aL2CABaL2qCABqaL2CABaL2qq第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形23,841EIqlyC,248128234222lEIqlEIqllyyBBCEIqlC631EIqlC4832EIqlyyiCiC384414213 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC4873212 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形aL2CABaL2qqCABq第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形24讨讨 论论叠加

14、法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？7-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形257-5 7-5 梁的刚度条件梁的刚度条件1.1.刚度条件刚度条件建筑钢梁的许可挠度建筑钢梁的许可挠度：1000250ll混凝土梁的许可挠度：混凝土梁的许可挠度：300l7-5lylymax,maxmax yy第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形26aL2BACaL2q1.1.按强度选择按强度选择 maxMW 232qa36 .140 cm34141,1130cmWcmIzzaL2BACaL2qqBACq321maxBBByyyyZBEIaqy8241Z

15、EIqa42CByy2ZEIqa84ayCB 3aEIqaZ63ZEIqa64ZEIqa24414ZEIqaLy48413max5001LyEqaIZ2425041343050cm34309,3400cmWcmIzz例例7-7第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形27ABql0BwqABFRBR()()BBB qBFwwwR()()0BB qBFww7-67-6 静不定梁的解法静不定梁的解法第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形28 ()B qwR()BBFwqAB 4()8B qqlwEI R3R()3BBBFFlwEIBAFRBqABFRB第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形2943R0

16、83BFlqlEIEIR38BFqlqABFRBFRAMAR58BFql218AMql()B qwR()BBFwqABBAFRB第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形300A ABqlABqlMA第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形31ZmaxmaxWM1. 1. 增大增大 WZ 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面2. 2. 降低降低 Mmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷7-7 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形326-7ZEIxMdxyd)(2221)(CxCdxdxEIxMyZ7-6 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形33第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形34 缩小跨度，采用超静定结构缩小跨度，采用超静定结构第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形35第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形36合理布置载荷合理布置载荷F第七章第七章 梁的弯曲梁的弯曲变变形形372lF2l+Fl41llFq 2125. 0ql合理布置