晶体中电子在电场和磁场中的运动

1、第七章第七章 晶体中电子在电场和磁场中的运动晶体中电子在电场和磁场中的运动v 在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作 准经典粒子来处理。准经典粒子来处理。 222UVEm rrv 解含外场的波动方程解含外场的波动方程处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的 跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。7.1 准经典运动准经典运动一、波包与电子速度一、波包与电子速度 设波包由以设波包由以k0为

2、中心，在为中心，在 k的范围内的波函数组的范围内的波函数组成，并假设成，并假设 k很小，近似认为很小，近似认为 0kkuxux不随不随k而变而变对于一确定的对于一确定的k ，含时的，含时的Bloch函数为函数为 ,i kxtkkx teux 1kE k在晶体中，可以用含时间的在晶体中，可以用含时间的Bloch函数来组成波包。函数来组成波包。一维情况：一维情况：波包波包 0202,kkki kxtkkx teux dk 02002kkki kxtkkuxedk 000022,expkki k xtkkdx tux ei xtddk 0000022sinki k xtkkkddkddkxtux e

3、xt 0kkuxux令令0kk 00kdkdk分析波包的运动，只需分析分析波包的运动，只需分析2，即概率分布即可。，即概率分布即可。 000222222sin,kkkkddkkddkxtx tuxkxt令令0kdwxtdkw2k2k0222sinkkww波函数主要集中在尺度为波函数主要集中在尺度为 的范围内，的范围内，2k波包中心为：波包中心为：w0即即001kkddExttdkdk若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为001kdxdEv kdtdk E kk 布里渊区的宽度：布里渊区的宽度：2 /a即即2ak三维情况：三维情况：1E kv电子速度为电子速

4、度为条件：条件： k很小很小2ka以以a为周期，并不会改变波包的形状。为周期，并不会改变波包的形状。 02kuxv 电子速度的方向为电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿等空间中能量梯度的方向，即沿等 能面的法线方向。能面的法线方向。l 在一般情况下，在在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因空间中，等能面并不是球面，因 此，此，v的方向一般并不是的方向一般并不是k的方向；的方向；电子的运动方向决定于等能面的形状电子的运动方向决定于等能面的形状:l 当等能面为球面时，或沿某些特殊方向，当等能面为球面时，或沿某些特殊方向，v才与才与k的的 方向相同。方向相同。kxkykvv 电子运动

5、速度的大小与电子运动速度的大小与k的关系的关系以一维为例：以一维为例： 0dEdkl 在能带底和能带顶，在能带底和能带顶，E(k)取极值，取极值， 在能带底和能带顶，电子速度在能带底和能带顶，电子速度v0220d Edkl 在能带中在能带中 的某处，的某处，电子速度的数值最大电子速度的数值最大与自由电子的速度总是随与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是能量的增加而单调上升是完全不同的。完全不同的。二、电子的准动量二、电子的准动量功能原理：功能原理：dtdEE d kF vk1E kv0ddt kFvl 当当F与速度与速度v垂直时，可由冲量定理证明在垂直于垂直时，可由冲量定理证明在垂直于v

6、 的方向上，的方向上， 和外力和外力F的分量也相等。的分量也相等。ddtkddtkl 在平行于在平行于v的方向上，的方向上， 和和F的分量相等；的分量相等； 在外场中，电子所受的力为在外场中，电子所受的力为F，在，在dt时间内，外场时间内，外场对电子所做的功为对电子所做的功为dt F v这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。有与经典力学中牛顿定律相似的形式。 k 电子的准动量电子的准动量ddt kFv 晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为 。 kv Bloch电子电子

7、 ieu k rkkrr的行为类似于波长的行为类似于波长为为 的平面波，再由的平面波，再由de Broglie关系得其关系得其具有具有 的动量。的动量。 k2k三、电子的加速度和有效质量三、电子的加速度和有效质量晶体中电子准经典运动的基本关系式：晶体中电子准经典运动的基本关系式：1Eddt kvkF由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。1. 一维情况一维情况1dvddEadtdtdk221 dk d Edtdk222d EdkF引入电子的有效质量：引入电子的有效质量：222*d Edkm 在周期场中电子的有效质量在周期场中电子的有效质量m*

8、与与k有关有关220d EdkE(k)取极小值，取极小值，E(k)取极大值，取极大值，220d Edk*dvFmdtv 在能带底：在能带底：v 在能带顶：在能带顶：m*0；m* 0；在能带顶：在能带顶：220d Edk电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而表现为具有负的有效质量表现为具有负的有效质量m*F晶晶时，时，m* 0；而当；而当F外外F晶晶时，时，m* 0，则，则k0点为能带底；点为能带底；k/a为能带顶为能带顶 112sindEaJv kkadk电子速度：电子速度：2221222cosd Edkma Jka有效质量：有效质量：

