第二章 (第1节)单自由度系统的自由振动

1、自由振动概述自由振动概述 任何具有质量和弹性的系统都能产生振任何具有质量和弹性的系统都能产生振动，若不外加激励的作用，振动系统对初始激动，若不外加激励的作用，振动系统对初始激励的响应，通常称为励的响应，通常称为自由振动自由振动。 保守系统保守系统在自由振动过程中，由于总机在自由振动过程中，由于总机械能守恒，动能和势能相互转换而维持等幅振械能守恒，动能和势能相互转换而维持等幅振动，称为动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 实际系统不可避免存在阻尼因素，由于实际系统不可避免存在阻尼因素，由于机械能的耗散，使自由振动不能维持等幅而趋机械能的耗散，使自由振动不能维持等幅而趋于衰减，称为于衰减，称为有

2、阻尼自由振动。有阻尼自由振动。 最简单的最简单的单自由度单自由度振动系统振动系统就是一个弹簧就是一个弹簧连接一个质量的系统，连接一个质量的系统，如图如图2.1-1所示的所示的弹簧弹簧- -质量系统质量系统。 弹簧弹簧- -质量系统质量系统有一个共同的特点：当受扰有一个共同的特点：当受扰动离开平衡位置后，在动离开平衡位置后，在恢复力恢复力作用下系统趋于回作用下系统趋于回到平衡位置，但是由惯性它们会超越平衡点。超到平衡位置，但是由惯性它们会超越平衡点。超越后，恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结越后，恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结果系统就来回振动起来。果系统就来回振动起来。 图 2.1-1

3、(2.1-1)kxxm 设在某一瞬时设在某一瞬时t，物，物体的位移为体的位移为x，则弹簧作，则弹簧作用于物体的力为用于物体的力为-kx，以，以 和和 分别表示物体的分别表示物体的速度与加速度。由速度与加速度。由牛顿牛顿定律定律，有，有x x 0kxxm 0 xmkx 弹簧质量系统受力分析弹簧质量系统受力分析微分方程的求解微分方程的求解 根据常微分方程理论，式根据常微分方程理论，式(2.1-3)的解具有下面的一的解具有下面的一般形式般形式式中式中A1和和A2是取决于初始条件是取决于初始条件 t=0, , 的积分常数。的积分常数。)0(0 xx )0(0 xx tAtAtxnnsincos)(21

4、(2.1-4)这里这里 为系统的为系统的固有频率固有频率。mkn令令mkn(2.1-2)02xxn (2.1-3)这是这是二阶常系数线性齐次常微分方程。二阶常系数线性齐次常微分方程。 方程方程(2.1-1)改写为改写为对解的进一步讨论对解的进一步讨论sin ,cos21AAAAcos ,sin21AAAA设设 或或 (2.1-5)(2.1-6)2221AAA121tanAA2221AAA211tanAA得得 或或 式中常数式中常数A和和(=/2-)分别称为分别称为振幅和相角振幅和相角。方程。方程(2.1-7)说明该系统以说明该系统以固有频率固有频率n作作简谐振动简谐振动。tAtAtxnnsin

5、cos)(21解为解为 )cos()(tAtxn )sin()(tAtxn(2.1-7)或或简谐振动的定义及矢量表示简谐振动的定义及矢量表示 凡是系统响应可以用时间的凡是系统响应可以用时间的正弦函数正弦函数( (或余弦函数或余弦函数) )表示的振动，就是表示的振动，就是简谐振动简谐振动。 矢量矢量A与垂直轴与垂直轴x的夹角为的夹角为nt-，A在在x轴上的投影轴上的投影就表示解就表示解x(t)=Acos(nt-) 。当当nt-角随时间增大时角随时间增大时，意味着意味着矢量矢量A以角速度以角速度n按逆时针方向转动，其投影成按逆时针方向转动，其投影成谐波变化谐波变化。 图图 2.1-2振动周期振动周

6、期 振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振动周期振动周期。 在简谐振动的情况下，每经过一个周期，在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相位就增加相位就增加2，因此，因此n(t+T)+-(nt+)=2故有故有nT2(2.1-9) 实际上实际上T代表发生一次完整运动所需要的时代表发生一次完整运动所需要的时间，周期通常以秒间，周期通常以秒(s)计。计。振动频率振动频率 在单位秒时间内振动重复的次数，称为在单位秒时间内振动重复的次数，称为振振动频率动频率，一般用，一般用f 表示。表示。mkTfn2121(2.1-10)频率的单位为次频率的单位为次/ /秒，称为赫兹秒，

