第4章 土中应力计算

1、第四章第四章 土中应力计算土中应力计算 4.1 4.1 概述概述 4.2 4.2 土中自重应力计算土中自重应力计算 4.3 4.3 基底压力分布和计算基底压力分布和计算 4.4 4.4 竖向集中力作用下的土中应力计算竖向集中力作用下的土中应力计算 4.5 4.5 竖向分布荷载作用下的土中应力计算竖向分布荷载作用下的土中应力计算 4.64.6应力计算中的其他一些问题应力计算中的其他一些问题 4.74.7有效应力原理有效应力原理强度问题强度问题变形问题变形问题地基中应力状态的变化地基中应力状态的变化荷载作用荷载作用自重应力自重应力附加应力附加应力建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力

2、，所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的压力。建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。4.1 4.1 概概 述述计算土中应力的方法采用计算土中应力的方法采用弹性力学理论弹性力学理论，将地基土视作：，将地基土视作：均匀介质均匀介质连续介质连续介质各向同性介质各向同性介质第一节第一节 概述概述土中应力计算的基本假设土中应力计算的基本假设地基视作：地基视作：半无限空间体半无限空间体y yz zx xo o土力学中应力符号的规定土力学中应力符号的规定 x z xz zx x z xz zx 与固体力学规定的符号相反，当应用应力与固体力学规定的符号相反，当应用应力MohrMohr圆

3、分析时圆分析时材料力学材料力学+-+-土力学土力学正应力正应力剪应力剪应力拉为正拉为正压为负压为负顺时针为正顺时针为正逆时针为负逆时针为负压为正压为正拉为负拉为负逆时针为正逆时针为正顺时针为负顺时针为负zyxyxzzxyzyxzxy地基中常见的应力状态地基中常见的应力状态 x y xy yz zx xz zy yx z ij = =x y xy yz zx z 1. 1.一般应力状态一般应力状态三维问题三维问题yzxo2.2.平面应变条件平面应变条件二维问题二维问题x y xy yz zx z x z xz zx 0y0yzyxl垂直于垂直于y y轴切出的任意断面的几何形状轴切出的任意断面的几

4、何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；均相同，其地基内的应力状态也相同；l沿长度方向有足够长度，沿长度方向有足够长度，L/BL/B1010；l平面应变条件下，土体在平面应变条件下，土体在x, zx, z平面内可平面内可以变形，但在以变形，但在y y方向没有变形。方向没有变形。3.3.侧限应力状态侧限应力状态一维问题一维问题水平地基水平地基半无限空间体半无限空间体；半无限弹性地基内的自重应力只与半无限弹性地基内的自重应力只与Z Z有关；有关；土质点或土单元不可能有侧向位移土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应侧限应变条件；变条件；任何竖直面都是对称面任何竖直面都是对称面应变条件应变条件; 0 x

5、y 0zxyzxy ABsBsA yzxo应力条件应力条件; 0zxyzxy ;yx 3.2 3.2 土中自重应力计算土中自重应力计算自重应力自重应力是土体的初始应力状态土体的初始应力状态土体在自重作用下，通常经过漫长的地质历史时期，已经压土体在自重作用下，通常经过漫长的地质历史时期，已经压缩稳定，因此，通常自重应力不再引起土的变形。但对于新缩稳定，因此，通常自重应力不再引起土的变形。但对于新沉积土层或近期人工填土应考虑自重应力引起的变形。沉积土层或近期人工填土应考虑自重应力引起的变形。v什么是土的自重应力？什么是土的自重应力？自重应力自重应力：由于土体本身自重引起的应力。：由于土体本身自重引

