第九章导体电介质2007

1、第九章 导体和电介质电荷激发电场，静止电荷激发静电场。静电场用电场强度和电势描述，电荷分布决定电场分布情况，电场也影响电荷分布。本章讨论导体和电介质的静电特性。导体中存在大量自由电荷，在电场的作用下能产生电流，使电荷分布发生变化，进而使电场发生改变。电介质中几乎没有自由电荷，但在外电场作用下介质分子内电荷能在很小范围内重新分布，使电场发生改变。本章内容提要1 导体静电平衡条件2 静电屏蔽3 电位移矢量 4 介质中的高斯定理5 电容器的电容6 电容器的串并联接7 电场的能量、能量密度 作业：§ 9-1 静电场中的导体下图为一电中性的导体板在外电场的作用下，导体中的自由电荷重新分布的过程

2、静电感应-在外电场的作用下，引起导体中的电荷重新分布而呈现出的带电现象。一 导体静电平衡条件 (a) 原来的电场 (b) 放入导体球后的电场图9-2 均匀电场中的导体球1.导体静电平衡是指：导体内部、表面都没有电荷作定向运动。导体静电平衡条件：导体内部场强处处为零。2. 静电平衡导体的几点基本性质1) 导体是一个等势体，表面是一个等势面。2）导体表面的场强与表面垂直。 3）静电平衡实心导体所带电荷只能分布在导体表面，导体内各处的净电荷为零。 4）静电平衡导体表面附近的电场强度的大小与该点附近表面电荷面密度的关系为： () 图9-3 导体表面附近的电场 E不是由该点附近的表面电荷产生，它是在场所

3、有电荷的合贡献。5）孤立导体的电荷面密度与导体表面曲率成正比。 若没有其它电场的影响，导体上曲率越大的地方电荷面密度也越大。例9.1 有两块面积较大的导体薄板平行放置，它们的面积均为S，距离为d (见图)。若给a板电荷Qa，b板电荷Qb， (1) 求导体板四个表面的电荷分布、空间的场强分布及两板之间的电势差；(2) 若将b板接地，再求电荷分布、场强分布及两板的电势差。 解 (1) 不考虑边缘效应，静电平衡时电荷将分布在导体板的表面上形成四个均匀带电平面，设电荷面密度分别为、。由电荷守恒定律可知 (1) (2)由静电平衡条件，导体板内的A点和B点的场强为零。先分析A点的场强:A点的场强由四个均匀

4、带电平面场强迭加，向右为正，则: 在A点的场强可记作 ， 在A点的场强可记作 ，依次类推，A点的合场强可表示为 ，故有: (3)同理，B点场强为 (4)联立以上四式可得 ，两板左边的场强两板之间的场强 两板右边的场强 可验证上述三个区间的场强与附近导体表面电荷密度的关系均满足 两板之间的电势差 (2) 若将B板接地可认为是一个延伸到无穷远处的导体，若以无穷远处作为电势零点，则地面和接地的导体电势均为零。此时B板右表面的电荷应为零, 即 否则将有电场线由B板向右延伸到无穷远处，按电场线电势降落的结论，意味B板电势与无穷远的电势不同，这显然不符合等势条件。此时问题(1)中的(2)式由于B板和地面交

5、换电荷已经不成立了，而(1)、(3)、(4)式仍成立。注意到已有，可解得 ，即电荷分布集中于两导体板的内侧(一个典型的平板电容器的电荷分布)。进而可求出三个区域此时的场强为 ，两板间的电势差为 -二 空腔导体 静电屏蔽空腔导体导体内有空腔，称之为空腔导体。1.空腔内没有带电体 设空腔导体带电，在导体内外两个表面，其电荷怎样分布？结论：外表面带电，内表面没有电荷分布。 (1) 空腔外电荷对空腔内无影响 证明:在导体中作一闭合曲面S包围空腔，由高斯定理可知，由于曲面S上的场强为零故电场通量为零，所以S内的净电荷为零。由于空腔内没有电荷，这表明空腔内表面的净电荷也为零。问题在于是否可能在内表面上存在

6、等值异号的电荷分布而在空腔内形成电场？如果真是这样，正电荷将发出电场线，由于导体内场强为零，这意味着电场线不能穿过导体而只能终止于同样位于空腔内表面的负电荷上，这将违背导体的等势条件，所以空腔内表面也不能有电荷分布。2.空腔内有带电体设空腔导体带电，空腔内带电体带电，在导体内外两个表面，其电荷怎样分布？结论：外表面带电，内表面带电 证明:在导体中作一闭合曲面包围空腔，由高斯定理可知，曲面内的净电荷为零，即空腔内表面的感应电荷应与空腔内部的电荷等值异号，即为。按电荷守恒定律，空腔外表面要出现感应电荷，并在空腔外产生一个电场。把导体球接地，见图 (b)，这时外表面的感应电荷被中合，导体电势为零。同

