概率论与数理统计：6-2抽样分布

1、第二节第二节 抽样分布抽样分布一、基本概念一、基本概念二、常见分布二、常见分布三、小结三、小结一、基本概念一、基本概念1. 统计量的定义统计量的定义.),( ,),(,21212121计量计量是一个统是一个统则称则称不含未知参数不含未知参数中中若若的函数的函数是是的一个样本的一个样本是来自总体是来自总体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX.),(),(,21212121的观察值的观察值是是则称则称的样本值的样本值是相应于样本是相应于样本设设nnnnXXXgxxxgXXXxxx?,),(,22321哪些不是哪些不是些是统计量些是统计量判断下列各式哪判断下列各式哪为未知为未知为已知为已知其

2、中其中样本样本的一个的一个是来自总体是来自总体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是实例实例12. 几个常用统计量的定义几个常用统计量的定义.,2121是这一样本的观察值是这一样本的观察值是来自总体的一个样本是来自总体的一个样本设设nnxxxXXX(1)样本平均值样本平均值;11 niiXnX(2)样本方差样本方差 niiXXnS122)(11.11122 niiXnXn.11 niixnx其观察值其观察值其观察值其观察值 niixxns122)(11.11122

3、 niixnxn(3)样本标准差样本标准差 ;11122 niiXXnSS其观察值其观察值.)(1112 niixxns(4) 样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其观察值其观察值., 2, 1,11 kxnnikik (5)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik其观察值其观察值., 3, 2,)(11 kxxnbnikik., 2, 1,)( kAnXEkXkPkkk 时时则当则当存在存在记成记成阶矩阶矩的的若总体若总体证明证明, , 21同分布同分布独立且与独立且与因为因为XXXXn , , 21同分布同分布独立且

4、与独立且与所以所以kknkkXXXX.)()()(21kknkkXEXEXE 故有故有辛钦定理辛钦定理再根据第五章再根据第五章辛钦定理辛钦定理知知由以上定义得下述由以上定义得下述结论结论:由第五章关于依概率收敛的序列的性质知由第五章关于依概率收敛的序列的性质知),(),(2121kPkgAAAg .是连续函数是连续函数其中其中g;, 2, 1,11 kXnkPniki 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据的理论根据.3. 经验分布函数经验分布函数. )( 分布函数分布函数相应的统计量称为经验相应的统计量称为经验总体分布函数总体分布函数xF经验分布函数的

5、做法如下经验分布函数的做法如下:, 21的一个样本的一个样本是总体是总体设设FXXXn, , )( )( 21的随机变量的个数的随机变量的个数于于中不大中不大表示表示用用xXXXxxSn )( 为为定义经验分布函数定义经验分布函数xFn)( ),(1)( xxSnxFn . )( ,的观察值容易求得的观察值容易求得对于一个样本值对于一个样本值xFn ) . )( )(表示表示的观察值仍以的观察值仍以xFxFnn实例实例2 , 3 , 2 , 1 具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体 F )( 3的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数xF . 3, 1, 32,32, 21,31,

6、 1, 0)(3xxxxxF实例实例3 , 2 , 1 , 1 具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体 F )( 3的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数xF . 2, 1, 21,32, 1, 0)(3xxxxF一般地，一般地，,21样本值样本值的一个容量为的一个容量为是总体是总体设设nFxxxn , , 21按自小到大的次序排列按自小到大的次序排列先将先将nxxx,并重新编号并重新编号,)()2()1(nxxx )( 的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数xFn ., 1, 0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF. 10)()(suplim , )(

7、 1 )( , , xFxFPxFxFnxnxnn即即一致收敛于分布函数一致收敛于分布函数以概率以概率时时当当对于任一实数对于任一实数. )( , )( )( , 使用使用来来从而在实际上可当作从而在实际上可当作只有微小的差别只有微小的差别与总体分布函数与总体分布函数数的任一个观察值数的任一个观察值经验分布函经验分布函时时充分大充分大当当对于任一实数对于任一实数xFxFxFnxn格里汶科格里汶科格里汶科定理格里汶科定理1. 分布分布212,nXXX222212(3.1)nXXX设 是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量服从自由度为 n 的 分布分布，记为 .此处，自由度是指(3.1)式右端包

8、含的独立变量的个数。222( )n分布的概率密度为分布的概率密度为)(2n .00,e)2(21)(2122其他其他yynyfynn证明证明,2,21)1(2分布分布分布即为分布即为因为因为 ),1, 0( NXi又因为又因为),1(22 iX由定义由定义., 2, 1,2,212niXi 即即.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n ,21相互独立相互独立因为因为nXXX,22221也相互独立也相互独立所以所以nXXX分布的可加性知分布的可加性知根据根据 niiX122 .2,2 n 分布的性质分布的性质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221n

9、nnn 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性 ( 此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形. ).(,), 2, 1(),(21212222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若证明证明),1, 0( NXi因为因为, 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD 3 12, ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n )(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方

10、差 分布的分位点分布的分位点 2 .)()(d)()(, 10,22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnyyfnPn .,分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求对于不同的对于不同的 n,de21)1 , 0(),1 , 0(22 xzXPzNNXzx满足满足分位点分位点的上的上服从标准正态分布服从标准正态分布设设., 可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求 z05. 0z附表附表2-12-1025. 0z根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知.1 zz ,645. 1 ,96. 1 附表附表2-22-

