机械工程控制基础 第4章

1、河南理工大学机械学院机械工程控制基础机械工程控制基础 第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第三章第三章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 第四章第四章 频域分析法频域分析法 第五章第五章 控制系统的稳定性控制系统的稳定性 第六章第六章 控制系统的校正控制系统的校正河南理工大学机械学院第四章第四章 线性系统的频域分析线性系统的频域分析 4.4.1 1基本基本概念概念 4.24.2频率特性的频率特性的NyquistNyquist图图 4.34.3频率特性的频率特性的BodeBode图图 4.44.4系统的频域特征量系统的频

2、域特征量 4.54.5最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统河南理工大学机械学院4.1 4.1 基本概念基本概念 频率特性是研究自动控制系统的一种工程频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法。应用频率特性可以间接地分析系统的方法。应用频率特性可以间接地分析系统的动动态性能态性能与与稳态性能稳态性能。 频率特性法的突出优点频率特性法的突出优点: :(1)(1)组成系统的元组成系统的元件及被控对象的数学模型若不能直接从理论上件及被控对象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以推出和计算时，可以通过实验通过实验直接求得直接求得频率特频率特性性来分析系统的品质。来分析系统的品质

3、。(2)(2)应用频率特性法分析应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结论，并且有明显系统可以得出定性和定量的结论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分析系统时，的物理意义。在应用频率特性法分析系统时，可以利用可以利用曲线，图表及经验公式曲线，图表及经验公式，因此，用频，因此，用频率特性法分析系统是很率特性法分析系统是很方便方便的。的。河南理工大学机械学院奈奎斯特图的绘制；伯德图的绘制；奈奎斯特图的绘制；伯德图的绘制； 通过本章学习，应重点掌握频率特性的概通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极坐标图和波特图的

4、绘制和分析方法、控制系统坐标图和波特图的绘制和分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、闭环频率特性的求法、稳定性的频域分析法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。闭环系统性能指标的频域分析法等。河南理工大学机械学院频率特性频率特性频率响应频率响应 系统对系统对正弦输入正弦输入的稳态响应称为频率的稳态响应称为频率响应。开环系统对正弦输入的稳态响应称响应。开环系统对正弦输入的稳态响应称为开环频率响应；闭环系统对正弦输入稳为开环频率响应；闭环系统对正弦输入稳态响应称为闭环频率响应；态响应称为闭环频率响应；河南理工大学机械学院( )()sin( )ooxtXtttXtxiisin)()(

5、)(G(s)Xi(s)Xo(s)( )( )sin( )oox tXt ( )siniix tXt根据微分方程解的理论，若对系统输入一谐波信号根据微分方程解的理论，若对系统输入一谐波信号xi(t)=Xisint，系统的稳态输出响应也为同一频率的谐波信号，系统的稳态输出响应也为同一频率的谐波信号，但幅值和相位发生了变化。但幅值和相位发生了变化。典型的频率响应典型的频率响应河南理工大学机械学院例1一阶系统传递函数：一阶系统传递函数：1)(TsKsGtXtxiisin)(系统输入函数：系统输入函数：22)(sXsXii则：则：2222222222222111111)()()(sTKXssTTKXTs

6、TTKXsXTsKsXsGsXiiiiio)arctansin(11)cos(sin11)(22/2222/22TtTKXeTKTXtTtTKXeTKTXtxiTtiiTtio瞬态瞬态分量分量稳态稳态分量分量 T21T1河南理工大学机械学院TTKXXioarctan)(1)(22则，幅值为：则，幅值为： 相位为：相位为：)arctansin(1)(22TtTKXtxio由传递函数可知，由传递函数可知，-1/T-1/T是是G(s)G(s)的极点，也是系统微分方的极点，也是系统微分方程的特征根程的特征根s si i，由于，由于s si i为负值，所以系统是稳定。为负值，所以系统是稳定。随着时间的推

