数学考试准备

1、数学考试准备向量范数与矩阵范数一、 向量范数的定义及性质 1、定义设是域上的向量空间，若对任意的，都有一个实值函数满足：（1） 非负性：，且当且仅当时，（2） 齐次性：，（3） 三角不等式：，则称为上的向量范数。2、常见的向量范数 设是复数域中的任一向量，则1- 范数：2- 范数：范数：3、向量范数的性质性质1：设向量杂基下的坐标为：和则有： 证明：因交换的位置，有即又因为： 性质2 向量的2-范数和内积满足不等式证明：首先我们利用内积的性质，证明事实上，由内积的非负性得到： 对及，有由判别式 其次，由2-范数的定义= ，即Exp4.设为实数，证明：证明：记，定义内积：则，由不等式：得到 定义

2、：设，是有限维线性空间上的任意两种范数，若存在两个正常数，使得对有： 则称向量范数，是等价的。由范数的等价性定义，可以得到：性质3 内积空间中的1-范数，2-范数及范数相互等价:证明：显然，由1，2及范数的定义不难得到如下关系： 所以，另一方面， =而显然成立，即 所以，这表明：三种向量范数相互等价。一、 矩阵范数1、设矩阵，若存在一个非负实值函数满足下列条件：（1） 非负性 ，等号当且仅当时成立（2） 齐次性 ，（3） 三角不等式：（4） 相容性：则称为上的一个矩阵范数不难验证： 满足上述性质，因而是一种矩阵范数，称为范数或范数。2、算子范数定义：设给定上的一种向量范数（），若相应的矩阵范数

3、满足 则称是与向量范数相容的矩阵范数。定理：设给定一种向量范数（），对于，记 =则是一矩阵范数，称之为由向量范数导出的矩阵范数（或算子范数）。显然，当时，可得到与相容的算子范数为：-矩阵的1-范数从式中可以看到，矩阵的1-范数，是将矩阵的每列元素的绝对值相加，取最大值，故又称矩阵的列范数。当时，可得到与相容的算子范数为：-矩阵的范数，又称矩阵的行范数当时，可得到与相容的算子范数为：这里，为矩阵的共轭矩阵，当为实矩阵时，是矩阵的特征值。特别，当矩阵为实对称阵时，-（矩阵特征值绝对值的最大值） 设矩阵计算的各种算子范数解：显然， =， ，故=线性方程组迭代格式的构造及收敛性的讨论。1、三对角方程组

4、的追赶法在样条函数的计算，微分方程的数值求解中，常遇到如下形式的方程组： （3.1.9）记成 （其中是三对角阵）如果满足高斯消去的可行条件，可以用高斯消去法直接求解，注意到系数矩阵的三对角性质，采用对矩阵的直接三角分解，即分解后解三角方程组比较简单。不难验证，对三对角矩阵的分解具有如下形式：=追赶法过程分为两个：追过程： 逐步增大赶过程：逐步减少 用追赶法求解线性方程组，并写出矩阵L和U.解：设=，=，=，=因=2，=-1，由追赶法得 =2，=，=-=2-=，=-=2-=即 =，=由=由=二、迭代和迭代1、迭代 用迭代法解方程组解：不难求得方程组有精确解：，如采用迭代法将方程组改写成： 得到迭

5、代格式， 矩阵形式为： 它的迭代矩阵为 显然，因此上述迭代格式是收敛的.如果取迭代初始值，可得到迭代序列：0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0.5 0.75 0.875 0.9375 0.9688 0.9844 0.9922 0.9961 0.99810 -0.5 -0.75 -0.875 -0.9375 -0.9688 -0.9844 -0.9922 -0.9961 -0.9981将线性方程组改写为迭代时的等价方程组使是应用迭代法求解线性方程组的关键.一般地假设方程组系数矩阵的对角元，则由方程组的第个方程解出，得到一个同解方程组：相应地迭代格式为： (4.7)或写成： 称为迭代格式.