9、在在k=/2a处，处， v(k)分别为极大和极小；而分别为极大和极小；而m* 。在能带底在能带底k=0和能带顶和能带顶k=/a处，电子速度处，电子速度v(k)=0；一、在一、在k空间中的运动图象空间中的运动图象设沿设沿x方向加一恒定电场方向加一恒定电场，电子受力：，电子受力：F=e 沿沿+x方向方向这表明电子在这表明电子在k空间中的运动是匀速的。空间中的运动是匀速的。由由dkedtE.dkeconstdtE 在准经典运动中，电子在同一能带中运动。电子在在准经典运动中，电子在同一能带中运动。电子在k空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿E(k)函数曲函数

10、曲线周期性变化，即电子在线周期性变化，即电子在k空间中做循环运动。空间中做循环运动。 电子在电子在k空间中的循环运动，表现在电子速度上是空间中的循环运动，表现在电子速度上是v随随时间作周期性振荡。时间作周期性振荡。二、在实空间中的运动图象二、在实空间中的运动图象Ex=0AB C电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。附加电势能：附加电势能：exEExexEv 由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的 散射，上述的振荡现象实际上很难观察到。若相邻两散射，上述的振荡现象实际上很难观察到。若相

11、邻两 次散射（碰撞）间的平均时间间隔次散射（碰撞）间的平均时间间隔很小，电子还来很小，电子还来 不及完成一次振荡过程就已被散射。不及完成一次振荡过程就已被散射。在晶体中：在晶体中： 10121013 s，a 31010 m为了观察到电子振荡的全过程，要求为了观察到电子振荡的全过程，要求 Tl 对金属：无法实现高电场对金属：无法实现高电场满足要求所需加的电场满足要求所需加的电场 ： 104 105 V/cml 对绝缘体：将被击穿对绝缘体：将被击穿2aee aT简约区的宽度电子在 空间的速度k电子振荡周期：电子振荡周期：v 在准经典运动中，当电子运动到能隙时，将全部被在准经典运动中，当电子运动到能

12、隙时，将全部被 反射回来。而根据量子力学，电子遇到势垒时，将反射回来。而根据量子力学，电子遇到势垒时，将 有一定概率穿透势垒，而部分被反射回来。电子穿有一定概率穿透势垒，而部分被反射回来。电子穿 透势垒的几率与势垒的高度（即能隙透势垒的几率与势垒的高度（即能隙Eg）和势垒的）和势垒的 长度（由外场决定）有关。长度（由外场决定）有关。2expggE2mE概e穿穿透透率率7.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释导体、绝缘体和半导体的能带论解释在在k空间中，对于同一能带有空间中，对于同一能带有 EE kknn 对于同一能带，处于对于同一能带，处于k态和处于态和处于k态的电子具有态的电子具有大小相等方

13、向相反的速度。大小相等方向相反的速度。 nnEE kkvkkkv k11 当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据k态态和和k态的概率相同，这两态的电子对电流的贡献相互态的概率相同，这两态的电子对电流的贡献相互抵消。所以，无宏观电流抵消。所以，无宏观电流I0。 nE kv kk1 在有电场存在时，由于不同材料中电子在能带中的在有电场存在时，由于不同材料中电子在能带中的填充情况不同，对电场的响应也不同，导电能力也各不填充情况不同，对电场的响应也不同，导电能力也各不相同。相同。一、满带、导带和近满带中电子的导电能力，空穴概念一、满带、导带和近满带中电子的导电

14、能力，空穴概念v 近满带：能带的绝大部分能态已填有电子，只有近满带：能带的绝大部分能态已填有电子，只有 少数能态是空的少数能态是空的v 满满 带：能带中所有的能态均已被电子所填满带：能带中所有的能态均已被电子所填满v 导导 带：能带中只有部分能态填有电子，而其余带：能带中只有部分能态填有电子，而其余 的能态为没有电子填充的空态的能态为没有电子填充的空态1. 满带满带 满带中电子的对称分布不会因外场的存在而改变，满带中电子的对称分布不会因外场的存在而改变，所以不产生宏观电流，所以不产生宏观电流，I0。2. 导带导带 在外电场的作用下，导带中电子的对称分布被破坏，在外电场的作用下，导带中电子的对称

15、分布被破坏，产生宏观电流，产生宏观电流，I 0 。3. 近满带和空穴近满带和空穴 假设近满带中有一个假设近满带中有一个k态中没有电子，设态中没有电子，设I(k)为这为这种情况下整个近满带的总电流。设想在空的种情况下整个近满带的总电流。设想在空的k态中填入态中填入一个电子，这个电子对电流的贡献为一个电子，这个电子对电流的贡献为ev(k)。但由于。但由于填入这个电子后，能带变为满带，因此总电流为填入这个电子后，能带变为满带，因此总电流为0。 0e I kv k 在有外场时，由于近满带中仍有少量没有电子占据在有外场时，由于近满带中仍有少量没有电子占据的空态，所以在外场的作用下，电子也会发生能级跃迁，