7、于空腔外没有电荷分布，所以也没有电场，可见一个接地的导体空腔能屏蔽空腔内电荷对外部的影响。3.静电屏蔽静电屏蔽研究当空腔内外带电情况发生变化时，空腔内外的电场是否互相影响的问题。 (3)导体空腔屏蔽了内外电荷相互影响1）外部电荷会不会影响内部电场？结论是：不会影响。外部电荷和外表面电荷在空腔内合场强为零。空腔内的电场只由空腔内的电荷和内表面电荷决定。可以理解为：电场线终止于导体表面，或发出于导体表面，没有电场线穿过导体进入空腔。2）内部电荷会不会影响外部电场？结论是：一般会有影响。内部电荷和内表面电荷在空腔外部产生的合场强为零。而外表面电荷要影响外部电场。当把外壳接地时，外表面感应电荷被中和空

8、腔外没有电场，这样就把内部带电体对外部的影响全部隔绝了。结论：一个接地的空腔导体可以隔离内外电场的影响，这是静电屏蔽原理。按静电屏蔽的结论，如果把空腔中的点电荷移到球心，则空腔内表面的电荷会均匀分布，空腔内的电场会是一个对称的点电荷电场而不会受到空腔外电荷的非对称性的影响。如果空腔内电荷不在球心并把空腔外的点电荷移到远处，则空腔外表面的电荷会均匀分布，空腔外电场将是一个均匀带电球面的电场而不会受到空腔内电荷的非对称性的影响。-例9.2一半径为R1的导体球带有电量q，球外有一内、外半径分别为R2和R3的同心导体球壳带电为Q，(1)求导体球和和球壳的电势；(2)若用导线连接球和球壳，再求它们的电势

9、；(3) 若不是连接而是使外球接地，再求它们的电势。 解 (1) 由静电平衡条件可知电荷只分布于导体表面。在球壳中作一闭合曲面可求得球壳内表面感应电荷为。由电荷守恒，球壳外表面电量为。由于球和球壳同心放置，满足球对称性，故电荷均匀分布形成三个均匀带电球面（见图a）。用电势迭加原理可直接求出:导体球的电势为 导体球壳的电势为 若用导线连接球和球壳，球上电荷q和球壳内表面电荷中合，电荷只分布于球壳外表面（见图b）。此时球和球壳的电势相等，为 若使球壳接地，球壳外表面电荷被中合，这时只有球和球壳的内表面带电(见图c)，此时球壳电势为零 球的电势 此题也可以先求出空间的场强分布，再用电势的定义 用场强

10、积分求出电势。-例9.3一半径为R的导体球原来不带电，在球外距球心为d处放一点电荷，求1) 球电势。2) 若将球接地，求其上的感应电荷。 解 由于导体球是一个等势体，故只要求得球内任一点的电势，即为球的电势。此球心的电势可以用电势迭加原理求出，它等于点电荷在球心提供的电势与导体球在球心提供的电势的代数和。若导体球上的总电量为Q，由于Q只分布在球表面，故它在球心提供的电势为球面上各微元电荷在球心提供的微元电势的积分。因球上原来不带电即总电量Q = 0，故导体球在球心提供的电势为零，只有点电荷在球心提供电势 若将导体球接地，则导体球总电量Q不再为零，而球心处电势应为零，即有 可解得 - §

11、; 9-2 电介质 介质中的高斯定理只讨论均匀的、各向同性的电介质。各向同性：它要求介质沿不同方向极化时，同一点的相对介电常量相同。均匀：指不同的点相同。一 介质的极化1.电介质分类电介质分两类:由无极分子构成的电介质和有极分子构成的电介质。无极分子分子的正、负电荷中心在无外场时是重合的。 例如：甲烷 2）有极分子分子的正、负电荷中心在无外场时也不重合的。例如：水 分子由等量的正负电荷构成，可以近似把分子中的正、负电荷作为两个点电荷处理，称为等效电荷，等效电荷的位置称为电荷中心。若分子的正、负电荷中心不重合，则等效电荷形成一个电偶极子，其电偶极矩称为分子的固有电矩，这种分子叫有极分子, 如HC

12、l分子。若分子的正、负电荷中心重合，则分子的电偶极矩为零，这种分子叫无极分子。如H2、O2、N2、CO2分子。2.两种材料的极化1）有极分子介质的取向极化在外电场中，有极分子受力矩转向外场方向，在垂直外场的表面产生束缚电荷（只是在表面，），在介质内产生附加电场，反抗原场，但<< ，介质内有电场。2）无极分子介质的位移极化在外电场中，无极分子正负电荷中心受力不再重合，等效为一个电偶极子，在垂直于外场的表面产生束缚电荷（只是在表面，），在介质内产生附加电场，反抗原场，但<< ，介质内有电场。两种极化宏观结果相同，宏观上可不区分。讨论：1）对于均匀电介质，极化电荷只出现在介质