6、如果取迭代初始值，可得到迭代序列.其迭代矩阵为：，为了得到迭代矩阵与系数矩阵的关系，我们对系数矩阵进行如下分裂，记=，=，=则=-，同时 相应迭代格式为，即 =称为迭代矩阵。为了计算迭代矩阵的谱半径，需要计算的特征值，为此可以考虑特征方程如果，则算法是收敛的. 用迭代法求解下列方程组 解：容易验证方程组有精确解 取迭代初始值2、迭代法一般地，迭代法的具体格式如下：(4.8)其矩阵表示式为： 整理得 其中，=，称为迭代矩阵.注：（1）的特征方程 利用上式计算出矩阵的特征值，根据谱半径可以判别出迭代是否收敛. 设有线性方程组 试写出迭代，迭代，迭代格式解：迭代格式 迭代格式 设有线性方程组试证明：

7、在迭代求解时，用迭代发散，而用迭代收敛。解： 因 =，=，=，=所以，迭代矩阵为=迭代矩阵为=由，得到特征值为：，由，得到特征值为：，所以，迭代发散，迭代收敛。设有线性方程组证明：该方程组用迭代法求解时，对任意的初始向量收敛，而用迭代法时求解时不是关于任意的初始向量收敛证明：因 =，=，=，=，：，即用迭代法求解时，对任意的初始向量收敛，而用迭代法时求解时发散，但这种发散的含义是指此时用迭代发求解时，对某些初始向量收敛，而对某些初始向量却发散。 对线性方程组 ，证明：在用迭代和迭代法求解时，这两种方法要么同时收敛，要么同时发散。证明：因迭代的特征方程即 ，当时，；当时，；当时，综上有迭代的特征

8、方程为 ，即， ，显然，当时，即两种迭代法同时收敛；时，由迭代收敛的充要条件知，两种迭代法都发散。非线性方程组的数值解法二、非线性方程的不动点迭代法1、 基本迭代法及其收敛性为了求一元非线性方程 （4.3）的实根,首先将它转化为等价形式 (4.4)如果满足方程,则也满足,反之亦然.称是方程(4.3)的根,是方程(4.4)的不动点.从而求的根的问题转化为求的不动点.一般来说,不可能从中直接得到不动点,需要先给出根的一个猜测值(称为初始值),然后代入方程(4.4)式构造迭代格式 (4.5)由此得到序列.若此序列有极限,即,则就是的不动点,也是方程的根。（4.5）式称为基本迭代法，也称为不动点迭代法

9、，称为迭代函数。由于迭代过程中仅有决定，因此称这种迭代格式为单步法。 求的一个实根解：将它转化为两种不同的等价形式，及对应的迭代法分别为 （1） （2），由于，即连续函数在区间1，2上变号，从而1，2为有根区间。现取它的中点为初始值，迭代结果列于下表，可以算得此方程有唯一实根=1.32471795724475 0 1 2 11方法（1） 15135720881133086096132471796方法（2）15237500000123964844从计算结果中可以看出，方法（1）收敛，方法（2）发散。 求的根解：将它转化为等价形式 ，得到迭代法 ，取初值迭代结果如下 0 1 2 3 4 5 101

10、51416667141421614142141414214-10-15-1416667-1414216-1414214-1414214这说明，基本迭代法的收敛性取决于迭代函数的构造及初值的选取。利用压缩映内定理证明非线性方程存在不动点定理1：设函数在闭区间上连续，并且满足（1） 映内性 ，（2） 压缩性 即存在常数（称为压缩系数），使得 ，则（1） 函数在闭区间上存在唯一的不动点（2） 对于任意的初值，由迭代法生成的点列都在区间中，并且收敛到，即（3） 有误差的估计式 （4。6）证明：（1）设，由的映内性 可以得到 ，由连续函数的零点定理得到，在区间上有零点，即在闭区间上存在不动点。若在闭区间