16、的空态，所以在外场的作用下，电子也会发生能级跃迁，导致电子的不对称分布，所以，导致电子的不对称分布，所以， I 0。 在有电磁场存在时，设想在空状态在有电磁场存在时，设想在空状态k中仍填入一个电中仍填入一个电子形成满带。而满带电流始终为子形成满带。而满带电流始终为0，对任意，对任意t时刻都成立。时刻都成立。 ddedtdt I kv k作用在作用在k态中电子上的外力为态中电子上的外力为 = Fv kBe e I kv k 这表明，近满带的总电流就如同一个带正电荷这表明，近满带的总电流就如同一个带正电荷e，其，其速度为电子在空状态速度为电子在空状态k中的速度。中的速度。 =+2ddeedtdtm

17、* I kv kvB de=e +edtm* I kv kB 而在能带顶附近，电子的有效质量为负值，而在能带顶附近，电子的有效质量为负值，m* 几个几个eV常规半导体：如常规半导体：如 Si：Eg 1.1eV； Ge： Eg 0.7 eV GaAs： Eg 1.5 eV宽带隙半导体：如宽带隙半导体：如 SiC： Eg 2.3 eV 4HSiC： Eg 3 eV如如 Al2O3： Eg 8 eV；NaCl： Eg 6 eV导带导带空带空带空带空带价带价带价带价带EgEg导体导体非导体非导体半导体半导体绝缘体绝缘体 ：106105( cm)102 109( cm)1014 1022( cm)v 半

18、导体的本征导电性半导体的本征导电性 在一定温度下，价带顶附近的电子可以被热激在一定温度下，价带顶附近的电子可以被热激发到导带中，从而在电导底有少量的电子，价带顶发到导带中，从而在电导底有少量的电子，价带顶有少量空穴。因此，在一定温度下半导体具有一定有少量空穴。因此，在一定温度下半导体具有一定的导带性，称为半导体的本征导电性。的导带性，称为半导体的本征导电性。电子跃迁的概率电子跃迁的概率 exp(-Eg/kBT) 在一般情况下，在一般情况下， Eg kBT，所以，电子的跃迁，所以，电子的跃迁概率很小，半导体的本征导电率很小。概率很小，半导体的本征导电率很小。 温度升高温度升高，电子的跃迁概率指数

19、上升，半导体，电子的跃迁概率指数上升，半导体的本征导电性迅速增大。的本征导电性迅速增大。v 半导体的非本征导电性：半导体通过适当掺杂，改变半导体的非本征导电性：半导体通过适当掺杂，改变 电子在能带中的填充情况而获得的导电性。电子在能带中的填充情况而获得的导电性。T = 0T 0导带导带施主施主价带价带N型ET = 0T 0导带导带受主受主价带价带P型E 绝缘体的带隙很宽，绝缘体的带隙很宽，Eg 几个几个eV，在一般情况下，在一般情况下，电子很难从价带顶被激发到空带中，所以，绝缘体一般电子很难从价带顶被激发到空带中，所以，绝缘体一般都没有可观察到的导电性。都没有可观察到的导电性。101exp23

20、1.92 10例如：例如：NaCl的带隙近似为的带隙近似为Eg 6 eV，在常温下，在常温下19236 1.6 10exp1.38 10300expgBEk T跃迁概率跃迁概率电子密度：电子密度：As： 2.1 1020 cm-3 Sb： 5.7 1019 cm-3 Bi： 2.7 1017 cm-3 Cu： 8.45 1022 cm-3 半金属：介于金属与半导体之间的中间状态半金属：介于金属与半导体之间的中间状态例：例：As、Sb、Bi都是半金属都是半金属电阻率：电阻率：Bi： c 127 10-6 (cm) c 100 10-6 (cm) Sb： c 29.3 10-6 (cm) c 38

21、.4 10-6 (cm) Cu： 1.55 10-6 (cm) Al： 2.5 10-6 (cm)金属的电阻率金属的电阻率导电率：导电率：2Fnem电阻率：电阻率：211FFmnev 在高温下，当在高温下，当T D时，时， T 金属的电阻率来自电子在运动过程中受到声子、金属的电阻率来自电子在运动过程中受到声子、晶体中的缺陷和杂质的散射，因而与温度有密切关系。晶体中的缺陷和杂质的散射，因而与温度有密切关系。v 在低温下，当在低温下，当T D时，晶体中所有振动模式都能被热激发，时，晶体中所有振动模式都能被热激发，频率为频率为 j的声子的平均声子数为的声子的平均声子数为1exp1BjjjBk TnT

