自动控制原理 第2章系统数学模型

1、自动控制原理 第二章系统数学模型信息控制类专业最重要的专业基础课之一信息控制类专业最重要的专业基础课之一第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型n2-1 引言引言n2-2 微分方程（时域模型）微分方程（时域模型）n2-3 传递函数（复域模型）传递函数（复域模型）n2-4 结构图和信号流图（图形描述）结构图和信号流图（图形描述）n2-5 小结小结12-1 引言引言n1.数学模型的概念数学模型的概念描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析与设计的基础。统分析与设计的基础。n2.数学模型的研究意义数学模型的研究意义能够比定性分析更加精细准确，从

2、理论上对系能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。统的性能进行定量的分析和计算。许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。以一个模型分析一类系统。程来表示。以一个模型分析一类系统。2n3.数学模型的种类数学模型的种类静态模型：静态条件下各变量之间的关系静态模型：静态条件下各变量之间的关系动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程n4.数学模型的建立方法数学模型的建立方法分析法（白箱模型）分析法（白

3、箱模型）u对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等等顿定律、热力学关系等等实验法（黑箱模型）实验法（黑箱模型）u人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系统辨识统辨识3n综合法（灰箱模型）综合法（灰箱模型）u实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计算实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计算法与工程实验法

4、一起用，较准确而方便地建立系统法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化。下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化。但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。系统的数学模型过于复杂。4n数学模型的形式数学模型的形式时域（时域（t） ： 微分方程微分方程复域（复

5、域（s）：）： 传递函数传递函数频域（频域（）：频率特性）：频率特性三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换52-2 控制系统时域模型控制系统时域模型1.1.微分方程的建立微分方程的建立【例例1】RLC电路如下图，分析输入电压电路如下图，分析输入电压ur(t)作用下作用下电容上电压电容上电压uc(t)的变化。的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)+_+_6依据电学中的基尔霍夫定律依据电学中的基尔霍夫定律 ( )( )( )( ), 1rcdi tu tRi tLu tdt（）1( )( ),

6、(2)Cuti t dtC( )( )Cduti tCdt)()()()(22tudttudLCdttduRCtuCCCr(2)式两边求导消去中间变量式两边求导消去中间变量i(t)RLCur(t)uc(t)i(t)( )( )( )( )CCCrLCutRCututu t整理成规范形式整理成规范形式7n【例例2】建立下面机械平移系统的数学模型建立下面机械平移系统的数学模型 求在外力求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。作用下，物体的运动轨迹。 kF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧m8首先：确定输入首先：确定输入F(t),输出输出x(t)其次：理论依据其次：理论依据1.牛顿第二定律牛顿第

7、二定律2.牛顿第三定律牛顿第三定律12( )( )Fkx tFfxtFmakF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧mF1(t)F2(t)912( )( )ax tFF tFF机械平移系统的微分方程为：机械平移系统的微分方程为：)()()()(tFtkxtx ftxm 注意：写微分方程时，常习惯于把注意：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列高到低排列 。( )( )( )( )F tkx tfx tmx tFma微分方程数学模型的标准形式微分方程数学模型的标准形式10)()()()(tut

8、utuRCtuLCrCCC 这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。（相似系统）的数学模型来描述。（相似系统）讨论：讨论：)()()()(tFtkxtx ftxm 11n微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。系统的运动，必须列写系统的微分方程。n列写微分方程的基本步骤：列写微分方程的基本

9、步骤：1) 确定系统的输入量和输出量确定系统的输入量和输出量2) 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。定律，列出各环节的线性化原始方程。3) 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并且化为标准形式。的微分方程式，并且化为标准形式。12【例例3】 求电枢控制直流电动机的微分方程。求电枢控制直流电动机的微分方程。 电枢电压电枢电压ua(t)作为输入量，电机转速作为输入量，电机转速m(t)作作为输

10、出量为输出量. Ra La 分别是电枢电路的电阻和电感；分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。是折合到电动机轴上的总负载转矩。 m负载负载LaRa+-Ea+ +- -SMJmfmuauf+ +- -ia注：电能转化为机械能注：电能转化为机械能13 (1) 根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡方程式为方程式为 )()()()(tEtiRdttdiLtuaaaaaa)()(tCtEmeaCe是反电势系数（伏是反电势系数（伏/（弧度（弧度/秒）秒）)()()(tEtiRtuaaaa通常通常La很小，可以忽略不计很小，可以忽略不计m负载负载

