第二章：地基中的应力计算

1、基本内容：基本内容： 掌握土中三种应力（掌握土中三种应力（自重应力、基底压力自重应力、基底压力以及各种荷载条件下的土中以及各种荷载条件下的土中附加应力附加应力）计算方法。）计算方法。学习基本要求学习基本要求 掌握土中自重应力计算；掌握土中自重应力计算； 掌握基底压力和基底附加压力的计算；掌握基底压力和基底附加压力的计算； 掌握掌握矩形矩形面积均布荷载、面积均布荷载、 矩形面积三角形分布荷载以及矩形面积三角形分布荷载以及条形条形荷载等荷载等条件下的土中竖向附加应力计算方法；条件下的土中竖向附加应力计算方法；地基中的应力计算地基中的应力计算第二章第二章 2.1 土体自重应力的计算土体自重应力的计算

2、 2.2 基底压力的计算基底压力的计算 2.3 竖向荷载作用下地基附加应力计算竖向荷载作用下地基附加应力计算 假设地表面是无限延伸的水平面，在深度假设地表面是无限延伸的水平面，在深度z z处处水平面水平面上各点的自重应力相等且均匀地无限分布，任何竖直面和上各点的自重应力相等且均匀地无限分布，任何竖直面和水平面上均无剪力存在，故水平面上均无剪力存在，故地基中任意深度地基中任意深度z z处的竖向自处的竖向自重应力就等于单位面积上的土柱重量。重应力就等于单位面积上的土柱重量。 2.1 2.1 土体自重应力的计算土体自重应力的计算一、竖向自重应力一、竖向自重应力天然地面cz cx cy 11zzcz

3、zcz cz= z 土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱的有效重量，土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱的有效重量，若若z z深度内的土层为均质土，天然重度不发生变化，则深度内的土层为均质土，天然重度不发生变化，则zcz 天然地面天然地面z1z2z33 2 1 水位面水位面1 z1 1 z1 + 2z2 1 z1 + 2z2 + 3z3 说明：1.1.地下水位以上土层地下水位以上土层采用天然重度，地下采用天然重度，地下水位以下土层考虑浮水位以下土层考虑浮力作用采用浮重度。力作用采用浮重度。2.2.在地下水位以下，在地下水位以下，埋藏有不透水层时，埋藏有不透水层时，不透水

4、层层面及以下不透水层层面及以下的自重应力等于上覆的自重应力等于上覆土和水的总重。土和水的总重。1 1221.ncznnizzzzi i当地基由多个不同重度的土层（成层土）组成时：当地基由多个不同重度的土层（成层土）组成时：czcycxK0cz cx cy 静止侧压力系数因土静止侧压力系数因土的种类、重度不同而的种类、重度不同而不同。由实验测定不同。由实验测定天然地面天然地面z二、二、水平自重应力水平自重应力土在自重作用下土在自重作用下 不仅产生竖向自重应力，同时也产生水平自重不仅产生竖向自重应力，同时也产生水平自重应力。其水平自重应力的数值大小是随着竖向自重应力应力。其水平自重应力的数值大小是

5、随着竖向自重应力 变化而变化而变化。变化。1nczizi i 自然界中的天然自然界中的天然土层，一般形成至土层，一般形成至今已有很长的地质今已有很长的地质年代，它在自重作年代，它在自重作用下的变形早巳稳用下的变形早巳稳定。但对于近期沉定。但对于近期沉积或堆积的土层，积或堆积的土层，应考虑它在自重应应考虑它在自重应力作用下的变形。力作用下的变形。地下水位下降浮力地下水位下降浮力消失自重应力增加消失自重应力增加该自重应力相当于该自重应力相当于大面积附加均布荷大面积附加均布荷载能引起下部土体载能引起下部土体产生新的变形，属产生新的变形，属于附加应力。于附加应力。地下水位升降对自重应力的影响地下水位升