22、k TT 在低温下，当在低温下，当T D时，只有时，只有 的长波的长波声学声子才能被热激发，晶格热容量声学声子才能被热激发，晶格热容量CL T3，因此晶格振，因此晶格振动的总能量动的总能量 T4。如果声子的平均能量近似为。如果声子的平均能量近似为kBT，那么，那么，系统的总声子数就正比于系统的总声子数就正比于T3。因此，有。因此，有jBk T3T（当（当T D时）时）单位时间内的散射次数单位时间内的散射次数 另一方面，由于对金属电导有贡献的只是在费米面另一方面，由于对金属电导有贡献的只是在费米面附近的一小部分电子，其波矢近似等于费米波矢，附近的一小部分电子，其波矢近似等于费米波矢，k kF。而

23、而当当T D时，只有能量很低的长波声学声子才能被热时，只有能量很低的长波声学声子才能被热激发，这些声子的波矢激发，这些声子的波矢qqm。可以认为，。可以认为， kF与与qm同数同数量级。量级。长波声子的波矢长波声子的波矢qkBT，因，因此几乎所有杂质原子都处于基态。此几乎所有杂质原子都处于基态。 如果电子在与杂质的散射中把能量交给杂质原子，电如果电子在与杂质的散射中把能量交给杂质原子，电子能量将失去过多，以致费米球内没有空态可以接纳它。子能量将失去过多，以致费米球内没有空态可以接纳它。因此，杂质散射所产生的电阻与温度无关，它是因此，杂质散射所产生的电阻与温度无关，它是T0时的时的电阻值，称为剩

24、余电阻。电阻值，称为剩余电阻。T102 / (200K) 如：如： (0)1.7 109( cm)的的Cu样品，样品，R 103，相当于其杂质，相当于其杂质浓度为浓度为2 105。在纯度很高的样。在纯度很高的样品中，品中， R可高达可高达106，而在合金样，而在合金样品中，品中， R可降至可降至1左右。左右。 通常，可用室温电阻率与通常，可用室温电阻率与 (0)之比之比R来表征样品的纯度。来表征样品的纯度。 在金属中，其导带部分填充，导带中有足够多的载在金属中，其导带部分填充，导带中有足够多的载流子（电子或空穴），温度升高，载流子的数目基本上流子（电子或空穴），温度升高，载流子的数目基本上不增

25、加。但温度升高，原子的热振动加剧，电子受声子不增加。但温度升高，原子的热振动加剧，电子受声子散射的概率增大，电子的平均自由程减小。因此，散射的概率增大，电子的平均自由程减小。因此，金属金属的导电率随温度的升高而下降，与半导体的本征导电率的导电率随温度的升高而下降，与半导体的本征导电率随温度的升高而迅速上升是明显不同的。随温度的升高而迅速上升是明显不同的。T 半导体半导体金属金属 需要指出的是，理想导体与超导体是有区别的。需要指出的是，理想导体与超导体是有区别的。超导体的两个基本特征：超导体的两个基本特征：Meissner效应（完全抗磁性）效应（完全抗磁性）零电阻现象零电阻现象三、几个实例三、几

26、个实例v 贵金属（贵金属（Cu、Ag和和Au）的情况（）的情况（fcc立方密排）与碱立方密排）与碱 金属相似，也是典型的金属导体。金属相似，也是典型的金属导体。v 碱金属晶体结构：体心立方格子（碱金属晶体结构：体心立方格子（ bcc），每个原），每个原 胞中有一个原子。碱金属原子基态：内壳层饱和，胞中有一个原子。碱金属原子基态：内壳层饱和， 最外层的最外层的 ns态有一个价电子。态有一个价电子。如如Li：1s22s1；Na：1s22s22p63s1 由由N个碱金属原子结合成晶体时，个碱金属原子结合成晶体时， 原子的内层电原子的内层电子刚好填满相应的能带，而与外层子刚好填满相应的能带，而与外层n

27、s态相应的能带却态相应的能带却只填充了一半。因此，碱金属是典型的金属导体。只填充了一半。因此，碱金属是典型的金属导体。碱金属的费米面碱金属的费米面贵金属的费米面贵金属的费米面由于在这些晶体中，与由于在这些晶体中，与ns态相应的能带与上面的能带发生态相应的能带与上面的能带发生重叠，因此，重叠，因此，2N个个ns电子尚未填满相应的能带就已开始填电子尚未填满相应的能带就已开始填入更高的能带，结果使得这两个能带都是部分填充的。入更高的能带，结果使得这两个能带都是部分填充的。v 第三族元素与碱金属的情况类似，只不过这时形成导第三族元素与碱金属的情况类似，只不过这时形成导 带的是带的是np电子，而不是电子

