第6章机械振动

1、第6章 机械振动6.1 简谐振动的运动学描述6.2 简谐振动的动力学方程和能量6.3 几种常见的简谐振动6.4 阻尼振动 受迫振动 共振6.5 简谐振动的合成6.6 非线性振动简介oxt 机械振动：机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化 rE H Q iv广义振动：广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 , , 该该物理量的运动形式称振动物理量的运动形式称振动, ,如物理量：如物理量：重要的振动形式是重要的振动形式是简谐振动简谐振动 simple harmonic vibration简谐振动是振动的基本模型简谐振动是振

2、动的基本模型，一般振动是多个简谐振动的一般振动是多个简谐振动的合成，合成，或者说：或者说：振动的理论建立在简谐振动的基础上。振动的理论建立在简谐振动的基础上。 以机械振动为例说明振动的一般性质以机械振动为例说明振动的一般性质平衡位置：平衡位置：物体运动始终在物体运动始终在该位置该位置附近附近tAxcossinxAtt vddcos2Atv22cosaAttxvdd2cosaAtatotoxtovvmA 2maA ToxtvAAa2A位移位移xA振幅振幅最大位移；最大位移； 由初始条件决定由初始条件决定tAxcoskm0 xx弹簧谐振子弹簧谐振子特征量：特征量：1T频率频率T周期周期圆频率（圆频

3、率（角频率角频率）2t相位（相位（位相位相 或或 周相周相）初相位（初相位（初位相初位相）取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择单位：单位：m单位：单位：m, cm单位：单位：Hz1Hz=1 1s单位：单位：s单位：单位：-1rad s单位：单位：rad单位：单位：radsin()vAt cos()2At 2cos()aAt 2cos()At cos()xAt 速度超前位移速度超前位移/2/2相位相位加速度超前速度位移加速度超前速度位移/2/2相位，相位，加速度超前位移加速度超前位移相位相位atotoxtovvxta 11cos()xAt 22cos()xAt 12 相位差：相位差：1201

4、20120121x2x的振动超前于的振动超前于 的振动的振动1x2x的振动落后于的振动落后于 的振动的振动1x2x与与 的振动同相位的振动同相位1x2x与与 的振动反相位的振动反相位22002vAx 100vtgx 0cosxA 0sinvA 解方程组可得：解方程组可得：由初始条件由初始条件 和和 有：有：0 x0vx(cm)0.25-0.5O t (s)2如图，求振动方程。如图，求振动方程。解：解：由图可知由图可知cmA5 .0sT2)1 (2sT初始条件：初始条件：000cos0.5cos0.25(cm)xA5 . 0cos003 0sin0A 0v0sin030)3cos(5 . 0tx

5、(cm)(cm)例例初始条件：初始条件：00v例题：证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动，并求出例题：证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动，并求出简简谐振动的谐振动的频率频率mg00nml证明：证明：Fmasinmgma22ddmlt22dsindglt22dsin0dlgt22dsin0dgtl5 ,sin设：设：2gl有：有：222d0dt 2gl12gl2lTgtAxcossinxAttvddcos2AtvxtAta22cosddcos2tAa频率相同频率相同振幅的关系振幅的关系mAv2Aam相位差相位差速度超前于位移；加速度超前于速度速度超前于位移；加速度超前于速度均是作谐振动的物理量

6、均是作谐振动的物理量, ,xav)cos(0 tAxx-t 曲线曲线 v-x 曲线曲线位移位移xto2T23TTA直观描述振动状态直观描述振动状态位位移移xto o2TT23T2Tx2x1to2TT23Txx2x1比较两个振动的差异比较两个振动的差异位位移移xto o2TT23T2Tx2x1)cos(tAx用匀速圆周运动、几何方法描述简谐振动用匀速圆周运动、几何方法描述简谐振动AA 以角速度以角速度逆时针转逆时针转xy0Atvv0 x在在x轴上的投影：轴上的投影：)(t 直观地表达了直观地表达了 直观地表达振动状态直观地表达振动状态x、v2coscos2cosxAtAtaAtvxaAAA2由图

7、看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2称两振动称两振动同相同相例如：例如：位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相0若若例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k 的弹簧组成的弹簧谐振子，的弹簧组成的弹簧谐振子， t = 0时，质点过平衡位置且向正方向运动。时，质点过平衡位置且向正方向运动。求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间最短时间0ttt6776k mxo解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t = 0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的

8、旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 得得设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点22txmkxdd022xmktxdd0222xtxdd由牛顿第二定律由牛顿第二定律令令mk2 简谐振动简谐振动整理得整理得以弹簧谐振子为例以弹簧谐振子为例kmxoxkxxxFmatAxcos上述方程的特解之一为上述方程的特解之一为kmx0 x系统机械能守恒，以弹簧原长为势能零点系统机械能守恒，以弹簧原长为势能零点21122mkxc2v22211sin ()22kEmmAt2v2mk222111222mkxmA2v221kA以弹簧谐振子为例：以弹簧谐振子为例：

9、cossinxAtAt v22211cos ()22pEkxkAtkpEEotxotpEkEpkEEETT2T2T2T2T6.3.1单摆单摆Ol mgT22ddsintsmmgls 很很小小又又22ddsintmlmgsin0dd22lgtttFmalgglT2tcos0令令6.3 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。 sinmglM sin当摆角很小时当摆角很小时则则 mglM o lCGmglJT22根据转动定律根据转动定律Jmglt2dd2当摆角很小时复摆在其平衡位置附近作当摆角很小时复摆在其平衡位置附近作