11、上存在两个不同的不动点及，则 这是个矛盾，因此函数在闭区间上存在唯一的不动点（2）由压缩性 ，注意到，有，即（3） 由压缩性 同时，对任何正整数，可得到 注意到，有 故 令得到 2、局部收敛与收敛的阶对于迭代函数，如果能找到满足映内性和压缩性的比较“大”的区间，那么不难由基本收敛定理1求出一元方程的根，从这个意义上说，可以称定理1为全局收敛定理。但一般来说这不是一件容易的事。如果无法找到这样的区间又如何？根据不动点迭代的几何意义，应设法寻找靠近不动点的初值，这时收敛的迭代法生成的点列会很快逼近不动点。如果无法给出靠近不动点的初值，那么可以试算，当试验值选择得比较合适，收敛算法生成的点列将很快逼

12、近不动点。而对于不收敛的算法，则无论选取什么初值都不会收敛。因此对非线性方程的迭代来说，重要的是在不动点的领域上收敛，即所谓的局部收敛性。为此我们给出局部收敛性的定义。定义：设是的不动点，若存在的一个闭邻域使得对任意的，由迭代格式产生的序列都收敛到，则称迭代过程在的闭领域上是局部收敛的。下列定理称为局部收敛定理，它给出了局部收敛的一个充分条件。定理2：设是的不动点，若在的某个领域上连续，并且有，则不动点迭代法局部收敛。证明：根据假设条件，存在的闭邻域及某个常数，使 ，从而有对 这说明，是映内的，同时也是压缩的。因此不动点迭代是收敛的。由局部收敛的充分条件，以及前面不动点迭代的构造可知，对同一个

13、一元方程，我们可以构造不同的不动点迭代，如果满足局部收敛的充分条件，则对领域内的任意点作为初值都会收敛到不动点。那么如何来比较各种迭代的好坏呢？我们可以通过引进收敛的阶来衡量迭代法的收敛快慢。定义：设序列收敛到，记误差，若存在实数，及非零常数，使得 (4.7)则称序列是阶收敛的，且称为渐近误差常数；当，称为线性收敛；当时称为超线性收敛；当时称为二次收敛或平方收敛。一般地，如果迭代格式产生的序列是阶收敛的，我们就称迭代格式是阶收敛的。由定理2及阶收敛的定义不难得到如下结论：定理3 ：设是的不动点，若在的某个领域上连续，并且，即有，则不动点迭代法是线性收敛的。证明：因为 = =其中，在与之间，从而

14、 再由收敛阶的定义可知，迭代是线性收敛的。 求方程的根解：构造不动点迭代格式： 不难有图形可知，曲线与仅有一个交点，即仅有一个不动点。注意到 ，且因此，由定理3可知，不动点迭代是线性收敛的。如果取初值，终止准则为 定理4 设是的不动点，若有正整数，使迭代函数在的邻域内满足连续，且，则不动点迭代局部收敛，迭代误差满足 (4.8)从而方法是阶收敛的。证明：首先由得到方法是局部收敛的，其次由展式得到 =+注意到： =，即= 考虑前面出现的方程，显然根为 如果构造迭代函数则有 ， ， 从而不动点迭代是平方收敛的。 如果构造迭代函数则有 ，但因此不动点迭代是线性收敛的。三、非线性方程的迭代法 ， (4.

15、16)(4.16)称为牛顿（）迭代法。在牛顿迭代法中每次迭代都要计算，比较麻烦。因为在的邻域内取，以至于都在该邻域内。从而当较小时，可以用近似地替代，就得到迭代格式 ， (4.17)称该迭代法为简化牛顿法。关于牛顿迭代法的收敛阶，有如下定理。定理6 设是方程的根，在的某个邻域内有连续，则存在，当时，由牛顿迭代法（4.16）产生的序列是以不低于二阶的收敛速度收敛于。定理7 设对于方程，在上有二阶连续的导数，且满足下面条件（1）（2）对任意的，（3）存在，使则由牛顿迭代法（4.16）产生的序列收敛于的根，且有 定理 8 对方程，在上有二阶连续的导数，且满足下面条件（1）（2）对任意的，（3），则对