7、移，随着时间的推移，当当tt时，瞬态分量迅速衰减至零，时，瞬态分量迅速衰减至零，系统的输出系统的输出x x0 0(t)(t)即为稳态响应。即为稳态响应。所以，系统的稳态响应为：所以，系统的稳态响应为：由此可知，它是与输入同频率的谐波信号！由此可知，它是与输入同频率的谐波信号！河南理工大学机械学院显然，显然，频率响应只是时间响应的一个特例频率响应只是时间响应的一个特例。不过，当谐。不过，当谐波的频率波的频率 不同时，幅值不同时，幅值X X0 0()()与相位与相位( () )也不同。也不同。这恰好提供了有关系统本身特性的重要信息。从这个意这恰好提供了有关系统本身特性的重要信息。从这个意义上说，义

8、上说，研究频率响应或者频率特性就是在频域中研究研究频率响应或者频率特性就是在频域中研究系统的特性系统的特性。河南理工大学机械学院111111)()(12sRCsCsRCssUsU例例2：如图所示电气网络的传递函数为：如图所示电气网络的传递函数为若输入为正弦信号：若输入为正弦信号：tUumsin11其拉氏变换为：其拉氏变换为：2211)(sUsUm221211)(sUssUm输出拉氏变换为：输出拉氏变换为：其拉氏反变换为：其拉氏反变换为：)arctansin(112212212tUeUumtm)arctansin(1lim2212tUumt111sin()11mUtjj河南理工大学机械学院01j

9、meUjjmejU11111输入信号的复数表示为：输入信号的复数表示为：输出信号的复数表示为：输出信号的复数表示为：它们之比为：它们之比为：)()()(11)()(AeAjjGj221111)(jAtanarg11)(j幅频特性幅频特性相频特性相频特性系统幅频特性系统幅频特性: :线性系统在谐波输入作用下，其稳线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入信号的频率态输出与输入的幅值比是输入信号的频率的函数。的函数。系统相频特性系统相频特性: :稳态输出信号与输入信号的相位差稳态输出信号与输入信号的相位差是输入信号的频率是输入信号的频率的函数。的函数。频频率率特特性性河南理工大学机械

10、学院010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90)(1srad)(A)(2112345幅频特性和相频特性数据幅频特性和相频特性数据jjG11)(河南理工大学机械学院频率特性与传递函数的关系频率特性与传递函数的关系若系统的微分方程为：若系统的微分方程为：则系统的传递函数：则系统的传递函数：tXtxiisin)(输入信号为谐波信号：输入信号为谐波信号：22)(sXsXii系统输出为：系统输出为：河南理工大学机械学院若系统无重极点：若系统无重极点：*( )nioiiABBXssssjsj1nitjtjtsioe

11、BBeeAtxi1*)()(则系统的输出：则系统的输出：式中式中，si为特征根；为特征根；Ai 、B、B*（B与与B*共轭）为待定共轭）为待定系数。系数。对于稳定系统而言，系统的特征根对于稳定系统而言，系统的特征根si均具有负实部，则均具有负实部，则上式中的瞬态分量，上式中的瞬态分量， tt，将衰减为零，系统，将衰减为零，系统x x0 0(t)(t)即为稳态响应，故系统的稳态响应为即为稳态响应，故系统的稳态响应为tjtjoeBBetx*)(河南理工大学机械学院tjtjoeBBetx*)(时间函数拉氏变换函数tpnnentpsL0)!1()(1101河南理工大学机械学院( )()( )()()(

12、)iisjsjXXBG ssjG ssjsjsj计算待定系数计算待定系数B B：jXejGjXjGijGji2)(2)()(同理，同理，*()()()22 jG jiiXXBGjG jejj代入输出函数，则系统的稳态响应为代入输出函数，则系统的稳态响应为()()( )lim( )()2jtG jjtG josoiteextx tG jXj()sin()iG jXtG j（欧拉公式）（欧拉公式）河南理工大学机械学院系统的幅频特性和相频特性分别为：系统的幅频特性和相频特性分别为：( )( )()( )( )() oiXAG jXG j故故 就是系统的频率特性，它是就是系统的频率特性，它是将将G(s

