p14_9氢原子的角向概率密度和径向概率密度

1、*范例范例14.9 氢原子的角向概率密度和径向概率密度氢原子的角向概率密度和径向概率密度(1)求氢原子角向概率密度，说明角向概率密度的变化规律。求氢原子角向概率密度，说明角向概率密度的变化规律。(2)当氢原子主量子数当氢原子主量子数n一定时，说明各种角量子数的径向概一定时，说明各种角量子数的径向概率密度的分布规律。率密度的分布规律。解析解析(1)求氢原子薛定谔方程可得到电子的波函数求氢原子薛定谔方程可得到电子的波函数nlm(r,)。每一组量子数每一组量子数(n,l,m)，都有一组波函数描述一个确定的状态，都有一组波函数描述一个确定的状态nlm(r, , ) = Rnl(r)lm()m()，1/

2、2是归一化常数。是归一化常数。纬度分布函数为纬度分布函数为| |( )P(cos ),mlmlmlNPlm(x)是缔合是缔合(连带连带)勒让德勒让德多项式，多项式，Nlm是归一化常数是归一化常数(21)(|)!2(|).!lmllmNlm这里，这里，m()是氢原子的经度分布函数，是氢原子的经度分布函数，lm()是纬是纬度分布函数，度分布函数，Rnl(r)是径向分布函数。是径向分布函数。氢原子的经度氢原子的经度分布函数为分布函数为1( )exp(i),2mm为了简单起见，用为了简单起见，用m表示轨道磁量子数表示轨道磁量子数ml。*范例范例14.9 氢原子的角向概率密度和径向概率密度氢原子的角向概

3、率密度和径向概率密度在氢原子中取一个体积元在氢原子中取一个体积元dV = r2sindrdd = r2drd，d = sindd是立体角。是立体角。电子出现在距核为电子出现在距核为r，纬度为，纬度为，经度为，经度为处的体积元处的体积元dV中的概中的概率为率为wnlmdV = |nlm|2dV = |Rnl|2|lm|2|m|2dV。电子出现在电子出现在到到 + d之间的概率为之间的概率为wmd = |m|2d。根据经度分布函数可知：根据经度分布函数可知：|m|2是常量，因是常量，因此概率的角分布关于此概率的角分布关于z轴具有旋转对称性。轴具有旋转对称性。电子出现在立体角电子出现在立体角d之内的

4、概率为之内的概率为wlmd = |lm|2|m|2d21|( )| d2lm根据纬度分布函数根据纬度分布函数可得角向概率密度可得角向概率密度2| |211( )|( ) |P(cos )22.mlmlmlmlwN当氢原子角量子数为当氢原子角量子数为0时时(l = 0)，磁量子，磁量子数只能取数只能取0(m = 0)，氢原子中，氢原子中s态电子的态电子的角向概率密度角向概率密度wlm呈球状，其剖面是圆。呈球状，其剖面是圆。当当l = 1，m = 0时，氢时，氢原子中原子中p态态电子的角电子的角向概率密向概率密度度wlm之一之一呈纺锤状，呈纺锤状，其剖面是其剖面是直立的双直立的双纽线。纽线。当当l

5、 = 1，m = 1时，氢原子中时，氢原子中p态态电子的角向概率密度电子的角向概率密度wlm之一呈轮之一呈轮胎状，其剖面是横置的双纽线。胎状，其剖面是横置的双纽线。当当l = 2，m = 0时，氢时，氢原子中原子中d态态电子的角向电子的角向概率密度概率密度wlm之一呈之一呈带盘的纺锤带盘的纺锤状，其剖面状，其剖面是带叶的双是带叶的双纽线。纽线。当当l = 2，m = 1时，氢原子中时，氢原子中d态态电子的角向概率密度电子的角向概率密度wlm之一呈双之一呈双钵状，其剖面是四叶玫瑰线。钵状，其剖面是四叶玫瑰线。当当l = 2，m = 2时，氢原子时，氢原子中中d态电子的角向概率密度态电子的角向概率