16、任何，由牛顿迭代法（4.16）产生的序列都收敛于的根。在上面介绍的牛顿迭代法及其收敛性的条件中，我们看到无论是定理6，定理7还是定理8，我们都看到有条件，该条件实际上隐含了在的某个邻域中方程仅有一个解，那么当是方程的重根时，牛顿迭代法的形式是什么？其收敛性又如何？假设是方程的重根，在的某邻域内有阶连续导数，因此时有 ，将，及在处展开成适当阶数的公式，有 = =，及 =其中均在与之间。由牛顿迭代函数可得 = =而 = = =由，所以对于的重根牛顿迭代法仍收敛，但只是线性收敛。 容易从上面的分析可知，如果要使，我们只需简单改变一下的形式，如取，则就有，并且可以由牛顿迭代的收敛条件推出此时的迭代方法

17、是平方收敛的。相应的迭代格式是 ，问题是我们并不知道是方程的几重根，因此很难选择上式中的，因而也就无法使用上面的迭代格式进行求解。一个修改的方法是令，由代数学的知识可知，如果是方程的重根，则是方程的单根。因而可以构造迭代函数 = （4.18）相应的迭代格式为： （4.19） 用二分法求方程在0，1内的根，若要求，需要二分多少次区间？解：对任意要求的精度，达到该精度所需的二分区间的次数可由下式确定 ，本例可通过上述公式算得 设有非线性方程，试构造下列迭代格式（1） 牛顿迭代法；（2）有重根时的牛顿迭代法；（3）离散牛顿法解：（1）牛顿迭代法 设，则迭代格式为 （2） 有重根时的牛顿迭代法， （3

18、） 离散牛顿法 ， 设，证明迭代格式，当时是一阶收敛；当时，至少二阶收敛证明：因为 所以，当时， =从而迭代格式是一阶收敛的。当时， =0由迭代收敛的阶的充要条件可知，迭代格式至少二阶收敛。 设，问（1） 应如何选取才能使迭代格式具有局部收敛性？（2） 取何值时该迭代法收敛最快？解：因，设是不动点，则=，=，另一方面，要使迭代法具有局部收敛性，则应满足 （1）当=时，由 当=时，由 即当或时，迭代法具有局部收敛性（2）因，所以要使迭代法具有最快的收敛性，则应满足，从而 由收敛定理可知此时的迭代法具有二阶的收敛性。利用压缩映射原理证明非线性方程组存在不动点压缩映射原理及不动点存在定理定义：设有映

19、射，若 ，则称在上是映内的，记为；又若存在常数，使得 ，则称在上是压缩的，称为压缩系数。注意，从定义可知，若在上是压缩的，则在上是连续的，但压缩会与所取的范数有关，即对一种范数是压缩的，但可能对另一种范数是不压缩的。给出了映内的映射的一个性质，即不动点的存在性，根据这一性质我们将给出压缩映射原理。定理1 （不动点存在定理）若在有界闭凸集上连续，并且映内，即，则在存在不动点。定理2 （压缩映射原理）设在闭集上是映内的，并且对某种范数是压缩的，压缩系数为，则（1）在上存在唯一的不动点（2）对任何的初值，迭代法(4.3.5)适定且收敛到，即由此产生的序列，满足，并且有误差估计式 ，从而有 设有非线性

20、方程组 将它写成等价的形式 并由此构造不动点迭代法 对于的非线性方程组，如果设，试证明对任一初始值由上面构造的迭代法产生的序列都收敛到的唯一解。证明：首先可以验证，对任意的有 ，因此迭代是映内的，同时，对任意的及有 = = = = 从而 +可见，在上是压缩的，因此由压缩映射原理结论成立。 设有非线性方程组 构造不动点迭代形式，其中 =如果，证明：对任意的，迭代法收敛证明：容易验证在上有 ，说明是映内的其次，对任意的，有 = 所以，对任意的有 故由压缩映像定理，迭代格式收敛。证明二、因为 ，所以=，而函数，在上有 ，因此，由局部收敛定理，对任意的，由迭代法产生的序列收敛到它的不动点。插值、拟合三