13、)中的中的s用用j取代后的结果，是取代后的结果，是的复变函数。显的复变函数。显然，频率特性的量纲就是传递函数的量纲。然，频率特性的量纲就是传递函数的量纲。()()()G jG jG j jvujG由于由于G(j)是一个复变函数，故可写成实部和虚部之是一个复变函数，故可写成实部和虚部之和，即：和，即： 式中，式中，u u( ( ) )是频率特性的实部，称为实频特性；是频率特性的实部，称为实频特性； v v( ( ) )是频率特性的虚部，称为虚频特性。是频率特性的虚部，称为虚频特性。河南理工大学机械学院四、频率特性的求法四、频率特性的求法1. 1. 由频率响应的定义得到频率特性由频率响应的定义得到

14、频率特性从从x x0 0(t)(t)的的稳态项稳态项中可得到频率响应的幅值和相位。中可得到频率响应的幅值和相位。然后，按幅频特性和相频特性的定义，就可分别求得然后，按幅频特性和相频特性的定义，就可分别求得幅频特性和相频特性。幅频特性和相频特性。221)()(sXsGLtxio22)(sXsXii由由)arctansin(1)(22TtTKXtxio例如：前面的例子稳态响应为：稳态响应为：根据频率特性的定根据频率特性的定义：义：TTKXXAioarctan)(1)()(22TeTKarctan221河南理工大学机械学院2.2.传递函数传递函数 频率特性频率特性 系统的频率特性就是其传递函数系统的

15、频率特性就是其传递函数G(s)中用复变量中用复变量j替换替换s，也称也称G(j)为谐波传递函数为谐波传递函数。例如：1)(TsKsG已知传递函数已知传递函数则频率特性为则频率特性为TeTKjTKjGarctan2211)(因此因此TTKjGAarctan)(1)()(22=G(j)系统的频率响应为：系统的频率响应为：)arctansin(1)(sin)()(22TtTKXjGtjGXtxiio河南理工大学机械学院条件：不知道传递函数或微分方程等数学模型，不能使条件：不知道传递函数或微分方程等数学模型，不能使 用上述两种方法求解，此时可以通过试验求得频用上述两种方法求解，此时可以通过试验求得频率

16、特性后，求得传递函数（在第九章详述）率特性后，求得传递函数（在第九章详述）步骤步骤1：改变输入谐波信号改变输入谐波信号Xiejt频率的频率频率的频率，并测出与，并测出与此相对应的输出幅值此相对应的输出幅值Xo()与与相移相移().步骤步骤2：作出幅值比作出幅值比Xo()/Xi,对频率对频率的曲线，此即幅频特的曲线，此即幅频特性曲线；性曲线；步骤步骤3：作出相移作出相移() 对频率对频率的曲线，此即相频特性曲线；的曲线，此即相频特性曲线；频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp 3.3.用试验方法求解用试验方法求解河南理工大学机械学院4.4.频率特性的特点和作用频率特性的特点和作用（1

17、1） 由由)()()(sXsGsXio)()()(jXjGjXio当当)()(ttxi时时)()(twtxo并且并且1)()(tFjXi所以所以)()(jGjW即即)()(jGtwF 这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应的傅立叶变换。对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。 频率特性分析方法始于频率特性分析方法始于2020世纪世纪4040年代，目前广泛应用年代，目前广泛应用于机械、电气、流体等各类系统，成为分析线性定常系统于机械、电气、流体等各类系统，成为分析线性定常系统的基本方法之一，是经典控制理论的重要组成部分。的基本方法之一，是经典控制理论的重要组成部分。河南理工大学机械学院