28、，而不是ns电子。所以，第三族元素的电子。所以，第三族元素的 晶体绝大多数为金属。晶体绝大多数为金属。 v 对于二价的碱土金属元素，与碱金属元素相似，其最对于二价的碱土金属元素，与碱金属元素相似，其最 外层有两个外层有两个ns电子。电子。如如Be原子基态：原子基态：1s22s2；Mg：1s22s22p63s2等等N个碱土金属原子中有个碱土金属原子中有2N个个ns电子，应刚好填满其相电子，应刚好填满其相应的应的 ns能带而形成非导体。但实际上它们是金属导体，能带而形成非导体。但实际上它们是金属导体，而不是非导体。而不是非导体。 当当Na原子与原子与Cl原子结合成原子结合成NaCl晶体时，晶体时，

29、Na的的3s带比带比Cl的的3p带高约带高约6 eV。在能量较高的。在能量较高的Na的的3s带中的带中的N个电子个电子就转移到能量较低的就转移到能量较低的Cl的的3p带中，刚好填满带中，刚好填满Cl的的3p带，带，而而Na的的3s带成为空带，其能隙带成为空带，其能隙Eg 6 eV，所以，所以，NaCl晶晶体为绝缘体。体为绝缘体。 周期表中第四族及其以上的元素，由于其电子态和周期表中第四族及其以上的元素，由于其电子态和结合形式比较复杂，所以必须经过具体计算之后，才能结合形式比较复杂，所以必须经过具体计算之后，才能判断是金属还是非金属。判断是金属还是非金属。对绝缘体，如：对绝缘体，如：NaCl晶体

30、晶体Na原子基态：原子基态：1s22s22p63s1Cl原子基态：原子基态： 1s22s22p63s23p5四、四、X射线发射谱射线发射谱 电子在价电子能带中的填充情况可以用电子在价电子能带中的填充情况可以用X射线发射射线发射谱实验来验证。谱实验来验证。1s2s2p价电子价电子能能 带带KL1L2L1：外层电子落入：外层电子落入2s态所态所 发射的发射的X射线；射线； K：外层电子落入空：外层电子落入空 的的1s态而发射的态而发射的X 射线；射线；L2：外层电子落入：外层电子落入2p态所态所 发射的发射的X射线。射线。 发射谱的强度：发射谱的强度： IN E概跃跃迁迁率率 X射线发射谱的强度可

31、较直接地反映价电子能带的射线发射谱的强度可较直接地反映价电子能带的能态密度状况。能态密度状况。EEFN(E)7.4 在恒定磁场中电子的运动在恒定磁场中电子的运动v 求解含磁场的求解含磁场的Schrdinger方程方程一、恒定磁场中的准经典运动一、恒定磁场中的准经典运动准经典运动的基本方程准经典运动的基本方程 =Ededt kv kkkFv kB =1讨论晶体中电子在恒定磁场中运动的方法：讨论晶体中电子在恒定磁场中运动的方法：v 准经典近似：优点是简单且物理图象清晰，缺点是准经典近似：优点是简单且物理图象清晰，缺点是 有些量子效应无法从准经典近似中得出。有些量子效应无法从准经典近似中得出。1.

32、在在k空间中的运动图象空间中的运动图象ddt kB 在在k空间中电子的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等空间中电子的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。Fv在在k空间中，电子作循环运动空间中，电子作循环运动 ed=dt kv kB沿磁场方向沿磁场方向k的分量不随时间而变，的分量不随时间而变，即在即在k空间中，电子在垂直于磁场空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动。的平面内运动。（Lorentz力不做功）力不做功）电子的能量电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动不随时间而变，即电子在等能面上运动电子的

33、循环周期：电子的循环周期： dkdteBv等能线等能线=Tk回转圆频率：回转圆频率： 022eBdkvTk对自由电子：对自由电子： 22kE2mk电子的回旋轨道为圆电子的回旋轨道为圆 kvmk在等能线上，在等能线上，k const.k 0222eBeBeBdkmmkvkk2. 在实空间中的运动图象在实空间中的运动图象在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。对于自由电子：对于自由电子：m k =v如设磁场沿如设磁场沿z 轴方向，有轴方向，有0 xyyxzdveBvdtmdveBvdtmdvdt0000cossinttxyzvvvvvconst.22200 xy

34、vvveBm 在实空间中电子的运动图在实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（象：沿磁场方向（z方向），电方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运的平面内，电子作匀速圆周运动。动。对于晶体中的电子对于晶体中的电子1*ddtmevFF =vB在主轴坐标系中在主轴坐标系中:1*1*1*xxxyyyzzzdvFdtmdvFdtmdvFdtm 若磁场方向取在若磁场方向取在z轴方向，轴方向， ，即可写出其，即可写出其相应的准经典运动方程。相应的准经典运动方程。*0 xyxyxyzdveBvdtmdveBvdtmdvdt B Bk二、自由电子的量子理论二、自由电