6、降对自重应力的影响（a)a)地下水位下降；（地下水位下降；（b)b)地下水位上升地下水位上升三、地下水位变化对自重应力的影响三、地下水位变化对自重应力的影响例例2-1：某地基土层剖面如图所示，试计算各土层自重应力分布图。：某地基土层剖面如图所示，试计算各土层自重应力分布图。【解】 211czmkN857=50715=z=/ /. . . .填土层底填土层底22211czmkN7516=50817+857=z+z=/ /. . . . .地下水位处地下水位处()2332211czmkN41.05=310118+7516=z+z+z=/ /. . .粉粉质质黏黏土土层层底底 2cz11223344

7、zzzz41.0516.710787.95kN /m 淤淤泥泥底底()()243w44332211czmkN187.95=7+310+87.95=z+z+z+z+z+z=/ /不透水层层面不透水层层面mkN266.35=419.6+95187=cz/ /. .钻钻孔孔底底 kN/m2 7.85 16.75 41.05 87.95 187.95 266.35 2.2 2.2 基底压力的计算基底压力的计算基底压力基底压力：建筑荷载通过基础：建筑荷载通过基础传给地基，基础底面传给地基传给地基，基础底面传给地基表面的压应力。表面的压应力。基底附加压力基底附加压力基底压力基底压力分布规律分布规律基底压力

8、基底压力简化计算简化计算 地基反力地基反力：地基支撑基础：地基支撑基础的反力。的反力。 大小相等、大小相等、方向相反的方向相反的作用力与作用力与反作用力反作用力建筑物荷载建筑物荷载 基础基础 地基地基在地基与基础的在地基与基础的接触面上产接触面上产生压力生压力一、基底压力的分布规律一、基底压力的分布规律（2 2）接触压力）接触压力的大小影响因素的大小影响因素地基和基础的刚度地基和基础的刚度荷载大小荷载大小基础埋深基础埋深1、（、（1）基底接触压力的产生）基底接触压力的产生（1 1）绝对柔性基础，基础刚度）绝对柔性基础，基础刚度EIEI0 0，对地基变形没有抵抗，对地基变形没有抵抗能力。地基与基

9、础二者变形协调一致，因此基底压力分能力。地基与基础二者变形协调一致，因此基底压力分布与作用在基础上的荷载完全一致。布与作用在基础上的荷载完全一致。2 2、 基底压力分布形式基底压力分布形式（2 2）绝对刚性基础，基础刚度较大）绝对刚性基础，基础刚度较大EIEI， 在荷载作用在荷载作用下只能平面下沉，而不能弯曲。下只能平面下沉，而不能弯曲。（3 3）有限刚度基础，基础刚度较大但不是绝对刚性，）有限刚度基础，基础刚度较大但不是绝对刚性， 可可以稍微弯曲。在荷载作用下基底压力分布出现马鞍形、抛以稍微弯曲。在荷载作用下基底压力分布出现马鞍形、抛物线形、钟形等。物线形、钟形等。AG+F=PkkkAL b

10、式中：式中： F Fk k 相应于荷载效应标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖相应于荷载效应标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力向力( (kNkN) )； G Gk k 基础及其上回填土重标准值基础及其上回填土重标准值( (kNkN) )； G Gk k= G GAdAd , ,其中其中 G G 为基为基础及回填土之平均重度，一般取础及回填土之平均重度，一般取20kN/m20kN/m3 3， 但在地下水位以下部分应但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取扣去浮力，即取10kN/m10kN/m3 3； d d 基础埋深，必须从设计地基础埋深，必须从设计地 面或面或室内外平均设计地面室内外平均设计