18、实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。 频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性； 河南理工大学机械学院是定义在复 平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、权函数、传递函数一样 反映了系统的固有特性。 q 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。 河南理工大学机械学院频率特性可用解

19、析式或图形来表示。 （一）解析表示)()()()()()()( jGjGejGeAjGjGjj)()()(Im)(Re)(sin)(cos)()()()( jQPjGjjGjjGeAjGj河南理工大学机械学院 示例 正弦输入xi(t)=Xsint 作用下的频率响应。 1)( TsKsG求一阶系统的频率特性及在1)()( jTKsGjGjs解： 由上式可见，当T1时， A() K/T () -90221)()( TKjGA TarctgjG )()(河南理工大学机械学院)sin(1)(22TarctgtTXKtxo 对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的定义：河南理工大学机械学院 奈

20、奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频率特性图） )()()()()()()(Im)(Re)( jjGjeAejGjQPjGjjGjG )()()()()()(22 PQarctgQPA 其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。河南理工大学机械学院在复平面上，随（0 ）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。易 知 ， 向 量 G ( j) 的 长 度 等 于 A ()（|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()（G(j)）。 河南理工大学机械学院l 比例环节比例

21、环节 传递函数：传递函数：G(s) = K 频率特性：频率特性：G(j ) = K = Kej0实频特性：实频特性：P( ) = K 虚频特性：虚频特性：Q( ) = 0 幅频特性：幅频特性：A( ) = K 相频特性：相频特性： ( ) = 0比例环节的频率特性图：比例环节的频率特性图：K0ReImNyquist Diagram河南理工大学机械学院l 惯性环节惯性环节 传递函数：传递函数：11)( TssG频率特性频率特性： jarctgTeTTjjG 221111)(相频特性相频特性： ( ) = - arctgT 幅频特性幅频特性：2211)(TA 实频特性实频特性：2211)(TP 虚

22、频特性虚频特性：221)(TTQ 河南理工大学机械学院注意到：注意到： 22221)(21)( QP即惯性环节的奈氏图为圆即惯性环节的奈氏图为圆心在心在(1/2, 0)处，半径为处，半径为1/2的一个圆。的一个圆。0ReIm1/21 =0 = 45 =1/TNyquist DiagramG(j) 惯性环节的惯性环节的Nyquist图图 河南理工大学机械学院l 一阶微分一阶微分环节环节 （导前环节）（导前环节） 传递函数：传递函数：1)( ssG 频率特性：频率特性： jarctgejjG2211)( 幅频特性：幅频特性：221)( A 相频特性：相频特性： ( ) = arctg 一阶微分环节

23、的一阶微分环节的Nyquist图图 实频特性：实频特性：1)( P虚频特性：虚频特性： )(Q0ReIm =0 = 221 arctg1河南理工大学机械学院l 积分积分环节环节 传递函数：传递函数：ssG1)( 频率特性：频率特性：211)( jejjG 幅频特性：幅频特性： 1)( A相频特性：相频特性： ( ) = -90实频特性：实频特性：0)( P虚频特性：虚频特性： 1)( Q 积分环节的积分环节的Nyquist图图 0ReIm =0 = 河南理工大学机械学院l 理想微分理想微分环节环节 传递函数传递函数：ssG )(频率特性频率特性：2)( jejjG 实频特性实频特性：0)( P

24、虚频特性：虚频特性： )(Q幅频特性幅频特性： )(A相频特性：相频特性： ( ) = 90 理想微分环节的理想微分环节的Nyquist图图 0ReIm =0 = 河南理工大学机械学院l 振荡振荡环节环节 传递函数：传递函数：10,2121)(22222 nnnssTssTsG频率特性：频率特性：nnnnnjjjG 2112)(2222 河南理工大学机械学院222211)( nnA 幅频特性：幅频特性：相频特性相频特性：212)( nnarctg 河南理工大学机械学院实频特性实频特性：2222211)( nnnP 虚频特性虚频特性：222212)( nnnQ 河南理工大学机械学院 振荡环节的振