21、弯矩算法下面我们介绍一种只需解不超过阶线性方程组的方法三弯矩算法.假设在节点处的函数值为，要求三次样条插值函数的表达式.注意到在每个小区间上是三次多项式，因此在此小区间上是一次多项式，如果在小区间的两个端点上的值能知道，设，则的表达式可以写成： =+（用端点处的线性插值表示）其中，. 将积分两次 = =+ =+ =+将插值条件，代入上式得到 =-=- =-=-所以，=+-+-，上式中诸都是未知的，要将它们求出，可以对上式求一阶导数，得 =+=+其中，为一阶均差.利用在内节点处的连续性 =- =+或等价于：=+由=得+=-若记则上式可以简单地表示成+ （）这是关于弯矩，的线性方程，称之为三弯矩方

22、程.可以看出，方程组中含有，共个变量，但只有个方程，所以另外两个方程应由边界条件得到.可以证明：第一边界条件：相应方程组的矩阵形式为： = 对于给定的插值条件 0 1 2 3 0 1 1 0求出满足边界条件，的三次样条插值函数.解：记，；，计算二阶差分： 0 0 1 1 1 0 2 1 -1 3 0 注意到：=，所以 三次样条插值函数为 =+-+-=+-+-因满足第一边界条件，故=（=）=（=）=6=，=6=.所以，关于，的方程组为：=解得=0.2667，=-0.5333，=-4.1333，=11.0667当0，1时： =0.2667+（-0.5333）+（0-0.2667）+1-（-0.53

23、33）=0.04445-0.08888-0.0445+1.08888当1，2时：=（-0.5333）+（-4.1333）+0-（-0.5333）+1-（-4.1333）=-0.08888-0.68888+1.08888+1.68888当2，3时：=（-4.1333）+11.0667+0-（-4.1333）+1-11.0667=-0.68888+1.84445+1.68888-1.84445广义逆矩阵及其应用一、 矩阵的满秩分解定理4：设矩阵，则A可分解为，其中满秩矩阵与分别是列满秩矩阵和行满秩矩阵。我们称上式为矩阵A的满秩分解。证：因为，根据矩阵的初等变换理论，对A进行初等行变换，可以将A化为

24、阶梯形矩阵B，即其中是秩为r的行满秩矩阵于是存在有限个m阶初等矩阵的乘积，记作P，使得，或者再将分解为，其中，均为列满秩矩阵。所以得到。显然，任一非零矩阵都可以分解为一个列满秩、行满秩矩阵的乘积，并且满秩分解是不唯一的。例2.4.2：设矩阵，求的满秩分解解：对矩阵进行初等行变换，得到 其中，注意到，且矩阵的阶梯阵中的1，3两列线性无关，因此选择矩阵的1，3列构成矩阵，所以矩阵的满秩分解为： =1、广义矩阵的概念定理1：对任意的，存在唯一的广义逆广义逆的计算（1）矩阵的满秩分解设的秩为，如果存在列满秩矩阵和行满秩矩阵，使得 则称之为矩阵的满秩分解（最大秩分解）。定理2：设的秩为，则的满秩分解必存

25、在。证明：设，则矩阵经过初等变换必可化为等价标准形即，存在非奇异矩阵，使得 ，从而 =其中，分别为列、行满秩矩阵。定理2不仅给出了矩阵的满秩分解的存在性，实际上也给出了如何进行矩阵满秩分解的方法，但工作量较大。下面介绍一种利用矩阵的行最简形求矩阵满秩分解的简便方法，即将矩阵初等行变换到简化阶梯阵，则矩阵的所有非零行构成的矩阵即为满秩分解中矩阵。再设矩阵是一个可以将矩阵通过列调换成的矩阵，则。 设矩阵，求的满秩分解解：首先将矩阵进行初等行变换到简化阶梯阵 =则取矩阵 ，则=，从而=，故 =（2）广义逆的求法定理3 设的秩为，且为矩阵的满秩分解，则 = 求中矩阵的广义逆。解：由上面的讨论知，矩阵的