13、的表面，即极化电荷体密度处处为零。 2）极化电荷和导体中自由电荷不同，它们不能离开电介质转移到其它物体上，总是正、负电荷成双的束缚在一起。二 介质中的电场1.实验证明，若自由电荷的分布不变，当介质均匀地充满电场后，介质中任一点的电场强度E为原来真空中的电场强度的分之一，即 (9-2)其中为介质的相对介电常量，取决于介质的电学性质。注意：1) (9-2)式成立的条件是介质均匀地充满电场何为介质均匀地充满电场，举例来说，对于平板电容器，只需要一种各向同性的均匀介质充满两板之间就够了；而对于点电荷，原则上要充满到无穷远的地方。2) 对于“真空”，对于空气，近似有，对其它介质，。由此推之：均充条件下介

14、质中的电学规律与真空时的电学规律形式上完全相同，但式中的应改为，。如：介质中的点电荷电场 2. 极化电荷的计算电介质中的电场是由自由电荷的电场与介质中的极化电荷激发的附加电场迭加而形成的。在介质均匀地充满电场条件下，通过真空中的电场和介质中的电场的比较，由自由电荷分布推算出极化电荷的分布。 以点电荷为例，真空中的点电荷在其周围空间任一点p激发的电场为 充满介质以后，点电荷本身激发的场强不因极化电荷的出现而改变。极化电荷分布在介质表面上，即介质与点电荷交界面上。这是一个很小的范围，极化电荷也是一个点电荷，设其电量为，它在p点激发的电场应为 介质中的场强是与迭加结果 又由(9-2)式可知，介质中点

15、电荷电场中的合场强为真空中场强的，故有 (9-3)比较这两式即可得到 (9-4)上式表示自由电荷和束缚电荷的总和等于自由电荷的。于是我们可解得点电荷周围的极化电荷电量 (9-5)由于，故极化电荷与自由电荷反号。对于其它的电荷分布，只要是在介质均匀地充满电场的条件下，均可如此分析。介质中的点电荷电场(9-3)式为 (9-6)与点电荷在真空中的场强比较，公式形式不变，唯一的变化是把换成了。由于在所有的场强公式中，真空中的介电常量均在分母中，故在介质均匀地充满电场时，场强公式的形式都不会变，但必须把换作。介质中的场强比真空中要小，这是由于极化电荷的场强影响的结果，但极化电荷在式子中并未出现，它们影响

16、已包含在之中。三 介质中的高斯定理1.下面通过上述特殊情况来推导介质中的高斯定理真空中静电场的高斯定理 当电场中有介质时，它应当是自由电荷与极化电荷的总和即，于是高斯定理可记作 极化电荷一般情况下是一个未知量，不方便，设法把它用自由电荷来表示。介质均匀地充满电场时，极化电荷出现在自由电荷旁，有，代入高斯定理有 若电场E中只有一种介质，于是有 定义： (9-7) -电位移矢量即在电场中的任意一点，电位移矢量等于该点介质的介电常数与电场强度E之积。于是高斯定理表示为 (9-8)介质中的高斯定理（简称D高斯定理）表明：电场中通过任一闭合曲面的D通量等于闭合曲面围住的净自由电荷。可以证明，介质中的高斯

17、定理对任意电荷分布和任意介质分布都成立。若介质就是“真空”，此时 介质中的高斯定理(9-8)式还原为真空中的高斯定理形式 2.E线和D线的比较电位移矢量D在电场空间构成一个矢量场，其矢量线称为电位移线，简称D线。 D线的方向表示D的方向，D线的数密度表示D的大小。D的通量称为D通量，表示通过曲面S的D线条数 。D高斯定理表示，在闭合面S上的D通量等于曲面S内自由电荷的代数和即净自由电荷。D高斯定理的物理意义是D线发自于正的自由电荷，终止于负自由电荷。这与电场线即E线不同，E线始于正电荷，终于负电荷而无论这种电荷是自由的还是束缚的。D线的起点和终点与极化电荷无关，但不能认为D与极化电荷无关。场强

18、E是由自由电荷和极化电荷共同产生的，故E与极化电荷的分布相关，故由E定义的D亦与极化电荷的分布相关。下图是在一个均匀电场中放入一个介质球前后的E线和D线的分布情况，极化电荷对电场的影响，特别是对E和D方向的影响是十分明显的。图9-14 均匀电场中放入介质球前后的E线和D线电位移矢量的单位是c/m2即库伦每平方米，与电荷面密度的单位相同。四 介质中高斯定理的应用电场中有介质时，一般不宜用迭加原理求场强E和电势V，否则必须要考虑极化电荷单独产生的场强和电势。常用方法：在一定的对称条件下，用D高斯定理求出D，由得到E，进而用求出V。-例9.4 若导体外有介质，求证，导体表面附近的电位移矢量与导体表面