6、起的应力。土的自重可看作分布面积为无限大的土的自重可看作分布面积为无限大的荷载，地基在自身重力作用下任一竖荷载，地基在自身重力作用下任一竖直切面均是对称面，切面上都不存在直切面均是对称面，切面上都不存在剪应力。剪应力。 一、均质土竖向自重应力一、均质土竖向自重应力天然地面cz cx cy 11zzcz zcz cz= z 土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱的土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱的有效重量有效重量（从天然地面算起）。（从天然地面算起）。均质土均质土: 自重应力计算公式自重应力计算公式zcz随深度呈线性增加，自重应力呈三角形分布。随深度呈线性增加，自重应力

7、呈三角形分布。h1h2h3二、成层土的自重应力计算二、成层土的自重应力计算iniinnczhhhh 12211说明：说明： 1.地下水位以上土层采用天地下水位以上土层采用天然重度，地下水位以下土层采然重度，地下水位以下土层采用浮重度。用浮重度。 2.分层地基中自重应力沿深分层地基中自重应力沿深度呈折线分布。度呈折线分布。 3. 地下水位以下埋藏有不透地下水位以下埋藏有不透水层，不存在水的浮力，自重水层，不存在水的浮力，自重应力应按上覆土层的水土总重应力应按上覆土层的水土总重计算。计算。 1 h1 1 h1 + 2h2 1 h1 + 2h2 + 3h3 1.土体成层土体成层 2.土层中有地下水时

8、土层中有地下水时 若地下水位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度若地下水位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度应按浮重度计算。应按浮重度计算。W.T. 3. 3. 地下水位以下情况地下水位以下情况 的进一步讨论的进一步讨论砂性土：砂性土：应考虑浮力作用。应考虑浮力作用。 粘性土：粘性土： 计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质确定计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用。是否需要考虑水的浮力作用。液性指数液性指数 IL 1 流动状态，自由水，考虑浮力；流动状态，自由水，考虑浮力；液性指数液性指数 0IL 1塑性状态，难确定，按不利状态；

9、塑性状态，难确定，按不利状态；液性指数液性指数 IL 0 固体状态，结合水，不考虑浮力；固体状态，结合水，不考虑浮力；液性指数液性指数 IL 0，认为是不透水层（坚硬粘土或岩层），认为是不透水层（坚硬粘土或岩层），对于不透水层，由于不存在水的浮力，所以层面和层面以对于不透水层，由于不存在水的浮力，所以层面和层面以下的自重应力按上覆土层的水土总重计算。下的自重应力按上覆土层的水土总重计算。 实际上， K0 值与土的强度指标或变形指标间存在着经验关系。 三、水平向自重应力三、水平向自重应力czcycxK0天然地面天然地面zcz cx cy 静止侧压力系数静止侧压力系数理论上，广义虎克定律推导出理论

10、关系为：10K 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算： 四、例题分析四、例题分析【例例】某土层及其物理性质指标如图某土层及其物理性质指标如图4-54-5所示，试计算所示，试计算土中自重应力。土中自重应力。细砂119kN/m3sat125.9 kN/m3w=18% W.T.3m2m4m粘土216.8 kN/m3 sat226.8 kN/m3 wL=48%, w=50%, wp=25%第一层土为细砂，地下水位以下第一层土为细砂，地下水位以下细砂细砂受受收到水的收到水的浮力浮力作用，浮重度为作用，浮重度为3/1018. 019 .251981. 99 .251mkNsws第二层土的液性指数为第二

11、层土的液性指数为109. 125482550pLpLwwwwI粘土层受土浮力作用，浮重度为粘土层受土浮力作用，浮重度为3/1 . 75 . 019 .268 .1681. 98 .261mkNsws38.0kPa68.0kPa96.4kPainiinnczhhhh 12211kPa38219kPa68310219kPa4 .9641 . 7310219例题分析例题分析细砂119kN/m3sat125.9 kN/m3w=18% W.T.3m2m4m粘土216.8 kN/m3 sat226.8 kN/m3 wL=48%, w=50%, wp=25%建筑物荷载通过基础传递给地基的压建筑物荷载通过基础