10、简谐振动简谐振动. .6.3.2 复摆（物理摆）复摆（物理摆） 物体所受的回复力与物体所受的回复力与sin 成正比，物体不再作简谐振动。成正比，物体不再作简谐振动。A=178A=1780 0当当 角不是很小时，角不是很小时，)2sin43212sin211(4222220 mmTT A=45A=450 0t 1800900220.式中式中称为称为阻尼振动振幅阻尼振动振幅。Otx在阻尼较小时，在阻尼较小时， 0，0cos()txA et由由牛顿第二定律牛顿第二定律txkxtxmdddd22 令令20 mk 2 m代入上式（代入上式（ 称为阻尼因子）称为阻尼因子）ddRxFt （ 称为阻尼系数）称

11、为阻尼系数）对于摩擦阻尼，对于摩擦阻尼， 当当 不太大时不太大时&6.4.1阻尼振动（摩擦阻尼，辐射阻尼）阻尼振动（摩擦阻尼，辐射阻尼）6.4 6.4 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动teAA002200222TT曲线曲线,为为过阻尼振动过阻尼振动)(0曲线为曲线为临界阻尼临界阻尼)(0在生产实际中根据不同要求在生产实际中根据不同要求控制阻尼大小。控制阻尼大小。图中曲线图中曲线1,2为为欠阻尼振动欠阻尼振动)(0设设 为物体相继两次通过极大为物体相继两次通过极大(或极小或极小)位置所经时间位置所经时间T34512xt&6.4.2受迫振动受迫振动驱动力驱动力cosfHpt运动方程运动方程22d

12、dcosddxxmkxHpttt 稳态振动稳态振动后，后，方程的解为方程的解为cos()xApt对于一定的对于一定的振动系统，当一定时，位移振幅振动系统，当一定时，位移振幅A随频率随频率而改变。而改变。Hp注意注意: :稳态时的稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质受迫振动与无阻尼自由振动实质有所不同有所不同。令令,20 mk 2 m0220cos()cos()txA etApt222220()4hApp,Hhm2202 共共振振0 共共振振&6.4.3共振共振共振现象极为普遍，有其有利的共振现象极为普遍，有其有利的一面，也一面，也 可引起损害可引起损害.（2）速度共振速度共振（图（图2）（1）

13、位移共振位移共振（图（图1）vm 0A 0 当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合当一个物体同时参与几个谐振动时就需考虑振动的合成问题。成问题。12cos()xxxAt 线性叠加线性叠加21xxx111cos()xAt 222cos()xAt 两个两个同方向同频率同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动合成后仍为同同频率的频率的简谐简谐振动振动 合振动的振幅合振动的振幅2212122cosAAAA A2111221122sinsintgcoscosAAAA 合振动的初相位合振动的初相位 同方向同频率简谐振动的合成的同方向同频率简谐振动的合成的11A1xx021xxx11221122sin

14、sint gcoscosAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(111tAx222cos()xAtAx2x2A2)cos(tAx在在t t =0 =0 时刻：时刻：在任意在任意t t 时刻：时刻：120cos()xxxAt 2212122cosAAAA A 对合成谐振动的讨论对合成谐振动的讨论（1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k12AAA( (同相同相) )xxtooA1A2AT相互加强相互加强（2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，kxxtooT2A21AA12AAA ( (反相反相) )相互削弱相互削弱（3 3）一般情况一般情况1212A

15、AAAA12其它值其它值11Axo 多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动例：已知例：已知一质点同时参与了三个简谐振动，一质点同时参与了三个简谐振动，x1=Acos( t+ /3), x2=Acos( t+5 /3), x3=Acos( t+ )。求求其合振动方程。其合振动方程。X=05cos()cos()33xAtAt 解法一：解法一：3Xxx 解法二：解法二：旋转矢量法旋转矢量法x

16、o335AAAx1+x222cos()cos()3At cos()At cos()cos()AtAt 0 6.5.26.5.2同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得： 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。时间变化。两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率 和和 很接近，且很接近，且1212)2

17、cos()2cos(201212ttAxx = x1+ x211102220cos(),cos()xAtxAt21122 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化时间作缓慢变化, , 第二项是角频率近于第二项是角频率近于 或或 的简谐的简谐函数。合振动可视为是角频率为函数。合振动可视为是角频率为 、振幅为、振幅为 的简谐振动。的简谐振动。2)(cos212tA 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的动出现时强时弱的拍现象拍现象。拍频拍频: :单位时间内强弱变化的次数。单位时间

18、内强弱变化的次数。121221212() 2t1xt2xtx6.5.36.5.3两个相互垂直同频率简谐振动的合成两个相互垂直同频率简谐振动的合成消时间参数，得消时间参数，得)cos(101tAx)(sin)cos(210202102021222212AyAxAyAx)cos(202tAy 合运动一般是在合运动一般是在 ( x 向向)、 ( y 向向)范围内的一范围内的一个椭圆。个椭圆。 12A22A 椭圆的性质椭圆的性质( (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) )在在 A1 、A2确定之后确定之后, ,主要决定于主要决定于 。1020上页上页上页上页(1) 20100, ,两个分振动同相位，得两个分振动同相位，得xAAy12在任一时刻离开坐标原点位移为：在任一时刻离开坐标原点位移为：)cos(2221tAAs(2) 2010, 两个分运动反相位，得两个分运动反相位，得xAAy12几种特殊情况：几种特殊情况：上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页(3) 2010/2，得，得1222212AyAx(4