19、电荷面密度的关系为。 证明 如图9-15所示在导体表面附近作一底面为的闭合柱面S，其侧面与导体表面垂直。按D高斯定理，柱面上的D通量 由于在导体内故，所以柱的下底没有D通量。由于导体表面是等势面，表面附近E与表面垂直，故D也与表面垂直。所以柱的侧面也没有D通量。只有柱面上底面有D通量。所以有得到 (9-9)故命题得证，同时还有若为正电荷，D和E垂直于导体表面指向导体外，否则垂直于表面指向导体内。若介质为空气，则回到原来的导体表面附近场强与电荷面密度的关系 -例9.5半径为r1的导体球带电为，球外有一层内径为r1外径为r2的各向同性均匀介质，介电常量为，见图。求介质中和空气中的场强分布和电势分布

20、。解 由于导体和介质都满足球对称性，故自由电荷和极化电荷分布也满足球对称性，因而电场的E和D分布也具有球对称性，即其方向沿径向发散，且在以O为中心的同一球面上D、E的大小相同。如图在介质中作一半径为r的球面S1，按D高斯定理 有故 所以介质中的场强 (方向沿径向发散)同理在介质外作一球面S2，则仍然有 故介质外的场强 (方向沿径向发散)介质中距球心为r的一点的电势为 空气中距球心为r的一点的电势为 -§ 9-3 电容器 电容器:两个相互绝的导体就构成一个电容器（下图）： 导体A,B称为电容器的两个极板, 两极间的电压U与电量Q成正比 上式中的比例常数 定义: C为电容器的电容。它取决

21、于两导体形状，大小，相对位置和导体周围电介质的性质。一 常见电容器平板电容器 由D高斯定理可求得两板间的电位移矢量 两板间的电场强度为 (方向由A板指向B板)其中: 为介质的介电常量两板间的电压为 故平板电容器的电容为 为介质的电容率，为真空的电容率。2、圆柱形电容器由D高斯定理可求得两筒之间距离轴线为r的p点的电位移矢量 进而求出电场强度场强方向沿半径方向由A筒指向B筒。将场强沿径向积分可得到两筒间的电压 故圆柱形电容器的电容 (9-13)单位长度上的电容为 3、球形电容器 通过D高斯定理可求得两球之间距离球心为r的p点的的场强方向沿半径方向。两球之间的电压 故球形电容器的电容为一个孤立的导

22、体球可当作是球形电容器的一种特殊情况，即，此时B球上的电荷将均匀地分布在一个无穷大的球面上，实际上可以认为该电荷分布忽略不计。B球在无穷远处电势为零，A、B球之间的电压就是A球的电势。设介质为空气，则A球电势为 (9-14)其中R即A球半径，孤立导体球的电容为 (9-15)显然，此式也可由(9-14)式直接取而来。二 电容的联接1、并联电容器 充电以后，每个电容器两个极板间的电压相等为U，有U是电容器组的电压。电容器组所带总电量为所以电容器组的等效电容为由于为每个电容器的电容，所以有 (9-16)即并联电容器的等效电容等于每个电容器电容之和。2 串联电容器 充电后，由于静电感应，每个电容器都带

23、上等量异号的电荷和，这也是电容器组所带电量，故有电容器组上的总电压为各电容器的电压之和为了方便，我们计算等效电容的倒数即有(9-17)表示: 串联电容器的电容的倒数等于各电容器电容的倒数之和。 例9.6平行板电容器两板面积均为S。在两板间平行地重迭地放置两块面积也是S，厚度分别为d1和d2，介电常量分别为和的介质板，见下图，求电容器的电容。 解： 设两个极板A、B分别带电和，面电荷密度。忽略边缘效应，两种介质中分别出现均匀电场，场强E和电位移矢量D均垂直于平板向下。如图作两个底面积分别为S1和S2的柱形高斯面S1和S2，两底与平板平行，侧面与平板垂直。由于它们的上底在导体板内，E=0，D=0，所以D通量为零。侧面与D线平行，所以D通量也为零，所以只有下底有D通量。注意下底分别在两种介质中，由D高斯定理有得到即此时两种介质中的D是相等的，此结果也可以引用例9.4的结论直接给出。两种介质中的场强 两板之间的电压所以电容器的电容为或记作可见当平板电容器中平行的重迭放置两种介质时，其电容相当于两个平板电容器的串联。这两个电容器的板面积仍为S，板距分别为d1和d2，其中介质的介电常量分别为和。 § 9-4