12、传递给地基的压力，也称为力，也称为地基反力地基反力或或基底接触压力基底接触压力。上部结构上部结构基础基础地基地基4.3 4.3 基底压力分布和计算基底压力分布和计算一、基础底面压力分布的概念一、基础底面压力分布的概念基底压力基底压力上部结构荷载上部结构荷载基底压力基底压力土中应力增加土中应力增加地基沉降地基沉降地基反力分布与作用的荷载分布形状相同；基础底面的沉降则地基反力分布与作用的荷载分布形状相同；基础底面的沉降则各处不同，中央大而边缘小。各处不同，中央大而边缘小。 (a)(b)柔性基础下的基底压力分布柔性基础下的基底压力分布（a）理想柔性基础）理想柔性基础 （b）路堤下地基反力分布）路堤下

13、地基反力分布基底压力分布基底压力分布基础刚度基础刚度主要取决于主要取决于基础刚度基础刚度和和地基土性质地基土性质柔性基础：柔性基础： EI 0 基础不会发生挠曲变形；在中心荷载作用下，基底各点的沉降基础不会发生挠曲变形；在中心荷载作用下，基底各点的沉降是相同的；底面的压力分布形状同荷载大小有关。是相同的；底面的压力分布形状同荷载大小有关。刚性基础刚性基础 马鞍型马鞍型(接近弹性接近弹性) 抛物线型抛物线型 倒钟型倒钟型EI 荷载较小荷载较小 荷载较大荷载较大 荷载很大荷载很大砂土中的基础砂土中的基础粘土中的基础粘土中的基础根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式对地基应根据圣维南原理，基底压力的

14、具体分布形式对地基应力计算的影响仅局限于一定深度范围；超出此范围以力计算的影响仅局限于一定深度范围；超出此范围以后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。基底压力的基底压力的分布形式十分布形式十分复杂分复杂简化计算方法：简化计算方法：假定基底压力按直线分布的材料力学方法假定基底压力按直线分布的材料力学方法基础尺寸较小基础尺寸较小荷载不是很大荷载不是很大二、基底压力的简化计算方法二、基底压力的简化计算方法 APp B BL Lx xy yP1. 1. 中心

15、荷载作用下的基底压力中心荷载作用下的基底压力AGFp若是条形基础，若是条形基础，F, G取单位长度取单位长度基底面积基底面积G= GA d取室内外平均埋深取室内外平均埋深计算方法计算方法2. 2. 偏心荷载作用下的基底压力偏心荷载作用下的基底压力WMAGFppminmax作用于基础底面作用于基础底面形心上的力矩形心上的力矩M=(F+G)e 基础底面抵抗基础底面抵抗矩；矩形截面矩；矩形截面W=bl2 /6 )61 (minmaxleblGFpe ex xy yB BL LPp pminminp pmaxmax公式讨论公式讨论eB/6: 拉力拉力?e ex xy yB BL LK KP0pmin

16、maxpK=B/2-eKL3P2pmax 应力重分布应力重分布结果结果反力反力 = 荷载荷载3K3K基底压力重分布基底压力重分布belpGF2321maxbelGFp232max偏心荷载偏心荷载大小大小与基底压力的合力与基底压力的合力相等相等 pmaxeF+GL偏心荷载作用线与基底压力的合偏心荷载作用线与基底压力的合力作用线重合力作用线重合 基底附加压力基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而新增加压力。作用于地基表面，由于建造建筑物而新增加压力。三、基底附加压力三、基底附加压力FFd实际情况实际情况基底附加压力在数值上等于基底附加压力在数值上等于基底压力减去基底标高处原基底压力减去基底

