静力学第三章力偶系.

1、工程力学第一篇：静力学第一篇：静力学 第三章 力偶系 3-1 力对点矩 3-2 力对轴矩 3-3 力偶系的合成与平衡 是代数量（平面上）。)(FMO当F=0或d=0时， =0。)(FMO 是影响转动的独立因素。)(FMO =2AOB=Fd ,2倍形面积。)(FMO力对物体可以产生 移动效应移动效应取决于力的大小、方向 转动效应转动效应取决于力矩的大小、方向3-1 力对点矩-+dFFMO)(一、力对点的矩一、力对点的矩说明：说明： F,d转动效应明显。 单位Nm，工程单位kgfm。 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。？ 矩矢三要素：强度、方位、转向？矩矢三要素：强度、方

2、位、转向？ 例例 汽车反镜的球铰链面积AOBdFFmO2)(如果r 表示A点的矢径，则：即：力对点的矩等于矩心到该力力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的作用点的矢径与该力的矢量积矢量积。dFFrFrFmFrFmOO),sin()(,)(21 kZjYiXF由于kjirzyxZYXzyxkjiFrFmO)(kFmjFmiFmkyXxYjxZzXizYyZzOyOxO)()()()()()(两矢量夹角为O矢量积的解析式矢量积的解析式 两个基本性质（P3738） 1、力对点矩矢的基本性质：作用于刚体上二力对刚体产生的绕任一点的转动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别对该点之

3、矩矢的矢量和。 2、合力矩定理：合力对任一点之矩矢等于诸分力对同一点之矩矢的矢量和。定义：定义：它是代数量，方向规定 + 的面积2)()(BOAdFFmFmxyxyOz3-2 力对轴的矩力对轴的矩结论结论：力对平行它的轴的力对平行它的轴的矩为零。即力矩为零。即力F与轴共面时，与轴共面时，力对轴之矩为零。力对轴之矩为零。)()()()(xyOxyzzzzFmFmFmFm证证？力对力对/它的轴的矩为零。即力它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。与轴共面时，力对轴之矩为零。即：)(cos)(FmFmzO)()(FmFmzzO二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系二、力对点的矩与力对通

4、过该点的轴之矩的关系面积由于AOBFmO2)(证证2)()(BOAFmFmxyzz通过O点作任一轴Z，则：cosBOAOAB由几何关系：2cos2BOAOAB所以： 定理定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系关系。 )()(cos)()(cos)()(cosFmFmFmFmFmFmOzOyOx，222)()()()(FmFmFmFmzyxOkFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(又

5、由于所以力对点O的矩为： 合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和即：由合力投影定理有，证毕)()()(21FmFmRmooo证证niiOOFmRm1)()(od=ob+ocoboAoABFMo2)(1ocoAoACFMo2)(2odoAoADRMo2)(又3.33.3 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡一、力偶与力偶矩一、力偶与力偶矩 1 1力偶的概念：力偶的概念：在日常生活和工程实践中，常见到作用在物体上的两个大小相等、方向相反，而作用线不重合的平行力的作用。如图 a)所示，汽车司机转动方向盘时，两手作用于方向盘的力；或图 b)所示的

6、钳工师傅用丝锥攻螺纹时，两手作用于丝锥铰杠上的力等。两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶力偶。如图 (c)所示，记作(F，F)，力偶的两力之间的垂直距离d 称为力偶臂力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。由以上实例可知，力偶对刚体的外效应只能使刚体产生转动。 2力偶矩的概念？力偶矩的概念？：力偶对刚体的转动效应用力偶矩表示。在平面问题中，力偶矩是代数量。以符号M(F，F)表示，也可简写成M，即 MFd 。 式中的正负号一般以逆时针转向为正，顺时针转向为负。力偶矩的单位为Nm。力偶矩的大小也可用力偶中的一个力为底边与另一个力的作用线上任一点所构成的三角形面积的两倍表示，即 M2OAB 由

7、于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，所以空间力偶矩必须用矢量表示。3 3、力偶矩用矢量表示：、力偶矩用矢量表示：力偶的转向为右手螺旋定则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。 两个同向平行力的合力两个同向平行力的合力 大小：大小：R=Q+P 方向：平行于方向：平行于Q、P且指向一致且指向一致 作用点：作用点：C处确定处确定C点点 由合力距定理由合力距定理)()(QmRmBBQPR又ABQCBR代入CBACABQPCBAC整理得：二、平面力偶性质二、平面力偶性质性质性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。？ 两个反向平

8、行力的合力两个反向平行力的合力 大小：大小：R=Q-P 方向：平行于方向：平行于Q、P且与较大的相同且与较大的相同 作用点：作用点：C处处 （推导同上）PQCACB性质性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。P40空间力偶是一个自由矢量（对刚体绕任意一点转动空间力偶是一个自由矢量（对刚体绕任意一点转动效应相等）效应相等）。？如何理解？如何理解性质性质3：平面力偶等效定理：作用在同一平面内的两个力偶，：平面力偶等效定理：作用在同一平面内

9、的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。等效。证证设物体的某一平面上作用一力偶(F，F )现沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q，Q )，Q ，F 合成R ，再将Q，F合成R，得到新力偶(R，R)，将R，R 移到A B点，则(R，R )，取代了原力偶(F，F )并与原力偶等效。 只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。由上述证明可得下列两个推论两个推论：比较(F，F)和(R，R)可得m(F,F)=2ABD=m(R,R) =2 ABC即ABD= ABC，且

10、它们转向相同。力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。空间力偶等效条件呢空间力偶等效条件呢?;111dFm 222dFmdPm11又dPm2221PPRA21PPRB212121)( mmdPdPdPPdRMA 合力矩三、平面力偶系的合成和平衡条件三、平面力偶系的合成和平衡条件1 1、平面力偶系：、平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系。2 2、平面力偶系的合成：、平面力偶系的合成：设有两个力偶(F F1，F F1) (F2，F2)dd 3 3、平面力偶系平衡的充要条件是：、平面力偶系平衡的充要条件是：合力偶矩等于零，或所有合力偶矩等于零，或所有各力偶矩的代数和

11、等于零。即各力偶矩的代数和等于零。即 niinmmmmM12101niim结论结论: : 平面力偶系合成结果还是一个力偶，其合力偶矩等于各力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶，其合力偶矩等于各力偶矩的代数和矩的代数和。 例例1010 在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻四个等直径的孔，每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有： 由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。 例例

12、1111 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M12kNm，OAr0.5m。图示位置时OA与OB垂直， ，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶矩M2及铰链O、B处的约束反力。o30 解解 (1) 先选取圆轮为研究对象。圆轮受有力偶矩M1及光滑导槽对销子A的作用力FA和铰链O处的约束反力FO的作用。由于力偶只能由力偶来平衡，因而FO与FA必组成一力偶，其FO、FA大小相等，方向相反。圆轮受力图如图 b）所示。由力偶系的平衡条件知 解得：0M0sin1rFMAsin1rMFA 将 代入上式解得 。由于FO与FA组成一力偶，FB与FA组成一力偶，故有方向如图b)、c)所示。 0M0sin2 rFMAsin1rMFFAAmkN8412 MMkN830sin5 . 02sino1rMFFFABO (2) 再以摇杆BC为研究对象。其上受有力偶矩M2及FA和铰链B处的约束反力FB的作用。FB与FA必组成一力偶，其FB、FA