6、密度wlm之一呈轮胎状。之一呈轮胎状。与与l = 1，m = 1的图形相的图形相比，这种轮胎形状更扁。比，这种轮胎形状更扁。当氢原子当氢原子角量子数角量子数l = 3时，时，磁量子数磁量子数m可取可取0，1，2，3，角，角向概率密向概率密度如图所度如图所示。示。当当m = 0时，角时，角向概率向概率密度呈密度呈带盘的带盘的纺锤状；纺锤状；当当m = l时，角向概时，角向概率密度呈轮胎状；率密度呈轮胎状；当当m是其他数整数时，是其他数整数时，角向概率密度呈双钵状角向概率密度呈双钵状和带盘的双钵状和带盘的双钵状。(2)当氢原子主量子数当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数一定时，各种角量子数的径向

7、概率密度随距离分布的规律是什么？的径向概率密度随距离分布的规律是什么？解析解析(2)氢原子薛定谔方氢原子薛定谔方程的径向分布函数为程的径向分布函数为设设是缔合是缔合(连带连带)拉盖尔多项式。拉盖尔多项式。Z为原子序数为原子序数(氢原子氢原子Z = 1)，a0是第一玻是第一玻尔半径，尔半径， Mnl是归一化常数是归一化常数(以区别以区别Nlm)2 100022( )exp()() L()llnlnln lZZZR rMrrrnanana3302(1)!()2 ()!nlZnlMnan nl 02,Zxrna2 1L( )ln lx下标下标n + l表示拉盖尔多项式阶数，即表示拉盖尔多项式阶数，即

8、n + l阶拉盖尔多项阶拉盖尔多项式式Ln+l(x)；上标；上标2l + 1表示对表示对Ln + l(x)求求2l + 1阶导数阶导数。*范例范例14.9 氢原子的角向概率密度和径向概率密度氢原子的角向概率密度和径向概率密度(2)当氢原子主量子数当氢原子主量子数n一定时，各种角量子数一定时，各种角量子数的径向概率密度随距离分布的规律是什么？的径向概率密度随距离分布的规律是什么？n阶拉盖尔阶拉盖尔多项式为多项式为对于幂函数对于幂函数y = xk，因此缔合拉盖因此缔合拉盖尔多项式为尔多项式为n + l 阶拉盖尔阶拉盖尔多项式为多项式为设设k - 2l 1 = i，即，即k = i + 2l + 1

9、，可得，可得220( 1) ( !)L ( )( !) ()!knknknxxkn k220( 1) ()!L( )( !) ()!kn lkn lkn lxxkn l k ( )!(1).(1)()!nk nk nkyk kk nxxk n 212121dL( )L( )dlln ln llxxx22121( 1) ( + )!()! (21)!kkln lkln lxk nlkkl +121210( 1)( + )!L( )(1)!(2 +1+ )! !in llin lin lxxnlili i 氢原子中的电子出现氢原子中的电子出现在在r到到dr之间的概率为之间的概率为wnldr = |

10、Rnl|2r2dr径向概率径向概率密度为密度为222 1200022( ) |( ) |exp()() L(.) llnlnlnln lZZZw rR r rMrrr rnanana其其n阶导数为阶导数为*范例范例14.9 氢原子的角向概率密度和径向概率密度氢原子的角向概率密度和径向概率密度当氢原子主量子数当氢原子主量子数n为为1时，角量子数时，角量子数l只能取只能取0，径向概率密度，径向概率密度wnl随距离的增随距离的增加先增后减，其峰值出现在加先增后减，其峰值出现在r = a0处。处。当主量子数当主量子数n为为2时，如果时，如果l为为0，径向概率密度有两个峰，径向概率密度有两个峰，两峰之间

11、有一个节点；如果两峰之间有一个节点；如果l为为1，径向概率密度只有一，径向概率密度只有一个峰，峰值出现在个峰，峰值出现在r = 4a0处。处。当主量子数当主量子数n为为3时，如果时，如果l为为0，曲线有，曲线有3个峰，随着距离个峰，随着距离增加，一个峰比一个峰高，增加，一个峰比一个峰高，曲线共有曲线共有2个节点；如果个节点；如果l为为1，曲线有曲线有2个峰，个峰，1个节点；如个节点；如果果l为为2，曲线只有，曲线只有1个峰，峰个峰，峰值出现在值出现在r = 9a0处。处。当当n = 4时，曲时，曲线族如图所示。线族如图所示。当当n = 5时，曲时，曲线族如图所示。线族如图所示。当当n = 6时，曲时，曲线族如图所示。线族如图所示。比较这些图可知：比较