11、2例例1分位点满足分位点满足的上的上设设 )(),(22nnZ,d);()()(222 nynynZP .,)(2可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求n )8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 附表附表4-14-1附表附表4只详列到只详列到 n=45 为止为止.,535.17 ,247. 3 附表附表4-24-2.382.34 附表附表4-34-3例例2在在Matlab中求解中求解.)12(21)(,22分位点分位点是标准正态分布的上是标准正态分布的上其中其中充分大时充分大时当当 znznn 例如例如2205. 0)99645. 1(21)50( .221.67

12、 利用上面公式利用上面公式,费舍尔资料费舍尔资料而查详表可得而查详表可得.505.67)50(205. 0 .,45 分位点的近似值分位点的近似值上上时时可以求得可以求得 n费舍尔费舍尔(R.A.Fisher)证明证明:).(,/,),(),1, 0(2ntttnnYXtYXnYNX记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布.学生氏资料学生氏资料 tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt分布分布t2.随机数随机数演示演示分布函数与密度函数演示分布

13、函数与密度函数演示图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当 n 充分大时充分大时, 其其图形类似于标准正图形类似于标准正态变量概率密度的态变量概率密度的图形图形.,e21)(lim22tnth 因为因为,)1 , 0(分布分布分布近似于分布近似于足够大时足够大时所以当所以当Ntn.)1 , 0(,分布相差很大分布相差很大分布与分布与但对于较小的但对于较小的Ntn.)()(d)()(, 10,)(分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntnttthnttPnt .分位点的值分位点的值得上得上可以

14、通过查表求可以通过查表求 由分布的对称性知由分布的对称性知).()(1ntnt .)(,45 zntn 时时当当分布的分位点分布的分位点 t分位点满足分位点满足的上的上设设 )(),(ntntT,d);()()( ntynytntTP .,)(可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求nt )10(05. 0t附表附表3-13-1,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 附表附表3-23-2例例3在在Matlab中求解中求解).,(,),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为记为布布分分的的服从自由度为服从自由度为随机变量随机变量则称则称独

15、立独立且且设设 分布分布F3.随机数随机数演示演示分布函数与密度函数演示分布函数与密度函数演示分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF ., 0, 0,1222)(2212112221212111其他其他ynynnnynnnnynnnn 图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F根据定义可知根据定义可知,).,(1),(1221nnFFnnFF则则若若分布的分位点分布的分位点F.),(),(d)(),(, 10,2121),(2121分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 nnFnnFyynnFFPnnF 分位点满足分位点满足分布的上分布的

16、上设设 ),(21nnF.,),(21可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求nnF )8 , 7(025. 0F)30,14(05. 0F附表附表5-15-1,d)(),(),(2121 nnFyynnFFP ,90. 4 .31. 2 附表附表5-25-2例例4在在Matlab中求解中求解:分位点具有如下性质分位点具有如下性质分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 证明证明),(1 211nnFFP 所以所以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因为因为,),(11 211 nnFFP故故),(1

17、 12nnFF因为因为,),(1 12 nnFFP所以所以, ),(),(11221-1nnFnnF 比较后得比较后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 28. 01 .357. 0 . 分位点分位点的一些上的一些上用来求分布表中未列出用来求分布表中未列出 4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方差的分布定理一定理一)./,(, ,),(,2221nNXXNXXXn 则有则有是样本均值是样本均值的样本的样本是来自正态总体是来自正态总体设设.),(2有以下两个重要定理有以下两个重要定理的样本均值和样

18、本方差的样本均值和样本方差正态总体正态总体 N定理二定理二.(2);1()1(1),),(,22222221独立独立与与则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本的样本的样本是总体是总体设设SXnSnSXNXXXn ).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本样本样本的的是总体是总体设设证明证明),1 , 0(/NnX 因为因为),1()1(222 nSn 且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定义知分布的定义知)1()1(/22 nSnnX ).1( nt定理三定理三则有则有差差分别是这两个样本的方分别是这两

19、个样本的方值值分别是这两个样本的均分别是这两个样本的均设设且这两个样本互相独立且这两个样本互相独立的样本的样本总体总体具有相同方差的两正态具有相同方差的两正态分别是分别是与与设设,)(11,)(11,1,1,),(, ),(,2121211222212121121122212121 niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX 定理四定理四, (2);1, 1(/(1)222212122212221时时当当 nnFSS.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中其中 证明证明 (1) 由定理二

20、由定理二),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222 nSn , , 2221独立独立由假设由假设SS 分布的定义知分布的定义知则由则由F1), 1()1()1()1()1(21222222211211 nnFnSnnSn . )1, 1(/ 2122212221 nnFSS 即即 221221, nnNYX 因为因为212111)()( nnYXU 所以所以),1 , 0( N(2),1()1( 122211 nSn 由由),1()1(222222 nSn 分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2, 2211)1( SnV2222)1( Sn

21、),2(212 nn .,分布的定义分布的定义按按相互独立相互独立与与由于由于tVU)2/(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt辛钦定理辛钦定理), 2 , 1()(,21 kXEXXXkn 望望一分布，且具有数学期一分布，且具有数学期相互独立，服从同相互独立，服从同设随机变量设随机变量. 11lim,1 nkknXnP有有则对于任意正数则对于任意正数附表附表2-12-1标准正态分布表标准正态分布表z01234567890.01.00.50000.53980.57930.6

22、1790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.5

23、9100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.5

24、6360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.5

25、3590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表附表4-14-1=50.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.6

26、8415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821