11、LaRa+-Ea+ +- -SMJmfmuauf+ +- -ia其中其中14 为转矩系数（牛为转矩系数（牛米米/安安）)()(tiCtMammmC (2) 电磁转矩电磁转矩 Mm与电枢电流成正比：与电枢电流成正比：)()()()(tftMtMdttdJmmcmmm(3) 电机轴上的转矩平衡方程式为电机轴上的转矩平衡方程式为 Jm：转动惯量；：转动惯量；fm: 粘性摩擦系数粘性摩擦系数m负载负载LaRa+-Ea+ +- -SMJmfmuauf+ +- -ia15( )( )( )aa aemu tR i tCt( )( )mm aMtC i t)()()()(tftMtMdttdJmmcmmm(

12、 )()( )( )( )mammaemmmaacdtR Jf RC CtC utR Mtdt电枢回路电压关系电枢回路电压关系电能与机械能的转换电能与机械能的转换机械能中的转矩平衡机械能中的转矩平衡16所以直流电机的运动方程为所以直流电机的运动方程为 直流电动机的时间常数直流电动机的时间常数( )()( )( )( )mammaemmmaacdtR Jf RC CtC utR MtdtmeammCCRfCK1meammamCCRfJRT)()()()(21tMKtuKtdttdTcammmmeamaCCRfRK2( )( )( )( )()()()ammmamacmaemmaemmaemR J

13、dtCRtu tMtf RC Cdtf RC Cf RC C直流电动机的传递系数直流电动机的传递系数17【例例4】求下图所示运算放大器的传递函数。求下图所示运算放大器的传递函数。urucRfRiRui0irif-+图中图中Rf是反馈电阻，是反馈电阻，if是反馈电流，是反馈电流，Ri是输是输入电阻，入电阻，ur和和ir是输入电压和电流，是输入电压和电流，uc是输是输出电压出电压,i0是进入放大器的电流。是进入放大器的电流。18n 放大器具有高增益放大器具有高增益k=105109,而通常而通常uc小于小于10伏，伏，因为因为u=-uc/k,所以运算放大器的输入电压所以运算放大器的输入电压u近似近似

14、等于等于0，这种反相输入端电位为，这种反相输入端电位为0的现象，是运算的现象，是运算放大器的共同特点，叫做放大器的共同特点，叫做“虚地虚地”n运算放大器的输入阻抗很高，所以流入放大器的运算放大器的输入阻抗很高，所以流入放大器的电流电流i0也近似等于也近似等于0。这个现象叫做。这个现象叫做“虚断虚断”，ir=if n运算放大器的数学模型为运算放大器的数学模型为fcirRuuRuu)()(tuRRturifc19【例例5】 试列写速度控制系统的微分方程试列写速度控制系统的微分方程 K1功放功放 K2SM减减速速箱箱负负载载测速机测速机uiuf muaR1R1R1R2R2C-+-+-2. 2. 控制

15、系统的微分方程控制系统的微分方程20（1）系统输入变量）系统输入变量ui，输出变量，输出变量 （2）绘制系统方块图）绘制系统方块图1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱uiufueu1u2ua m _21（3）列写各环节微分方程）列写各环节微分方程（a）第）第1级运放级运放111121(),/eifuKuKuuKRR （b）第）第2级运放（级运放（RC比例微分放大电路）比例微分放大电路）12212211(),/,duuKuKRRRCdt （c）功率放大器）功率放大器32auKu1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱uiufueu1u2

16、ua m _22（d）直流电动机）直流电动机)()()()(21tMKtuKtdttdTcammm（e）减速箱）减速箱ittm/)()(（f）测速机）测速机)()(tKtutf1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱uiufueu1u2ua m _23（4）消去中间变量，整理得：）消去中间变量，整理得：)()()()()(tMKtuKdttduKtdttdTccigigmmmtmtmmmKKKKKiKKKKKiTT321321tmtmgKKKKKiKKKKKK321321tmmgKKKKKiKKKKK321321tmccKKKKKiKK321其中，其中，243.线性

