第一章函数极限连续

1、第一章第一章 预备知识：不等式同解原理预备知识：不等式同解原理 ab，则a+cb+c； c0，ab时，则acbc； cb时，则ac0，则不等式x|a的解集为x|xa,或x-a； 不等式x|a的解集为x| -a xa 要注意这些基本知识的应用条件，若条件不满足，它就是一个分类的标准。【例】解不等式： |x-5|-|2x+3|1原不等式等价于： 或 或从而得原不等式的解集为： ),31()7,(13-2x-5-x 5x【例】解不等式： |x-5|-|2x+3|1时，指数函数时，指数函数 对数函数对数函数当当0a1时，指数函数时，指数函数 对数函数对数函数【例【例】解不等式：解：原不等式等价于原不等

2、式的解集为：原不等式的解集为： 0)1lg(xx110 xx)551, 1 ()251, 1(3 3、高次不等式、分式不等式解法、高次不等式、分式不等式解法数轴数轴标根法标根法一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一般步骤如下：一般步骤如下：（2）把不等式看成方程，求出所有的根；）把不等式看成方程，求出所有的根；（4）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域（5）注意关键点）注意关键点一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：（4）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的

3、区域）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：一般步骤如下：（3）把根在数轴上）把根在数轴上从右上方起从右上方起按大小标出；按大小标出；一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一般步骤如下：一般步骤如下：一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一般步骤如下：一般步骤如下：一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一元高次不等

4、式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：一元高次不等式一元高次不等式的一般方法：的一般方法：（1）将不等式化为一边为零，然后因式分解：分解成若干个一将不等式化为一边为零，然后因式分解：分解成若干个一次因式的连乘，并保证次因式的连乘，并保证所有一次项系数为正所有一次项系数为正；22(32)(23)0 xxxx1.解不等式：22(32)(23)0 xxxx则不等式的解集是22(32)(21)0

5、 xxxx3.解不等式：22(32)(2)0 xxxx2.解不等式：22(32)(21)0 xxxx4.解不等式：(, 1)(1,2)(3,) 不等式的解集是(, 11,23,) 2320.xx即为解不等式:(,1)(2,)解集为:23201.xxx 即为解不等式:且23201.xxx 即为解不等式:或【高次不等式的练习【高次不等式的练习】“或或” ）的不等式称为分式不等式。）的不等式称为分式不等式。( )( )00( )( )f xf xxx或或 型如型如 （其中（其中 为整式且为整式且 ( ), ( )f xx ( )0 x ）的不等式称为分式不等式。）的不等式称为分式不等式。( )( )

6、00( )( )f xf xxx或或 型如型如 （其中（其中 为整式且为整式且 ( ), ( )f xx ( )0 x ）的不等式称为分式不等式。）的不等式称为分式不等式。( )( )00( )( )f xf xxx或或 型如型如 （其中（其中 为整式且为整式且 ( ), ( )f xx ( )0 x ）的不等式称为分式不等式。）的不等式称为分式不等式。( )( )00( )( )f xf xxx或或 型如型如 （其中（其中 为整式且为整式且 ( ), ( )f xx ( )0 x ）的不等式称为分式不等式。）的不等式称为分式不等式。( )( )00( )( )f xf xxx或或 型如型如

7、（其中（其中 为整式且为整式且 ( ), ( )f xx ( )0 x 什么叫作分式不等式呢？什么叫作分式不等式呢？ ）的不等式称为分式不等式。）的不等式称为分式不等式。( )( )00( )( )f xf xxx或或 型如型如 （其中（其中 为整式且为整式且 ( ), ( )f xx ( )0 x 解解分式不等式分式不等式的一般方法：的一般方法：一般步骤如下：一般步骤如下：（1）整理整理： 移项保证不等式右边为零，整理成一般形式；移项保证不等式右边为零，整理成一般形式；（2）等价）等价转化转化为整式不等式，因式分解，注意一次项系数为正；为整式不等式，因式分解，注意一次项系数为正；（3）标根标

8、根法。借助数轴，把对应整式的根从右上方起标出；法。借助数轴，把对应整式的根从右上方起标出；（4）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域，）大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域，（5）注意关键点。）注意关键点。等价转化为整式不等式等价转化为整式不等式1(1)02xx 1(2)02xx 1(3)232xx 1 ,32), 1 ()2,(等价于解不等式等价于解不等式解集为解集为0)2)(1(xx), 1 )2,(等价于解不等式等价于解不等式且且 解集为解集为0)2)(1(xx2x【解分式不等式【解分式不等式】2232023xxxx (1)解不等式：(1)解不等式：22251