17、标高处原有土体的自重应力有土体的自重应力n荷载作用在地基表面荷载作用在地基表面n只有基底附加压力才能使地基产生附加变形。只有基底附加压力才能使地基产生附加变形。基底压力呈梯形分布时，基底压力呈梯形分布时，基底附加压力基底附加压力p0max, p0min为为dpppp0minmaxmin0max0基底附加压力计算基底附加压力计算DPP初始状态开挖基础完成DpAQPp00ADQ0土中附加应力：土中附加应力：新增外加荷载在地基土体中引起的应力。新增外加荷载在地基土体中引起的应力。4.4 4.4 竖向集中力作用下的土中应力计算竖向集中力作用下的土中应力计算n应力计算基本假定：应力计算基本假定：不同地基

18、中应力不同地基中应力分布各有其特点分布各有其特点平面问题平面问题空间问题空间问题x,z的函数的函数x,y,z的函数的函数地基土是连续、均匀、各向同性的半无限完全弹性体。地基土是连续、均匀、各向同性的半无限完全弹性体。半无限空间集中力弹性解半无限空间集中力弹性解（P；x,y,z；R, , )222222zyxzrR y yz xy zx x zQyzMzRxxorM y 法国著名物理家和数学家法国著名物理家和数学家V J Boussinesq (1842-1929)3253cos2323RPRPzz直角坐标系直角坐标系252123zr2zPz极坐标系极坐标系布辛涅斯克解答布辛涅斯克解答竖向应力竖

19、向应力QFQ作用线作用线 F水平面水平面Fr0的竖向平面的竖向平面F z等值线等值线0.1Q0.1Q0.05Q0.05Q0.02Q0.02Q0.01Q0.01Q等值线等值线z 轴对称轴对称布辛涅斯克解答布辛涅斯克解答地表沉降地表沉降rEPs02)1 (E E0 0、 为土体变形模量与泊松比为土体变形模量与泊松比zPw( (x, ,y,0),0)理论理论实际实际叠加原理叠加原理 由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、应力由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的代或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的代数和。数和。对于线弹

20、性体，可以应用叠加原理对于线弹性体，可以应用叠加原理。PazPbab两个集中力作用下两个集中力作用下z的叠加的叠加4.5 4.5 竖向分布荷载作用下的土中应力计算竖向分布荷载作用下的土中应力计算FFFzzzyxddpzRdQzd5222353,2323将分布荷载分割为许多集中将分布荷载分割为许多集中力，再运用叠加原理（积分）力，再运用叠加原理（积分）计算最终的土中应力。计算最终的土中应力。0p(x,y)dM(x,y,z)ddz计算原理计算原理一、空间问题一、空间问题 1 1圆形面积上作用均布荷载圆形面积上作用均布荷载 竖向应力：竖向应力：Od1zrc 应力系数，是(r/R)及(z/R)的函数查

21、表查表4-6，4-732222 5/2003d d2(2cos)Rzcpzrrzp 2 2矩形面积均布荷载作用矩形面积均布荷载作用 (1) (1) 矩形面积中点矩形面积中点0 0下土中竖向应力计算下土中竖向应力计算 应力系数0是n=L/B和m=z/B的函数:矩形面积均布荷载矩形面积均布荷载BLp pzM MXYZpdxdydP 0zpdxdyRz2p3Rz2dP3d5353z 2222( , )BLBLzzzdp m n 查表查表48dP(2)(2)矩形面积角点下的竖向附加应力矩形面积角点下的竖向附加应力 zxyBLdPpdxdydP pza),(),(),(anmFBzBLFzLBF矩形竖直

22、向均布荷载角点下的应力分布系数矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数a aa a 查表查表4 49 9p pdxdyRz2p3Rz2dP3d5353z )n,m,p(dzB0L0zz zM Mm=L/B, n=z/Bm=L/B, n=z/B角点法计算地基附加应力角点法计算地基附加应力(3) 矩形面积均布荷载任意点竖向应力计算角点法 点在矩形区域内：点在矩形区域内： 点在矩形区域外：点在矩形区域外：abcdBDCDD()zrrrrIIIIp()ABCDzrrrrIIIIpB AC Da bABC Dc dttzp),(),(),(nmFBzBLFzLBFt矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布