11、地面算起算起(m)(m)； A A 基底面积基底面积(m (m 2 2) )，对矩形基础对矩形基础A Alblb，l l和和b b分别为其长分别为其长 和宽和宽 。对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，取单位长度进行基底平均压对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，取单位长度进行基底平均压力设计值力设计值p(kPap(kPa) )计算，计算，A A改为改为b(m)b(m)，而，而F F及及G G则为基础截面内的相应值则为基础截面内的相应值( (kN/mkN/m) )。1. 1. 轴心荷载下的基底压力轴心荷载下的基底压力二二 、基底压力的简化计算、基底压力的简化计算2 2偏心荷载作用下的基底压力偏

12、心荷载作用下的基底压力 WMlbG+F=ppkkkkkmmi in nmma ax x) )( (mmi in nmma ax xle61lbG+F=ppkkkk6bl=W2eG+F=Mkkk) )( (ab3G+F2=pkkk) )( (maxmaxe2l=aeL/6, eL/6, 应力重新分布应力重新分布kkkG+FM=ee eL/6, L/6, 基底压力三角形分布基底压力三角形分布e eL/6, L/6, 基底压力呈梯形分布基底压力呈梯形分布1、求出作用于基础上的Fk， Gk，Mk；2、求偏心矩e= Mk/ (Fk +Gk)；3、比较e与l/6的大小；4、当e l/6时： 当 e l/6

13、时：WMlbG+F=ppkkkkkminminmaxmax偏心荷载作用下的基底压力求解过程：偏心荷载作用下的基底压力求解过程：ab3G+F2=pkkk) )( (maxmaxe2l=aminmin0Pczk0P=P一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下的变形一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下的变形早已结束。因此，只有基底附加压力才能引起地基的附加应早已结束。因此，只有基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形。力和变形。maxmax0PmaxmaxkPminminkP=cz-轴心荷载时：轴心荷载时：偏心荷载时：偏心荷载时：三、三、 基底附加压力基底附加压力附加压力附加压力由于修造

14、建筑物，在地基由于修造建筑物，在地基中增加的压力。中增加的压力。例2-2 :某基础底面尺寸l=3m，b=2m，基础顶面作用轴心力Fk=450kN，弯矩M=150kN.m,基础埋深d=1.2m，试计算基底压力并绘出分布图。kGGAd20 3 2 1.2144kN 础础基基自自重重及及基基上上回回填填土土重重1500.253 ,450 1446kkkMlem eFG偏偏心心矩矩()()kPa9481149=325306132144+450=le61blG+F=ppkk. . . .minminmaxmax基底压力基底压力例例2-32-3：某轴心受压基础底面尺寸：某轴心受压基础底面尺寸l=b=2ml

15、=b=2m，基础顶面作用，基础顶面作用F Fk k=450kN=450kN，基础埋深，基础埋深d=1.5md=1.5m，已知地质剖面第一层为杂填，已知地质剖面第一层为杂填土，厚土，厚0.5m0.5m, ,1 1=16.8kN/m=16.8kN/m3 3；以下为黏土，；以下为黏土，2 2=18.5kN/m=18.5kN/m3 3，试计算基底压力和基底附加应力。试计算基底压力和基底附加应力。基础自重及基础上回填土重基础自重及基础上回填土重kNAdGGk1205 . 12220【解】 5kPa142=22120+450=AG+F=pKKk. .基基底底压压力力26.9kPa=1.018.5+0.51

16、6.8=z+z=2211cz基底处土自重应力基底处土自重应力6kPa115=9265142=p=pczk0. . . . 基底附加应力基底附加应力定义：定义： 地基附加应力是由新增加建筑物荷载在地基中产生地基附加应力是由新增加建筑物荷载在地基中产生的应力。是引起地基变形和破坏的主要原因。的应力。是引起地基变形和破坏的主要原因。 2.3 2.3 竖向荷载作用下地基竖向荷载作用下地基 附加应力计算附加应力计算基本概念基本概念附加应力分布特点附加应力分布特点 ：2 2、在任意深度同一水平面上附加应力不等，中心线上附加、在任意深度同一水平面上附加应力不等，中心线上附加加应力最大，向两侧逐渐减小，但扩散