35、子的量子理论在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为22pHm当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为212Hem pAA: 磁场的矢势，磁场的矢势， BA若磁场若磁场B沿沿z方向，则可取方向，则可取,0,0By A22212xyzHpeByppm由于哈密顿算符中不含由于哈密顿算符中不含x和和z，H和和px、pz有共同本征态有共同本征态设设为其共同本征态，有为其共同本征态，有波函数波函数: xzi k x k zeyr代入波动方程代入波动方程HE与与Hxpix zpiz 及及对易对易xxzzpkpk 222212xyzkeBypkyE

36、ym 2222221222zxkkeByyEym ymm 2222002122myyyym y其中其中0,eBm0,xykeB222zkEm这是中心位置在这是中心位置在y=y0，振动圆频率为，振动圆频率为 0的线性谐振子的线性谐振子解为解为200000exp2nnnmmyyNyyHyyNn为归一化因子，为归一化因子，Hn(y)为厄密多项式为厄密多项式相应的能量本征值为相应的能量本征值为012nnn=0, 1, 2, 0 xzi k x k zneyyr 222201222zznkkEnmm k 根据量子理论，在垂直于磁场平面内的匀速圆周运根据量子理论，在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种

37、简谐振动，其能量是量子化的，我们将这动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的，我们将这些量子化的能级称为朗道能级。些量子化的能级称为朗道能级。三、晶体中电子的有效质量近似三、晶体中电子的有效质量近似晶体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为晶体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为 212HeUm pAr其中，其中，U(r)为为 晶体的周期性势场晶体的周期性势场 在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的讨论可以推广到晶体中的电子，只需用电子的有效质量讨论可以推广到晶体中的电子，只需用电子的有效质量m*代替自由电子的质量代替自由电子的质量m即可。即可。 一般

38、半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）有时也可以采用。有时也可以采用。212*Hem pA在有些情况下，可将哈密顿量近似写成在有些情况下，可将哈密顿量近似写成 有效质量近似有效质量近似四、电子回旋共振和四、电子回旋共振和De HaasVan Alphen效应效应1. 电子回旋共振电子回旋共振 将一晶片垂直置于磁场中，若沿磁场方向输入一频将一晶片垂直置于磁场中，若沿磁场方向输入一频率为率为 的交变电场，且的交变电场，且E B。Beh讯号讯号当当0时，电子回旋与

39、电时，电子回旋与电场同步，电子吸收电场能场同步，电子吸收电场能量达到极大，这种现象称量达到极大，这种现象称为电子回旋共振。为电子回旋共振。从量子理论的观点，电子吸收了电场的能量，相当于实从量子理论的观点，电子吸收了电场的能量，相当于实现了电子在朗道能级间的跃迁。测量回旋共振的频率现了电子在朗道能级间的跃迁。测量回旋共振的频率 0 ，即可算出电子（或空穴）的有效质量，即可算出电子（或空穴）的有效质量m*。0*eBm 电子回旋共振不仅可以测量载流子的有效质量电子回旋共振不仅可以测量载流子的有效质量m* ，还可以根据出射波的偏振方向来判断电场的能量是被电还可以根据出射波的偏振方向来判断电场的能量是被

40、电子还是被空穴吸收的。子还是被空穴吸收的。 电子回旋共振被广泛地用来测定半导体导带底电子电子回旋共振被广泛地用来测定半导体导带底电子或价带顶空穴的有效质量，研究其能带结构。或价带顶空穴的有效质量，研究其能带结构。 在半导体的导带底或价带顶附近，其等能面一般为在半导体的导带底或价带顶附近，其等能面一般为椭球面。椭球面。当发生电子回旋共振时，当发生电子回旋共振时，0eBm这里，这里，m*为电子回旋共振的有效质量，与外加磁场的方为电子回旋共振的有效质量，与外加磁场的方向有关。向有关。 22222*yxzxyzkkkEmmm k在主轴坐标系中，有在主轴坐标系中，有222*1*xyzxyzmmmmmmm

41、其中，其中， 、 、 为磁场在主轴坐标系中的方向余弦。为磁场在主轴坐标系中的方向余弦。 由于电子在运动过程中会受到声子、晶格缺陷以及杂由于电子在运动过程中会受到声子、晶格缺陷以及杂质的散射，因此，为了能观察到回旋共振现象，必须满足质的散射，因此，为了能观察到回旋共振现象，必须满足 0 1，其中，其中 是电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间。是电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间。 通常，实验都必须在极低温度（液通常，实验都必须在极低温度（液He温度）下，选用温度）下，选用高纯的单晶样品，以提高高纯的单晶样品，以提高 值，同时加强磁场以提高值，同时加强磁场以提高 0 。近年来，利用红外激光为交变讯号