17、系统的性质线性系统的性质n1）定义）定义如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。n2）性质：满足叠加原理）性质：满足叠加原理叠加性叠加性齐次性齐次性25 设元件输入为设元件输入为r(t)、r1(t)、r2(t)， 对应的输出为对应的输出为c(t)、c1(t)、c2(t)如果如果 r(t)=r1(t)+r2(t)时，时，c(t)=c1(t)+c2(t) 满足满足迭加性迭加性如果如果 r(t)=ar1(t)时，时，c(t)=ac1(t) 满足满足齐次性齐次性 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件26)()()

18、()(22tutydttdydttyd例如，一个二阶模型均可以表示为例如，一个二阶模型均可以表示为)()()()(111212tutydttdydttyd),(),(2211yuyu分别满足上面的方程，即分别满足上面的方程，即)()()()(222222tutydttdydttyd),(22112211ycycucuc如果系统是线性的，那么下面的点也满足方程如果系统是线性的，那么下面的点也满足方程27)()()()(22tutydttdydttyd),(22112211ycycucuc代入下面的方程代入下面的方程)()()()()()(22112211222112tyctycdttyctycd

19、dttyctycd)()()()()()(2222222211112121tycdttdycdttydctycdttdycdttydc)()(2211tuctuc满足叠加原理和齐次性，所以是线性的满足叠加原理和齐次性，所以是线性的28n3）叠加原理的意义）叠加原理的意义对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。带来了极大的方便。叠加性表明：叠加性表明：欲求系统在几个输入信号和干扰欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。用单独求响应，然后

20、加起来就是总响应。齐次性表明齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析单位斜坡等）对系统进行分析简化了问题简化了问题294. 4. 非线性系统的线性化非线性系统的线性化n1）实际物理系统都是非线性的）实际物理系统都是非线性的n2）常见的非线性）常见的非线性000输入输出输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮）30n3）线性化方法）线性化方法非线性微分方程的求解困难，

21、一定条件下可以近似地非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以近似地转化为线性微分方程，使系统的动态特性分析大为简转化为线性微分方程，使系统的动态特性分析大为简化，有很大的实际意义。化，有很大的实际意义。方法一：忽略弱非线性环节方法一：忽略弱非线性环节 如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略方法二：偏微法方法二：偏微法(小偏差法，切线法，增量线性化法小偏差法，切线法，增量线性化法) 假设控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量假设控制系统的整个调节过程中，各

22、个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化，而这段区域和输出量只是在平衡点附近作微小变化，而这段区域是线性的。符合许多控制系统实际工作情况的。是线性的。符合许多控制系统实际工作情况的。310 xy饱和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0)32 如果如果 A(x0,y0)为平衡点，函数在平衡点处连续可为平衡点，函数在平衡点处连续可 微，则在平衡点附近展开成泰勒级数微，则在平衡点附近展开成泰勒级数 202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdyk 000()xdyyyxxdx 忽略二次以上的各项忽略二次以上的各项,得

23、到得到非线性元件的线性化非线性元件的线性化数学模型数学模型其中其中33 注意：注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析法进行分析。0继电特性0饱和特性34n【例例6】水位自动控制系统，输入量为水位自动控制系统，输入量为Q1,输出量输出量为水位为水位H，求水箱的微分方程。求水箱的微分方程。（水箱的横截面积为（水箱的横截面积为C，R表示流阻）表示流阻）阀门阀门水水H(t)H(t)Q Q1 1Q Q2 2

24、Q Q1 1单位时间进水量单位时间进水量 Q Q2 2单位时间出水量单位时间出水量 02010 QQ此时水位为此时水位为0 035解：解：dt时间中水箱内流体增加时间中水箱内流体增加(或减少或减少) CdH应与水总应与水总量量 (Q1 Q2)dt相等。即：相等。即： CdH =(Q1Q2)dt20HQR0R21ddQQtHC据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有则有其中其中为比例系数。为比例系数。36 显然上式为非线性关系，在工作点显然上式为非线性关系，在工作点(Q10,H10) 附近附近进行台劳级数展开。取一进行台劳级数展开。取一 次