25、荡环节的Nyquist图图 1)0()( AA 0)0()( q = 0时时 21)()( nAA 90)()(n q = n时时 0)()( AA 180)()( q = 时时 河南理工大学机械学院Nyquist Diagram =0 = =0.1 =0.2 =0.5 =1 =0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-1021 =0.3 = n河南理工大学机械学院00.2 0.4 0.6 0.811.2 1.4 1.6 1.8201234 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00 / / nA

26、( )q 谐振现象谐振现象(resonance)河南理工大学机械学院由振荡环节的幅频特性曲线可见，当由振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小较小时，在时，在 = = n n附近，附近，A A( ( ) )出现峰值，即发出现峰值，即发生谐振。谐振峰值生谐振。谐振峰值 M Mr r 对应的频率对应的频率 r r 称为谐称为谐振频率。振频率。由于：由于：222211)( nnA 河南理工大学机械学院nuuuuf ,)2()1()(222A( )出现峰值相当于其分母：出现峰值相当于其分母：取得极小值。取得极小值。令：令：0844)(23 uuuuf 解得：解得：221 u即：即：221 nr显然显然 r

27、 应大于应大于0，由此可得振荡环节出现谐，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：振的条件为：707. 022 谐振峰值：谐振峰值：2121)( rrAM河南理工大学机械学院00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10123456789100102030405060708090100 MrMp ()MrMp河南理工大学机械学院l 延迟环节延迟环节 传递函数：传递函数：sesG )(频率特性频率特性： jejG )(幅频特性幅频特性：1)( A相频特性相频特性：)()(rad 01 =0ReIm Nyquist Diagram河南理工大学机械学院l 系统系统Nyqui

28、st图的绘制图的绘制 基本步骤基本步骤q 将开环传递函数表示成若干典型环节的串将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式：联形式：)()()()(21sGsGsGsGn)()(2)(1)()()()()()(21 njnjjjeAeAeAeAjG q 求系统的频率特性：求系统的频率特性： )()()(2121)()()( njneAAA 河南理工大学机械学院)()()()()()()()(2121 nnAAAA 即：即：q 求求A A(0)(0)、 (0)(0)；A A( ( ) )、 ( ( ) )q 补充必要的特征点补充必要的特征点( (如与坐标轴的交点如与坐标轴的交点) )，标明实轴、

29、虚轴、原点。在此坐标系中分别描标明实轴、虚轴、原点。在此坐标系中分别描出以上所求各点，并按出以上所求各点，并按 增大的方向将各点连增大的方向将各点连成一条曲线，在曲线旁标出成一条曲线，在曲线旁标出 增大的方向。增大的方向。河南理工大学机械学院 已知系统的已知系统的开环传递函数开环传递函数如下：如下：) 12 . 0)(15 . 0(10)()(ssssHsG绘制系统绘制系统开环开环Nyquist图图并求与实轴的交点。并求与实轴的交点。解解：)12 . 0)(15 . 0(10)()( jjjjHjG)04. 01)(25. 01(10)(22 A 2 . 05 . 090)(arctgarct

30、g 0： A(0) (0)90 ： A( )0 ( )270例例河南理工大学机械学院0)11 . 0(49. 0)11 . 0(10)(2232 QNyquist图与实轴相交时：图与实轴相交时：解得：解得：16. 310 j 10 （ 舍去）舍去）222)11 . 0(49. 07)( P又：又：解得：解得：43. 1710)( jP -1.43 0ReIm0河南理工大学机械学院 Nyquist图的一般形状图的一般形状考虑如下系统：考虑如下系统：)()1()1)(1()()1()1)(1()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnvm q 0型系统（型系统（v = 0） 0： ：A(0)K