42、源，可以观测到非常清近年来，利用红外激光为交变讯号源，可以观测到非常清晰的共振线。晰的共振线。2. De HaasVan Alphen效应效应 我们将磁化率我们将磁化率 随磁场的倒数随磁场的倒数1/B作周期振荡的现象作周期振荡的现象称为称为De HaasVan Alphen效应。效应。 这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行为有关，因而与金属的费米面结构有密切关系，这些现为有关，因而与金属的费米面结构有密切关系，这些现象是研究金属费米面结构的有力工具。通过测定象是研究金属费米面结构的有力工具。通过测定De HaasVan Alphen效应的振荡

43、周期，确定极值的面积，就可效应的振荡周期，确定极值的面积，就可以相当准确地勾画出费米面的形状。以相当准确地勾画出费米面的形状。 金属的导电率、比热等物理量在低温强磁场中也有金属的导电率、比热等物理量在低温强磁场中也有类似的振荡现象。类似的振荡现象。7.5 金属绝缘体转变金属绝缘体转变在一定条件下，金属和绝缘体可以相互转变。在一定条件下，金属和绝缘体可以相互转变。一、纳米金属的量子尺寸效应一、纳米金属的量子尺寸效应 对于宏观大小的晶体，电子的能级是准连续的。对于宏观大小的晶体，电子的能级是准连续的。根据自由电子论，在费米面附近电子的能态密度为根据自由电子论，在费米面附近电子的能态密度为22/30

44、232FEnm费米能：费米能：0032FFNN EE 当粒子的大小从宏观尺度减小到纳米尺度时，金属当粒子的大小从宏观尺度减小到纳米尺度时，金属费米面附近的电子能级将从准连续变为离散能级，半导费米面附近的电子能级将从准连续变为离散能级，半导体纳米颗粒存在最高被占据能级和最低未被占据能级，体纳米颗粒存在最高被占据能级和最低未被占据能级，能隙变宽的现象，称为量子尺寸效应。能隙变宽的现象，称为量子尺寸效应。在费米能附近，电子的能级密度为在费米能附近，电子的能级密度为000324FFFN END EE费米能附近的能级间距为费米能附近的能级间距为00143FFEND E 当能级间距当能级间距 与热振动能、

45、静磁能、静电能、光与热振动能、静磁能、静电能、光子能量或超导凝聚能相当时，就必须考虑量子尺寸子能量或超导凝聚能相当时，就必须考虑量子尺寸效应，从而导致纳米微粒的电、磁、光、声、热和效应，从而导致纳米微粒的电、磁、光、声、热和超导电性与宏观晶体的特性明显不同。超导电性与宏观晶体的特性明显不同。例：例：Ag的电子密度的电子密度n=6 1022cm3，可估算出在，可估算出在1K时出时出 现量子尺寸效应的临界晶粒尺寸现量子尺寸效应的临界晶粒尺寸dc。316NnVnd0022/323348813132FFBccEEnkNd nnmd 22/334228328312341.055 1036 106 109

46、.11 101.38 10cd 14cdnm 这意味着在很低温度下，这意味着在很低温度下，d 14 nm的的Ag纳米粒子纳米粒子将出现量子尺寸效应。将出现量子尺寸效应。 实验上也发现，当实验上也发现，当Ag纳米粒子的尺寸纳米粒子的尺寸d 10 nm时，时，在液氮温区，纳米在液氮温区，纳米Ag块体的电阻率比常规块体的电阻率比常规Ag高几个数量高几个数量级，并且其温度系数也由正变为负值，表现出非金属的导级，并且其温度系数也由正变为负值，表现出非金属的导电特性。电特性。120 6h130 6h150 6h 在纳米块体材料中，存在大量的晶粒间界。而在在纳米块体材料中，存在大量的晶粒间界。而在晶粒间界，

47、原子的排列偏离周期性排列，晶粒尺寸越晶粒间界，原子的排列偏离周期性排列，晶粒尺寸越小，在晶粒间界的原子数就越多，对电子运动的散射小，在晶粒间界的原子数就越多，对电子运动的散射就越强。就越强。粒间界的散射是造成纳米金属高电阻的主要原因。粒间界的散射是造成纳米金属高电阻的主要原因。纳米金属块体的电阻可以看成是由两部分组成：纳米金属块体的电阻可以看成是由两部分组成：l 晶粒电阻晶粒电阻l 界面电阻界面电阻v 当晶粒尺寸大于电子的平均自由程时，晶粒内对电当晶粒尺寸大于电子的平均自由程时，晶粒内对电 子的散射起主要作用，晶粒越大，电阻及电阻温度子的散射起主要作用，晶粒越大，电阻及电阻温度 系数就越接近常