7、称为赫兹(Hz)。用初始条件表示自由振动系统微分方程的积分常数用初始条件表示自由振动系统微分方程的积分常数tAtAtxnnsincos)(2101xA 设在初瞬时设在初瞬时t=0，物体有初位移物体有初位移 与初速度与初速度 ，则代入式则代入式(2.1-4)及其一阶导数，振动系统对初始条件及其一阶导数，振动系统对初始条件 的响应为的响应为0 xx 0 xx 00 , xxtAtAtxnnnncossin)(21nxA02txtxtxnnnsincos)(00(2.1-10)2020nxxA 比较方程比较方程(2.1-4)和和(2.1-10)，并利用方程并利用方程(2.1-6)可以可以得到振幅得到

8、振幅A和相角和相角的值。的值。(2.1-11)001tanxxn或或001tanxxn弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动 当振动系统为静平衡时弹簧当振动系统为静平衡时弹簧在重力在重力mg的作用下将有静伸长的作用下将有静伸长kmgs(2.1-12) 在重力与弹簧力的作用下，在重力与弹簧力的作用下，物体的运动微分方程为物体的运动微分方程为)(xkmgxms (2.1-13)因为因为mg=ks，上式仍可简化为，上式仍可简化为kxxm 图 2.1-3 从弹簧的静变形可以方便的计算出振动系统从弹簧的静变形可以方便的计算出振动系统的固有频率。的固有频率。sgmk(2.1-14)s

9、ngkmgs静变形法测系统的固有频率静变形法测系统的固有频率 例例2.1-1 均匀悬臂梁长为均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为，弯曲刚度为EJ，重量不，重量不计，自由端附有重为计，自由端附有重为P=mg的物体，的物体，如图如图2.1-4所示。试所示。试写出物体的振动微分方程，并求出频率。写出物体的振动微分方程，并求出频率。 解：解：由材料力学知由材料力学知，在物体重力作用下，在物体重力作用下，梁的自由端将有静挠度梁的自由端将有静挠度EJPls33则频率为则频率为33mlEJgsn图 2.1-4例题：静变形法求系统的固有频率例题：静变形法求系统的固有频率（例（例2.1-1）例题：用振动微分方程求系统的

10、固有频率例题：用振动微分方程求系统的固有频率（例（例2.1-1） 这里，悬臂梁起着弹簧的作用，自由端产生单位这里，悬臂梁起着弹簧的作用，自由端产生单位静变形所需要的力就是梁的弹簧系数静变形所需要的力就是梁的弹簧系数33lEJPks 物体梁端的振动微分方程为物体梁端的振动微分方程为ylEJym33 033ymlEJy 即即则频率为则频率为3321mlEJf例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-2）sin2mglml 例例2.1-2 可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤( (直杆的重量和锤的体积都可以不计直杆的重量和

11、锤的体积都可以不计) )，组成单摆，亦称，组成单摆，亦称数学摆。杆长为数学摆。杆长为l，锤重为，锤重为P=mg，试求摆的运动微分方，试求摆的运动微分方程及周期。程及周期。 假定角假定角不大，可令不大，可令sin，则，则上式简化为上式简化为0lg 解：解：取偏角取偏角为坐标。从平衡为坐标。从平衡位置出发，以逆时针方向为正，锤位置出发，以逆时针方向为正，锤的切向加速度为的切向加速度为 ，故有运动微分，故有运动微分方程为方程为 l图 2.1-5例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-2）glTn22lgn2故故则振动周期为则振动周期为例题：列写振动微分方程

12、求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-3） 例例2.1-3 可绕水平轴摆动的物体，称为复摆可绕水平轴摆动的物体，称为复摆( (亦成亦成为物理摆为物理摆) )。设物体的质量为。设物体的质量为m，对轴，对轴O的转动惯量为的转动惯量为I，重心重心G至轴至轴O的距离为的距离为s，如图，如图2.1-6所示，求复摆微幅振所示，求复摆微幅振动的微分方程及振动周期。动的微分方程及振动周期。 解：解：取偏角取偏角为坐标，以逆时针方为坐标，以逆时针方向为正，复摆绕定轴转动的微分方程向为正，复摆绕定轴转动的微分方程可列为可列为 sinmgsI 假定角假定角不大不大，可令，可令sin，则上式简

13、，则上式简化为化为0Imgs 这就是振动微分方程。这就是振动微分方程。图 2.1-6例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-3）故固有频率故固有频率为为ImgsnmgsITn22则振动周期为则振动周期为例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-4） 解：解：设设 为圆盘相对于静为圆盘相对于静平衡位置的角坐标。微分方程平衡位置的角坐标。微分方程为为 例2.1-4 铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，组成扭摆，如图组成扭摆，如图2.1-7所示。设有力矩圆盘及圆轴下端绕所示。设有力矩圆盘及圆轴下端绕有转过某一角度有转过某一角度后突然释放，则圆盘将在水平面内进后突然释放，则圆盘将在水平面内进行扭转振动。已知圆轴的扭转弹簧系数行扭转振动。已知圆轴的扭转弹簧系数(使轴的下端产使轴的下端产生单位所需的扭矩生单位所