9、1.23xxxx (2)解不等式：(2)解不等式：2232)(23)0.xxxx等价于解不等式: (等价于解不等式: (. 则不等式的解集为: (-1, 1) (2, 3)则不等式的解集为: (-1, 1) (2, 3)等价转化等价转化的思想：可以把分式不等式等价转化为一元高次的思想：可以把分式不等式等价转化为一元高次的不等式情况进行求解。但是要注意转化的等价性！的不等式情况进行求解。但是要注意转化的等价性！【练习【练习】不等式组的解法：不等式组的解法：分别求出不等式组中的每个分别求出不等式组中的每个不等式的解集，然后求其交集，即为这个不等式组不等式的解集，然后求其交集，即为这个不等式组的解集

10、。的解集。（在求交集的过程中，通常把每个不等式（在求交集的过程中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取他们的公共部分。）的解集画在同一条数轴上，取他们的公共部分。）注意：求解函数定义域、值域的题型均可归结为求注意：求解函数定义域、值域的题型均可归结为求解不等式组的解不等式组的解集解集。极限与连续极限与连续1、无穷小量和无穷大量的相关知识、无穷小量和无穷大量的相关知识 极限为0 的量称之为无穷小量。注意，它不是很小的量。 极限为的量称之为无穷大量。注意：无穷大量属于极限不存在之例，之所以还用极限的记号，是因为无穷大量当xx。时具有按绝对值无限增大的趋势，故以符号“”作为它的极限，但不是一个

11、实数。 无穷小量的性质：1.有限多个小无穷小量之和仍是无穷小量。2.有限多个无穷小量之积仍是无穷小量，事实上由极限的性质可得。3.无穷小量与有界之积仍是无穷小量。无穷大量的性质：1.有限个无穷大量之积仍是无穷大量；2.无穷大量与有界量之和仍是无穷大量。无穷小量和无穷大量的关系：无穷大量的倒数是无穷小量；无穷小量(当x充分接近x。时不等于0)的倒数为无穷大量。什么叫什么叫“等价的无穷小（大）量等价的无穷小（大）量”？ 如果两个无穷小量相比之后的极限为1，则这两个无穷小量称之为“等价的无穷小量”。同理，如果两个无穷大量相比之后的极限为1，则这两个无穷大量称之为“等价的无穷大量”。特殊的需要记熟的等

12、价无穷小量：特殊的需要记熟的等价无穷小量：x0 x0时，时， xx arcsinxx arctan221cos1xxxx sinxx tanxx )1ln( xex1xx1)1 (无穷小量的比较：无穷小量的比较：，则称，则称 低阶的无穷小。低阶的无穷小。【课堂练习】书P14选择题（3）（5）（6）2、一般极限类题型的解题步骤： 观察需求解极限函数的形式x的极限值带入，分母不为01、整式函数直接带入X的极限值求解2、有理分式函数（不带根号）直接带入X的极限值求解。但也有特殊情况，当分子分母极限均为时，要用第4种解法。x的极限值带入，分子、分母都为0 x的极限值带入，分母不为03、无理分式函数（带

13、根号）化简约分后将X的极限值带入，取得极限若分子或分母为a+b型，则分子分母同乘ab型直接带入X的极限值求解x的极限值带入，分子、分母都为0划去函数分子、分母的通项，再带入X的极限值求解x的极限值带入，分子不为0、分母为0利用无穷小量与无穷大量的关系可知，分式的极限为0我们经常使用的主要是它们的变形4、型如：5、利用两个重要极限定理求极限 观察需求解极限函数的形式1sinlim)(0 xxAxexBxx)11 (lim)()( ,)(11lim()()0)( , 1)()(sinlim)()(xexBxxxAx 观察需求解极限函数的形式6、利用无穷小（大）量性质法7、分段函数利用无穷小量与有界

14、量之乘积仍为无穷小量的性质 Mxg)(0)()(lim0 xfxgxx0)(lim0 xfxx(M为正整数)则：利用无穷小量与无穷大量的关系：互为倒数。 等价无穷小代换法 设注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”用左极限与右极限关系，以及用定义求极限等情形，适用于求分段点处的极限。若想极限存在，左 极 限 = 右 极 限【课堂练习】书P8-24例题连连 续续. )()(lim00 xfxfxx 则称函数则称函数 y = f ( x ) 在在 x0 处处连续连续，或称或称 x0 为函数为函数 y = f (x) 的连续点的连续点 .1、若、若2、函数、函数 y = f (x) 在在 x0 处连续的充要条件为处连续的充要条件为：. )(lim)()(lim000 xf