25、项得：次项得：)(21000202HHRHQQ002RHR 1ddQRHtHRC为流阻。则为流阻。则水箱的线性化微分方程水箱的线性化微分方程记记)(10202HHRQQ)(1dd0201HHRQQtHC代入水箱方程得到代入水箱方程得到372-2复域数学模型：传递函数复域数学模型：传递函数n时域数学模型：微分方程时域数学模型：微分方程优点：直观，易于分析系统响应优点：直观，易于分析系统响应缺点缺点: 结构改变或者参数变化时，必须重新列写结构改变或者参数变化时，必须重新列写微分方程，不便于系统分析和设计微分方程，不便于系统分析和设计n复数域数学模型：传递函数复数域数学模型：传递函数经典控制理论中最

26、基本最重要的概念经典控制理论中最基本最重要的概念n补充内容：拉普拉斯变换（拉氏变换补充内容：拉普拉斯变换（拉氏变换）381.拉氏变换的定义拉氏变换的定义n设函数设函数f( (t t) )当当t t=0=0时有定义，而且积分时有定义，而且积分 存在，则称存在，则称F(F(s) )是是f f( (t t) )的拉普拉的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。斯变换，简称拉氏变换。nf( (t t) )称为称为F(s)F(s)的拉氏反变换的拉氏反变换 0)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()(1sFLtf39n2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换(1)求阶跃函数求阶跃函数f(t)=A1(t)的拉

27、氏变换。的拉氏变换。 单位阶跃函数单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为 。 (2)求单位脉冲函数求单位脉冲函数f(t)=(t)的拉氏变换。的拉氏变换。sAesAdtAesFstst00)(1)! 2! 111 (1)1 (111)()(220000000limlimlimlimsssesesdtedtetsFsstststs140（3）求指数函数）求指数函数 f(t)= 的拉氏变换的拉氏变换n几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换ateaseasdtedteesFtastsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s) (t)1sin t1(t)1/scos

28、t t(t)1/(s+a)21 sate)(22s)(22ssteatsinteatcos22)( as22)(asas41n3.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质 (1)线性性质线性性质 (2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有 f(0)为原函数为原函数f(t) 在在t=0时的初始值时的初始值。)()()()(2121tfbLtfaLtbftafL)()(sFtfL)0()()(fssFtfL( )12(1)( )(0)(0)(0)(nnnnnL ftsfss F sff42(3)积分性质积分性质 式中式中 为积分为积分 当当t=0时的值。时的值。对对f(t)的二重积分的拉氏变换为的二重

29、积分的拉氏变换为如果原函数如果原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于及其各重积分的初始值都等于0则则sfssFdttfL)0()()()1(dttf)() 0() 1(f)(1)(sFsdttfLnn 2( 1)2( 2)211( )1( )(0)(0)Lf t dtfsF ssfs43(4) 终值定理终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。注：若注：若 时时f(t)极限极限 不存在，则不能用不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。终值定理。(5) 初值定理：初值定理：(6) 位移

30、定理：位移定理：)(lim)(lim0ssFtfstt)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs )()(asFtfeLat实位移定理实位移定理复位移定理复位移定理44(7)时间比例尺定理时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：(8)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。乘积。 )()(asaFatfL)()()()(21021sFsFdftfLt45

31、4.拉氏反变换拉氏反变换 1) 定义：从象函数定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算的运算称为拉氏反变换称为拉氏反变换,记记 。 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。所有极点的实部。 按上式求原函数太复杂，一般用查拉氏变换表的按上式求原函数太复杂，一般用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查必须是一种能直接查到的原函数的形式。到的原函数的形式。 )(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst46 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将不能在表中直接找到原函数，则需要将F(

32、s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。氏变换在表中可以查到。例：例：例：求例：求 的逆变换。的逆变换。解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(1)(则tetsFLtfssssssF1)()(1111) 1(1)(122) 1(1)(2sssF47例.ttteetfssssFcbacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1, 1, 11)1()1()1(1)()1(1)(2222对应项系数相等得则解：的逆变换482）拉式反变换）拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法

33、n情况一情况一: F(s) 有不同极点有不同极点,这时这时,F(s) 总能展开成总能展开成如下简单的部分分式之和如下简单的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpscsF2211)(1, 2,)( )0,( )()( )iiiiisppinD sMsccspD s式 中是的 根是 常 数 ,49tttssseeetfssssFsssscsssscsssscscscscssssF3233221132110115161)(31101211511161)(101)3()3)(2)(1(1151)2()3)(2)(1(161