17、的范围越来越广。加应力最大，向两侧逐渐减小，但扩散的范围越来越广。 1、附加应力随地基土深度增加、附加应力随地基土深度增加 其数值逐渐减小其数值逐渐减小。 35232zP zPKRzxyPyzxrRM(x,y,z,)q qddxddyddzdtdtxydtdtxzdtdtyxdtdtzxdtdtyzdtdtzy22rxy 22zrRzWO一、一、竖向集中力作用下地基附加应力计算竖向集中力作用下地基附加应力计算 建筑荷载主要以竖向荷载为主，故只考虑竖向应力。建筑荷载主要以竖向荷载为主，故只考虑竖向应力。集中荷载产生的竖向附加应力存在着如下规律：集中荷载产生的竖向附加应力存在着如下规律：1. 1.

18、在集中力在集中力P P的作用线上的作用线上, , 沿沿P P作用线上的分布随深度增加而递减。作用线上的分布随深度增加而递减。2.2.在在r0r0的竖直线上，的竖直线上， 从零逐渐增大，至一定深度后又随着从零逐渐增大，至一定深度后又随着z z 的增加而逐渐变小。的增加而逐渐变小。3.3.在在z z为常数的水平面上，为常数的水平面上， 随着深度随着深度z z的增加，集中力作用线上的的增加，集中力作用线上的 减小，随减小，随r r的增加也逐渐减小。的增加也逐渐减小。若在空间将若在空间将 相同的点连成曲面，就可以得到相同的点连成曲面，就可以得到 的等值线，其空间曲面的等值线，其空间曲面的性状如同泡状，

19、所以也称为应力泡。的性状如同泡状，所以也称为应力泡。zzzzzzz 的分布 的等值线叠加原理叠加原理 由两个集中力共同作用时，地基附加压力扩散产生叠加现象，由两个集中力共同作用时，地基附加压力扩散产生叠加现象，如下图。如下图。P1zP2ab两个集中力作用下两个集中力作用下z的叠加的叠加由此可见，相邻荷载距离过近相互之间压力扩散叠加使附加由此可见，相邻荷载距离过近相互之间压力扩散叠加使附加压力增加，并重新分布，从而引起相邻建筑产生附加沉降。压力增加，并重新分布，从而引起相邻建筑产生附加沉降。c对于矩形基础，基底压力可视为矩形荷载面。在矩形面积对于矩形基础，基底压力可视为矩形荷载面。在矩形面积(

20、(l lb b) )上作用均布荷载上作用均布荷载p p，计算地基内各点的竖向附加应力计算地基内各点的竖向附加应力z z值，应先值，应先求出矩形角点下的附加应力，再根据角点法求任意点的附加应力。求出矩形角点下的附加应力，再根据角点法求任意点的附加应力。二二 、 竖向矩形均布荷载下地基附加应力竖向矩形均布荷载下地基附加应力 1 1、矩形均布荷载角点下地基附加应力、矩形均布荷载角点下地基附加应力 矩形均布荷载角点下的矩形均布荷载角点下的竖向附加应力分布系数，可竖向附加应力分布系数，可根据根据l/bl/b及及z/bz/b查表查表2-22-2得到。得到。KcpKczP均布荷载强度，即基底均布荷载强度，即

21、基底附加压力附加压力p p0 0例：矩形基础底面边长例：矩形基础底面边长2 2米米* *3.23.2米，求角点下米，求角点下z=2mz=2m深度深度处地基附加应力系数处地基附加应力系数KcKc。竖向均布荷载角点下的附加应力分布系数 表2-2m=l/bn=z/b1.41.61.80.80.21200.21470.21651.00.19110.19550.19811.20.17050.17580.1793z z=4=4k kc cp p0 0 将矩形荷载面分成四块，使中心点O成为四块小矩形荷载面的公共角点。然后先求出其中一块矩形荷载，在基础中心点下任意深度处的附加应力，再乘以四倍 。其表达式为：2