31、 (0)0 A( )0 ( ) (m n)90河南理工大学机械学院ReIm0Kn=1n=2n=3n=4只包含惯性环节的只包含惯性环节的0型系统型系统Nyquist图图0河南理工大学机械学院q I型系统（型系统（v = 1） 0： ： (0)90 ( ) (m n)90A( )0A(0) ReIm0n=2n=3n=40n=1)()1()1)(1)()1()1)(1()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnm 河南理工大学机械学院q II型系统（型系统（v = 2） ： ( ) (m n) 90A( )0 0： (0)180A(0) ReIm0n=2n=3n=40)()1()1)(1()()

32、1()1)(1()(21221mnTjTjTjjjjjKjGvnm 河南理工大学机械学院q 开环含有开环含有v v个积分环节系统，个积分环节系统，Nyquist曲线曲线 起自幅角为起自幅角为v v9090的无穷远处。的无穷远处。v v=0=0时，时， Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点。曲线起自实轴上的某一有限远点。q n n = = m m时，时， Nyquist曲线止于实轴上的某一曲线止于实轴上的某一 有限远点。有限远点。 n n m m时，时，Nyquist曲线终点幅曲线终点幅 值为值为 0 0 ，而相角为，而相角为 (m n) 9090。Nyquist图的特点：图的特点：q 不

33、含一阶微分环节的系统，相角滞后量单不含一阶微分环节的系统，相角滞后量单 调增加。含有一阶微分环节的系统调增加。含有一阶微分环节的系统, ,由于相由于相 角非单调变化，角非单调变化，Nyquist曲线可能出现凹凸。曲线可能出现凹凸。河南理工大学机械学院q 上海交大上海交大1998年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题(4-10)已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为求在频率求在频率f=1Hz,幅值幅值rm m=10的正弦输入信号作用下，的正弦输入信号作用下，系统的稳态输出的幅值与相位。系统的稳态输出的幅值与相位。ssG5 . 0110)( 河南理工大学机械学院 波德波德(Bode)图（对数频

34、率特性图）图（对数频率特性图） q 对数幅频特性图对数幅频特性图以以10为底的对数分度表示的角频率为底的对数分度表示的角频率 单位单位 rad/s或或Hz线性分度，表示幅值线性分度，表示幅值A( )对数的对数的20 倍，即：倍，即： L( )=20logA( )单位单位 分贝（分贝（dB）河南理工大学机械学院q 对数相频特性图对数相频特性图 与对数幅频特性图相同。与对数幅频特性图相同。 线性分度，频率特性的相角线性分度，频率特性的相角 ( ) 单位单位 度度( )q 几点说明几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了在对数频率特性图中，由于横坐标采用了 对数分度，因此对数分度，因此 =0

35、不可能在横坐标上表不可能在横坐标上表 示出来，横坐标上表示的最低频率由所感示出来，横坐标上表示的最低频率由所感 兴趣的频率范围确定；兴趣的频率范围确定； 此外，横坐标一般此外，横坐标一般 只标注只标注 的自然数值；的自然数值；河南理工大学机械学院 在对数频率特性图中，角频率在对数频率特性图中，角频率 变化的倍变化的倍 数往往比其变化的数值更有意义。为此通数往往比其变化的数值更有意义。为此通 常采用频率比的概念：频率变化十倍的区常采用频率比的概念：频率变化十倍的区 间称为一个间称为一个十倍频程十倍频程，记为，记为decade或简写或简写 为为 dec。可以注意到，频率变化可以注意到，频率变化10

36、10倍，在对数坐标倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位上是等距的，等于一个单位。 河南理工大学机械学院 对数坐标的优点对数坐标的优点 幅值相乘变为相加，简化作图；幅值相乘变为相加，简化作图； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围 两个系统或环节的频率特性互为倒数时，两个系统或环节的频率特性互为倒数时， 其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称， 相频特性曲线关于零度线对称。相频特性曲线关于零度线对称。 河南理工大学机械学院l 比例环节比例环节 传递函数：传递函数：G(s) = K频率特性：频率特性：G(j ) = K = Ke