34、)1()3)(2)(1(1321)3)(2)(1(1)(例：50n情况2:F(s)有共轭极点teteysssssssssssFssssFttsin3cos1)2(31)2(21)2(321)2(5545)(,545)(22222222解：求拉式反变换51n情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。那么11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1p52【例例1】RC电路如图所示电路如图所示rucuRCti)()()(tutRit

35、ucrdttduCtiC)()(微分方程为：微分方程为：引例引例)()()(tutudttduRCrcc对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：11)()()(RCssususGrc( )( )( )ccrR C sususus531.传递函数定义传递函数定义n定义：定义：零初始条件下零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。表示。)()()(sRsCsG)(sG)(sR)(sC传递函数描述了系统的固有特性。只取决于传递函数描述了系统的固有特性。只

36、取决于系统系统本身的结构参数本身的结构参数，而，而与输入信号等外部因素无关。与输入信号等外部因素无关。54设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述： )()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn 式中式中c(t)是系统输出量，是系统输出量，r(t)是系统输入量，是系统输入量，ai，bj是与系统结构和参数有关的常系数是与系统结构和参数有关的常系数设设r(t)和和c(t)及其各阶及其各阶导导数在数在t = 0时的值均为零，即时的值均为零

37、，即零零初始条件初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令)()(),()(trLsRtcLsC55)()(11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn 对常微分方程求拉氏变换，得对常微分方程求拉氏变换，得)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 于是，由定义得系统传递函数为：于是，由定义得系统传递函数为：mmmmbsbsbsbsM 1110)(nnnnasasasasN 1110)(其中其中562. 传递函数的性质传递函数的性质)()()()()(11101110sNsM

38、asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm n性质性质1. 1. 传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理的有理真真分式函数，分式函数，具有复变量函数的所有性质。具有复变量函数的所有性质。传函是正则的，物理可实现的传函是正则的，物理可实现的nmnm不满足因果关系，物理上不可实现不满足因果关系，物理上不可实现57G(s) R(s) C(s)n性质性质2. 2. G(s)取决于系统或元件的结构和参数，取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。与输入量的形式（幅度与大小）无关。 G(s)只描述了输出与输入之间的关系，不反只描述了输出与输入之间的关系，不反映系统

39、内部的任何信息。因而许多不同的物理系映系统内部的任何信息。因而许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数统具有完全相同的传递函数传递函数只表示系统输入输出关系传递函数只表示系统输入输出关系)()()(sRsGsC58n 性质性质3. 3. 传递函数与微分方程之间有关系传递函数与微分方程之间有关系)()()(sRsCsG如果将如果将dtds 传递函数传递函数微分方程微分方程n 性质性质4. 4. 传递函数传递函数G(s)的的拉氏反变换拉氏反变换是脉冲响应是脉冲响应g(t) 脉冲响应（脉冲过渡函数）脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲是系统在单位脉冲输入时的输出响应输入时的输出响应1)(

40、)(tLsR)()()()()(111sGLsRsGLsCLtg微分算子微分算子注意：零初始条件！注意：零初始条件！593 传递函数的形式传递函数的形式n多项式形式多项式形式n零极点形式零极点形式n时间常数形式时间常数形式10111011( )( )( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sM sG sR sa sa sasaN s是极点是零点，)2 , 1()2 , 1()()()()()()()(210210nipmizpspspsazszszsbsNsMsGiinm是时间常数，)2 , 1()2 , 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()()()(n21nm21

41、mniTmisTsTsTasssbsNsMsGii60rucu1C2C1R2R1i2i1u【例例2】求双求双T网络的传递函数网络的传递函数61解：方法一：根据基尔霍夫定理列出微分方程组：解：方法一：根据基尔霍夫定理列出微分方程组：dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111？先解微分方程？先解微分方程 后拉氏变换后拉氏变换？先拉氏变换？先拉氏变换 后解代数方程后解代数方程62)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsusIRsususIsIsCsusIRsusu

42、CCr1)(1)()(21221122211sCRCRCRsCRCRsusurCdttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111消去中间变量，整理得到传递函数消去中间变量，整理得到传递函数63方法二：用复阻抗法方法二：用复阻抗法1)(1111111)1(11)()(21221122121222112212211sCRCRCRsCCRRsCRsCsCsCsCRsCsCRsCRsusurC2221122111111)1/(1)()(sCRsCsCSCsCRsCRsusurc64 注意：双T网络不可看成两个RC

43、网络的串联，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu265RC网络 与 单容水槽)()()(tutudttduRCrcc水水H(t)H(t)Q Q1 1Q Q2 2rucuRCti1RQHdtdHRC11)(RCssG1)(RCsRsG66iiQQ0110HH220HH110QQ220QQ1R2R1C2C2122111QQdtHdCQQdtHdCi2221211RHQRHHQ双双T网络与双容水槽网络与双容水槽6722121122121111RHRHRHdtHdCRHRHQdtHd

44、Ci)()()1()()()() 1(1122122221111sHRRsHRRsCRsHsQRsHsCRi1)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi681)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsUsUsGrc双容水槽双容水槽双双T网络网络694 典型环节的传递函数典型环节的传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合成的任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合成的1）比例环节）比例环节KsG)()()(tKrtc2）惯性环节）惯性环节11

45、)(TssG)()()(trtctcT特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡能立即复现，输出无振荡70理想微分理想微分一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分3） 微分环节微分环节kssG)(1)( ssG12)(22sssG特点：输出量正比于输入量变化的速度，能预示特点：输出量正比于输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势输入信号的变化趋势4） 积分环节积分环节ssG1)(特点：输出量与输入量的积分成正比，当输入消特点：输出量与输入量的积分成正比，当输

46、入消失，输出具有记忆功能。失，输出具有记忆功能。715） 振荡环节振荡环节1212)(22222TssTsssGnnnnT1是阻尼比，是阻尼比， 时有振荡时有振荡10n是自然振荡角频率是自然振荡角频率特点特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡能量交换，其输出出现振荡实例实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数电路的输出与输入电压间的传递函数726） 纯时间延迟环节纯时间延迟环节)()(trtcsesG)(表示延迟时间特点：特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔定的时间间隔实

47、例：实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节型就包含有延迟环节732-4 结构图结构图n1.结构图的概念和基本组成结构图的概念和基本组成将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。时方框图就变成了结构图。控制器调节阀加热水箱温度传感器温度给定值输出温度测量值干扰Gc(s)Gv(s)Gp(s)Gm(s)74(1)信号线：信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，带有箭头的直线，箭头表示

48、信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。在直线旁标记信号的时间函数或象函数。(2)方框方框(环节环节)：表示输入到：表示输入到输出单向传输间的函数关系输出单向传输间的函数关系G(s)(sR)(sC信号线方框(3)引出点引出点（分支点、测量点）（分支点、测量点）:表示信号测量或引表示信号测量或引出的位置出的位置 )(sR)(sC)(1sG)(2sG)(sP)(sP75(4)比较点比较点（合成点、综合点）（合成点、综合点） 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件 “+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略不写号可省略不写

49、 CRERC321TTTE1T2T3T注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲762 结构图的绘制结构图的绘制（1 1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示方程或传递函数，并将它们用方框表示（2 2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方框图各方块连接起来，便可得到系统的方框图系统方框图系统方框图- -也是系统数学模型的一种也是系统数学模型的一种 772221212111111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsuRsususI

50、sCsIsIsuRsususICCr从左向右列方程组从左向右列方程组【例例1】绘制双绘制双T网络的结构图网络的结构图rucu11sC21sC1R2R1i2i1u78将上页方程改写如下相乘的形式：)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuCCr79绘图：ur(s)为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)这个例子不是由微分方程组这个例子不是由微分方程组代数方程代数方程组组结构图，而是直接列写结构图，而是直接列写s域中的代

51、数方域中的代数方程，画出了结构图。程，画出了结构图。80若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2)rucu1C2C1R2R1I2II从右到左列方程：从右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc81 这个结构与前一个不一样，选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI绘图绘图1)(1)()()(21221122121sCRC