22、 2、矩形均布荷载中心点下地基附加应力、矩形均布荷载中心点下地基附加应力 3 3、矩形均布荷载任意点下地基附加应力矩形均布荷载任意点下地基附加应力角点法的角点法的应用应用( (1) 1) M M点在矩形荷载面以内点在矩形荷载面以内( (2) 2) M M点在矩形荷载面边缘点在矩形荷载面边缘 (3) (3) M M点在矩形荷载面以外点在矩形荷载面以外(4) (4) M M点在矩形荷载面角点外侧点在矩形荷载面角点外侧注：注：M M点为地基中任意一点在基底平面上的投影点。点为地基中任意一点在基底平面上的投影点。角点法具体做法：角点法具体做法：通过通过M点作一些相应的辅助线，使点作一些相应的辅助线，使

23、M点成为几个小矩形的点成为几个小矩形的公共角点，公共角点，M点以下任意深度点以下任意深度z z处的附加应力，就等于这处的附加应力，就等于这几块小矩形荷载在该深度处所引起的应力之和。几块小矩形荷载在该深度处所引起的应力之和。( (1)1)m m点在矩形荷载面以内点在矩形荷载面以内 z z( (K KccK KccK KccK Kcc) )p p0 0( (2)2)m m点在矩形荷载面边缘点在矩形荷载面边缘 z z（K KccK Kcc）p p0 0(3)(3)m m点在矩形荷载面以外点在矩形荷载面以外 z(K Kcmecg+K Kcmgbf- K KcmedhK Kcmhaf)p p0 0(4)

24、(4)m m点在矩形荷载面角点外侧点在矩形荷载面角点外侧 z z( (K KcmechK KcmedgK KcmfbhK Kcmfag) )p p0 03 3、竖向条形均布荷载作用下土中附加应力计算、竖向条形均布荷载作用下土中附加应力计算pKdzxpzdszbbbbzz2/2/22232/2/)(12当宽度为当宽度为b b的条形基础上作用均布荷载的条形基础上作用均布荷载p p时，取宽度时，取宽度b b的中点的中点作为坐标原点，地基内任意点作为坐标原点，地基内任意点M(x,zM(x,z) ) 的竖向附加应力为：的竖向附加应力为：KszKsz- -条形均布荷载作用下竖条形均布荷载作用下竖向附加应力

25、分布系数，查表向附加应力分布系数，查表2-32-3例例2-42-4：如图所示，荷载面积：如图所示，荷载面积2m1m，p=100kPa，求，求A，E，O，F，G各点下各点下z=1m深度处的附加应力，并利用计算结果说深度处的附加应力，并利用计算结果说明附加应力的扩展规律。明附加应力的扩展规律。（1 1）A A点下的应力点下的应力19.99kPa19.99kPa= =1001000.19990.1999= =P PK K= =cAcAzAzA A A点是矩形点是矩形ABCDABCD的角点，的角点， 由表由表2-22-2查得查得K KcAcA=0.1999=0.1999，故故A A点下的竖向附加应力为

26、：点下的竖向附加应力为：1=bz=n2,=12=bl=m（2 2）E E点下的应力点下的应力kPakPa 35.0435.04= =1001000.17520.17522 2= =P P2K2K= =cEcEzEzEE E点将矩形荷载面积分为两个相等小矩形点将矩形荷载面积分为两个相等小矩形EADIEADI和和EBCIEBCI。任一小矩形任一小矩形m=1,n=1,m=1,n=1,由表由表2-22-2查查得得K KcEcE=0.1752=0.1752，故，故E E点下的竖向附加应力为：点下的竖向附加应力为：【解】 （3 3）OO点下的应力点下的应力kPakPa48.08 48.08 = =1001000.12020.12024 4= =P P4K4K= =cOcOzOzOO O点将矩形荷载面积分为四个