37、j0对数幅频特性：对数幅频特性： L( ) = 20lgK对数相频特性：对数相频特性： ( ) = 0幅频特性：幅频特性：A( ) = K相频特性：相频特性： ( ) = 0河南理工大学机械学院Bode Diagram (rad/sec) ( )L( )/ (dB)-20020406010-1100101102-180-900 90 180 20lgK河南理工大学机械学院l 惯性环节惯性环节 传递函数：传递函数：11)( TssG频率特性：频率特性： jarctgTeTTjjG 221111)( 相频特性：相频特性： ( ) = - arctgT 幅频特性幅频特性：2211)(TA 对数幅频特

38、性对数幅频特性：221log20)(TL 对数相频特性对数相频特性： ( ) = - arctgT 河南理工大学机械学院 惯性环节的惯性环节的Bode图图 q 低频段低频段( ( 1/1/T ) ) TTLlg201lg20)(22 lg20lg20 T即高频段可近似为斜率为即高频段可近似为斜率为- -20dB/dec 的直线，称的直线，称为为高频渐近线高频渐近线。河南理工大学机械学院转折频率转折频率-30-20-10010-90-4501/TL( )/ (dB) ( )Bode Diagram (rad/sec)实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线- -20dB/dec河南理工大学机械学院q

39、 转折频率（转折频率（ T T 1/1/T ) )低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 T T 1/1/T，称为，称为转折频率（截止频率）转折频率（截止频率）。在转折频率处，在转折频率处，L( ( T T ) ) - -3dB， ( ( T T ) )-45-45 。q 渐近线误差渐近线误差惯性环节具有低通滤波特性惯性环节具有低通滤波特性。 TTTTTL/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222 河南理工大学机械学院-4-3-2-100.1110 T转折频率转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线河南理工大学

40、机械学院l 一阶微分一阶微分环节环节 对数相频特性：对数相频特性： ( ) = arctg传递函数传递函数：1)( ssG 频率特性频率特性： jarctgejjG2211)( 对数幅频特性对数幅频特性：221log20)( L幅频特性：幅频特性：221)( A相频特性相频特性： ( ) = arctg河南理工大学机械学院 一阶微分环节的一阶微分环节的Bode图图 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数互为倒数( ( = = T T ) )，根据对数频率特性图的，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特点，一阶微分环节与惯性环节

41、的对数幅频特性曲线关于特性曲线关于 0 0dB 线对称，相频特性曲线关线对称，相频特性曲线关于零度线对称。于零度线对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。可由渐近线近似描述。河南理工大学机械学院0 10 2030904501/TL( )/ (dB) ( )Bode Diagram (rad/sec)0.1/T10/T转折频率转折频率实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线20dB/dec河南理工大学机械学院l 积分积分环节环节 传递函数：传递函数：ssG1)( 频率特性频率特性：211)( jejjG 幅频特性幅频特性： 1)( A相频

42、特性：相频特性： ( ) = -90对数幅频特性对数幅频特性： log20)( L 对数相频特性：对数相频特性： ( ) = -90河南理工大学机械学院 积分环节的积分环节的Bode图图 -40-200200-45-90-135-1800.1110100L( )/ (dB) ( )Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec河南理工大学机械学院l 理想微分理想微分环节环节 传递函数：传递函数：ssG )(频率特性：频率特性：2)( jejjG 对数相频特性：对数相频特性： ( ) = 90 对数幅频特性：对数幅频特性： log20)( L幅频特性：幅频特性： )(A相频特性：相