52、RCRsCCRRsususGrc82【例例2】 试列写速度控制系统的结构图试列写速度控制系统的结构图 K1功放功放 K2SM减减速速负负载载测速机测速机uiuf muaR1R1R1R2R2C-+-+-1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱ui_ ufueu1u2ua m 原理图原理图方框图方框图83G1(s)G2(s)G3(s)Gm(s)Gb(s)Gf(s)Ui_ UfUeU1U2UaW WmW W1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱测速箱测速箱ui- ufueu1u2ua m 方框图方框图结构图结构图84各环节传递函数各环节传递函数（a）第）

53、第1级运放级运放111121(),/eifuKuKuuKRR 111( )( )( )eU sG sKUs K1功放功放 K2SM减减速速负负载载测速机测速机uiuf muaR1R1R1R2R2C-+-+-85各环节传递函数各环节传递函数（b）第）第2级运放（级运放（RC比例微分放大电路）比例微分放大电路）1221221(),/,duuKuKRRRCdt 22221( )( )( )UsG sKsKU s K1功放功放 K2SM减减速速负负载载测速机测速机uiuf muaR1R1R1R2R2C-+-+-86（c）功率放大器）功率放大器32auKu232( )( )( )aUsG sKUs（d）

54、直流电动机）直流电动机)()()()(43tMKtuKtdttdTcammm2( )( )0,( )( )1mmamsKMc sG sUsT sW令 K1功放功放 K2SM减减速速负负载载测速机测速机uiuf muaR1R1R1R2R2C-+-+-87（e）减速箱）减速箱ittm/)()( )1( )( )bmsG ssiWW（f）测速机）测速机)()(tKtutf( )( )( )fftUsGsKsW K1功放功放 K2SM减减速速负负载载测速机测速机uiuf muaR1R1R1R2R2C-+-+-88K1K2+ sK3Gm(s)1/iKtUiUfUeU1U2UaW WmW W11mKTs

55、G1(s)G2(s)G3(s)Gm(s)Gb(s)Gf(s)UiufUeU1U2UaW WmW W893. 结构图的简化等效变换结构图的简化等效变换结构图简化：对方块图进行等效变换，得到等结构图简化：对方块图进行等效变换，得到等效传递函数效传递函数等效变换原则等效变换原则：变换前后各变量之间的传递函：变换前后各变量之间的传递函数保持不变数保持不变方框的三种基本连接方式：串联、并联和反馈方框的三种基本连接方式：串联、并联和反馈答疑地点：答疑地点：基础实验楼基础实验楼B31890R R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sGR R( (

56、s s) )G G( (s s) )C C( (s s) )（b b）（1）串联连接 等效变换特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量?)(sG91)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(321123231212211sGsGsGsRsCsGsRsGsGsGsUsGsCsRsGsGsUsGsUsRsGsUR R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sG结论：结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积

57、的乘积niisGsG1)()(n为相串联的环节数 92（a a）R R( (s s) )C C( (s s) )(2sG)(1sG)(3sG)(2sC)(1sC)(3sCG G( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )特点：特点：各环节的输入信号是相同的，均为各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输，输出出C(s)为各环节的输出之和，所以为各环节的输出之和，所以（2 2）并联连接）并联连接)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC93)()()()()()(321sGsG

58、sGsRsCsG)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()(1sGsGniin为相并联的环节数，当然还有“-”的情况 结论：结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的节传递函数的代数和代数和94（a a）C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)H(s)E E( (s s) )B B( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )（3 3）反馈连接）反馈连接比较点的比较点的“-”表示负反馈，表示负反馈，“”表示正

59、反馈表示正反馈)()()()()()()(sCsHsRsGsEsGsC)()()()()(1 sRsGsCsHsG( )( )( )( )1( )( )1C sG ssR sG s H s前向通道传递函数开环传递函数95有关移动中，有关移动中，“前前”、“后后”的定义：按的定义：按信号流向信号流向定义定义，也即信号从，也即信号从“前面前面”流向流向“后面后面”，而不是，而不是位置上的前后位置上的前后（4）比较点和分支点（引出点）的移动）比较点和分支点（引出点）的移动C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比较较点点前前移移G(s)C C( (s s)

60、)R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )Q sC sR s G sQ sR sG sG s96 比比较较点点后后移移C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )()()()()()()()(sGsQsGsRsGsQsRsC97R R( (s s) )分分支支点点（引引出出点点）前前移移G(s)C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s