23、系数矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数查表查表4-114-11),(00BzBLpdtzBLzz 3 3矩形面积三角形荷载作用时矩形面积三角形荷载作用时 pdxdydP zxyblp pt tzM Mo 二、平面问题二、平面问题 基础底面长宽基础底面长宽比比L / B条形基础条形基础基础底面长宽基础底面长宽比比L / B10理想情况实际情况z22232zxpzpdy布辛涅斯克解布辛涅斯克解弗拉曼解弗拉曼解2/5222323zyxdypzzzM MxxyzBppxzMxzb/2b/2均布荷载情况均布荷载情况pxzxzb三角形荷载情况三角形荷载情况puzpsz u , s条形基底竖向附加

24、条形基底竖向附加应力系数应力系数, 均为均为m ,n的函数，的函数，其中其中n=x/b，m=z/b，可查，可查表表4-14、4-15Mb bbbsin,31p4.6 4.6 应力计算中的其他一些问题应力计算中的其他一些问题 (1)(1)上层松软，下层坚硬的成层地基上层松软，下层坚硬的成层地基1. 1. 非均匀性非均匀性成层地基成层地基 中轴线附近中轴线附近z比均质时明显增大的现比均质时明显增大的现象象应力集中；应力集中；随随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。增大，应力集中现象逐渐减弱。(2)(2)上层坚硬，下层软弱的成层地基上层坚硬，下层软弱的成层地基 中轴线附近中轴线附近z比均质时明显减小的

25、现象比均质时明显减小的现象应力扩散；应力扩散； 随随H/B的增大，应力扩散现象越发显著。的增大，应力扩散现象越发显著。BH均匀均匀成层成层E1E2E2E1均匀地基均匀地基BH均匀均匀成层成层E1E2E2E1E13：E2E11：E2=E1E2p0z1232.2. 均布条形荷载和均布方形荷载下的附加应力均布条形荷载和均布方形荷载下的附加应力均布条形荷载均布条形荷载( z)均布方形荷载均布方形荷载( z)（1 1）非线性和弹塑性）非线性和弹塑性应力水平较高时影响较大应力水平较高时影响较大3. 3. 影响土中附加应力分布的其他因素影响土中附加应力分布的其他因素 (2)(2)土的变形模量随深度增大的地基

26、土的变形模量随深度增大的地基土体在自然沉积过程中的受力条件使土的变形模量土体在自然沉积过程中的受力条件使土的变形模量E0随深度逐渐随深度逐渐增大增大(非均质地基非均质地基)，在砂土地基中尤其显著。，在砂土地基中尤其显著。(3) (3) 各向异性地基各向异性地基当当Ex/Ez1 时，应力扩散时，应力扩散.4.7 4.7 有效应力原理有效应力原理孔隙水压力孔隙水压力u有效应力有效应力-土体中由孔隙水传递的压力。土体中由孔隙水传递的压力。 它不会引起土体的变形，是中性它不会引起土体的变形，是中性 压力。压力。-土体中通过固体颗粒间的接触土体中通过固体颗粒间的接触面传递的应力。面传递的应力。它将引起土

27、体的变形，故称为有效它将引起土体的变形，故称为有效应力。应力。外荷载外荷载 总应力总应力 土体是三相介质土体是三相介质外荷载由三相共同承担外荷载由三相共同承担总应力总应力孔隙水压力孔隙水压力uwwhu有效应力有效应力ANSNS所研究平面内所有粒间接触面上接触力的法向分力之和；所研究平面内所有粒间接触面上接触力的法向分力之和；A该平面的总面积（粒间接触面与孔隙面积之和）。该平面的总面积（粒间接触面与孔隙面积之和）。)1 ()1 (auAAuANSSa为研究平面内粒间接触面积为研究平面内粒间接触面积所占的比值。所占的比值。 注：注：研究土体的变形和强度，必须计算研究土体的变形和强度，必须计算 ，但按