43、频特性： ( ) = 90河南理工大学机械学院-2002040045901351800.1110100L( )/ (dB) ( )Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec 理想微分环节的理想微分环节的Bode图图 河南理工大学机械学院l 振荡振荡环节环节 传递函数：传递函数：10,2121)(22222 nnnssTssTsG频率特性：频率特性：nnnnnjjjG 2112)(2222 河南理工大学机械学院222211)( nnA 幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：212)( nnarctg 河南理工大学机械学院 振荡环节的振荡环节的Bode图图 22221lg20)

44、( nnL q 对数幅频特性对数幅频特性 低频段低频段( ( n) )两条渐近线的交点为两条渐近线的交点为 n。即振荡环节的。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。转折频率等于其无阻尼固有频率。22221lg20)( nnL 河南理工大学机械学院212)( nnarctg q 对数相频特性对数相频特性 90)(n 180)( 0)0( 易知：易知：河南理工大学机械学院-180-135-90-4500.1110 / / n ( ) / (deg) = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2 = 0.3-40-30-20-1001020L( )/ (dB)-40dB/dec =

45、 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2渐近线Bode Diagram河南理工大学机械学院q 渐近线误差分析渐近线误差分析 nnnnnnnL ,lg2021lg20 ,21lg20)(2222222河南理工大学机械学院-8-40481216200.1110 = 0.05 = 0.10 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.80 = 0.90 = 1.00 = 0.50 = 0.60 = 0.707 / / nError (dB)河南理工大学机械学院由图可见，当由图可见，当 较小时，由于在较小时，由于在 = n 附

46、近附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，较大的误差， 越小，误差越大。越小，误差越大。当当0.38 0.7时，时，误差不超过误差不超过3dB。因此，在此。因此，在此 范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。过误差曲线修正而获得或直接计算。河南理工大学机械学院l 二阶微分二阶微分环节环节 传递函数：传递函数：10, 1

47、2)(22 sssG频率特性：频率特性： 21)(22jjG 幅频特性：幅频特性：2222)2()1()( A相频特性：相频特性：2212)( arctg实频特性：实频特性：221)( P 2)( Q虚频特性：虚频特性：河南理工大学机械学院 二阶微分环节的二阶微分环节的Bode图图 2222)2()1(lg20)( L2212)( arctg注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数互为倒数( ( 1/1/ n ) )，根据对数频率特性图，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于频特性

48、曲线关于 0 0dB 线对称，相频特性曲线线对称，相频特性曲线关于零度线对称。关于零度线对称。河南理工大学机械学院02040090180270360 ( ) / (deg)L( )/ (dB) 10.110Bode Diagram40dB/dec二阶微分环节二阶微分环节河南理工大学机械学院l 延迟环节延迟环节 传递函数传递函数：sesG )(频率特性频率特性： jejG )(幅频特性幅频特性：1)( A相频特性相频特性：)()(rad 对数幅频特性对数幅频特性：0)( L河南理工大学机械学院-600-500-400-300-200-10000.1110 (rad/s) ( ) / (deg)1

49、0L( ) / (dB)0-20-10河南理工大学机械学院l 系统系统Bode图的绘制图的绘制 考虑系统：考虑系统：)()()()(21sGsGsGsGn )()()( jeAjG )()()(2121)()()( njneAAA )()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121 nnLLLAAAAL )()()()(21 n 河南理工大学机械学院 Bode图特点图特点q 最低频段的斜率取决于积分环节的数目最低频段的斜率取决于积分环节的数目v， 斜率为斜率为20v dB/dec。q最低频段的对数幅频特性可近似为：最低频段的对数幅频特性可近似为：( )20lg20 lgLKv当转折频率当转折频率 T都大于都大于1时，在时，在 1 rad/s时，时，L( )=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在延长线在 1 rad/s时的数值等于时的数值等于20lgK。当转折频率当转折频率 T小于小于1时，在时，在 Trad/s时，时，L( )=20lgK-20vlg 河南理工大学机械学院q 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示， 则对数幅频特性为一系列折线，折线的转则对数幅频特性为一系列折线，折线的转 折点为各环节的转折频率。