48、规粗晶材料，这时因为常规粗晶材系数就越接近常规粗晶材料，这时因为常规粗晶材 料的电阻主要以晶粒内的散射为主。料的电阻主要以晶粒内的散射为主。v 当晶粒尺寸小于电子的平均自由程时，晶粒间界对当晶粒尺寸小于电子的平均自由程时，晶粒间界对 电子的散射起主要作用。这时材料的电阻以及电阻温电子的散射起主要作用。这时材料的电阻以及电阻温 度系数明显偏离粗晶材料，甚至会出现负电阻温度度系数明显偏离粗晶材料，甚至会出现负电阻温度 系数。系数。 二、二、Wilson转变转变 在紧束缚近似情况下，能带的宽度取决于近邻原子在紧束缚近似情况下，能带的宽度取决于近邻原子间电子波函数的重叠积分，原子间距越小，电子波函数间

49、电子波函数的重叠积分，原子间距越小，电子波函数的重叠就越多，所形成的能带就越宽。的重叠就越多，所形成的能带就越宽。 在高压下，原子间距变小，就有可能出现能带的重在高压下，原子间距变小，就有可能出现能带的重叠，从而实现绝缘体向金属的转变。叠，从而实现绝缘体向金属的转变。 实验发现，在足够高的压强下，许多非导体材料实验发现，在足够高的压强下，许多非导体材料可以实现价带与导带的重叠，而表现出金属导电性的可以实现价带与导带的重叠，而表现出金属导电性的特征，材料的电阻率可降低几个数量级，同时电阻率特征，材料的电阻率可降低几个数量级，同时电阻率的温度系数也由负值变为正值，材料也呈现出典型的的温度系数也由负

50、值变为正值，材料也呈现出典型的金属光泽。金属光泽。例如：在例如：在33 GPa下可使下可使Xe的的5d能带与能带与6s能带的发生重能带的发生重 叠，实现金属化转变。叠，实现金属化转变。 这种与能带是否交叠相对应的金属绝缘体转变这种与能带是否交叠相对应的金属绝缘体转变称为称为Wilson转变。转变。三、三、Peierls转变转变 设有一一维单原子晶体，原胞大小为设有一一维单原子晶体，原胞大小为a，每个原子，每个原子中只有一个价电子。根据能带论，此晶体为金属导体，中只有一个价电子。根据能带论，此晶体为金属导体，其导带刚好填充了一半，费米波矢为其导带刚好填充了一半，费米波矢为kF= /2a。 如相邻

51、原子发生一小位移，这时，原胞大小就从如相邻原子发生一小位移，这时，原胞大小就从a变为变为2a，每个原胞中有两个原子。相应的布里渊区边界，每个原胞中有两个原子。相应的布里渊区边界从从/a移到移到/2a，恰好落在费米面上。，恰好落在费米面上。 由于电子能量在布里渊区边界时发生突变，即有能由于电子能量在布里渊区边界时发生突变，即有能隙存在，使得电子系统的能量降低。隙存在，使得电子系统的能量降低。 这种由于原子的位移畸变，导致能带分裂，使电这种由于原子的位移畸变，导致能带分裂，使电子在能带中的填充情况发生变化，从导带变成满带，子在能带中的填充情况发生变化，从导带变成满带，从而由金属变为绝缘体。这种转变

52、称为从而由金属变为绝缘体。这种转变称为Peierls转变。转变。EF满带满带空带空带导带导带0 对于能带不是填充半满的情况，设费米波矢为对于能带不是填充半满的情况，设费米波矢为kF，那么当位移后的晶格常数为那么当位移后的晶格常数为a= /kF时，将从金属转变为时，将从金属转变为绝缘体。如绝缘体。如a/a为有理数时，称为公度转变；若为无理数为有理数时，称为公度转变；若为无理数时，则称为无公度转变。在链状固体或片状固体中已观时，则称为无公度转变。在链状固体或片状固体中已观察到察到Peierls转变。转变。例：例：Methylethylmorphorlinium tetracyanoquinodimethanide （有机导体）在（有机导体）在335 K发生发生Peierls转变。转变。四、四、Mott转变转变 当晶格常数很大，晶格中原子间的相互作用可以忽当晶格常数很大，晶格中原子间的相互作用可以忽略时，略时， ns能带就退化为孤立原子的能带就退化为孤立原子的ns能级。而在孤立原能级。而在孤立原子极限下，每个原子都是电中性的，电子被束缚在原子子极限下，每个原子都是电中性的，电子被束缚在原子