26、一个满秩分解为 ，则=，=，所以= =（3）广义逆的性质性质1 当时，=；当时，=性质2 ； ，其中性质3 ；性质4 值得注意的是，逆矩阵的许多性质，一般不具备，如对可逆矩阵，有，但，等。1、 广义逆矩阵的应用这里我们主要介绍广义逆矩阵在线性方程组的极值解及其在数据拟合中的应用。（1） 线性方程组的极小范数解对于相容的线性方程组，它的解一般是不唯一的，但在一些实际问题中，需要在它的解中求出使其的范数为最小的解，即 其中，称为该方程组的极小范数解。定理4 相容线性方程组存在唯一的极小范数解在数据处理等实际问题中，所涉及的线性方程组往往是不相容的，此时。因此人们转而寻找该方程组在某种意义下的“近似

27、解”。这种近似解当然不是指对精确解的近似（因为精确解并不存在），而是指在所有的维列向量中寻求使得为最小的向量。这种近似的一种度量是使得范数为最小，称满足这一条件的向量为矛盾方程组的最小二乘解。方程组的最小二乘解是不唯一的，我们成其中具有范数最小的一个解称为极小范数最小二乘解或最佳逼近解。定理5 矛盾方程组的全部最小二乘解为 =其中，是任意的维列向量。而方程组的唯一极小范数最小二乘解为。下面给出矛盾方程组的最小二乘解的两个等价条件。定理6 维列向量是矛盾方程组的最小二乘解的充分必要条件是它是相容方程组的解 维列向量是矛盾方程组的最小二乘解的充分必要条件是它是相容方程组 的解，称该方程组为正规方程

28、组或法方程组。从上面的讨论我们可以得到用广义逆求解线性方程组的一些完整的结论：1、 方程组相容的冲要条件是（否则称为矛盾方程组）2、 =是相容方程组的通解，或是矛盾方程组的全部最小二乘解。3、 是相容方程组的唯一极小范数解，或是矛盾方程组的唯一极小范数最小二乘解4、 求矛盾方程组的最小二乘解，等价于求法方程或正规方程组的解。 用广义逆矩阵方法判别方程组 是否相容？如果相容，求通解和极小范数解；如果不相容，求全部最小二乘解和极小范数最小二乘解。解：方程组的系数阵和常数阵为 ，首先可以求得 因 =，所以方程组不相容，故全部最小二乘解为 = =+极小范数最小二乘解为 =计算过程中因涉及广义逆的计算，

29、因此工作量较大，但当矩阵列满秩时，因此方程组的极小范数最小二乘解，即为等价方程组的唯一解。 用最小二乘法求下列超定方程组的近似解解：因为 =，=，显然列满秩求该方程组的最小二乘解，即求相应等价方程组 的解。且求出的是方程组的极小范数最小二乘解。=，=故得方程组解得：=0.79272，=-1.4641（2） 最佳数据拟合问题设，是一组观察数据，若存在函数，使 达到最小，则称为数据的最佳拟合曲线。当是多项式函数时，即为我们在前面介绍的多项式拟合问题。数值积分（一）数值积分的基本方法插值型求积公式设给定一组节点，且已知函数在这些节点上的值为，则可做出的次插值多项式=其中，=.由于是代数多项式，其原函

30、数是容易求得的，我们取 =作为=的近似值.于是构造出一种求积公式：定义：设有计算=的求积公式 = （5.4.1）如果其求积系数=（）则称此求积公式为插值型求积公式.(二) 梯形公式、公式和公式当时，若取，则有： = =代入公式（5.4.1）得到=+ 记 =+ (5.4.2)称为计算梯形公式.用代替产生的误差为满足=-利用端点及的一阶线性插值 =+的余项=（）可以得到 = =-（）当时在区间取三个节点，则有二次插值多项式：=+令= (5.4.3)于是，.称是计算的公式.当时在区间插入5个等距节点（），则相应的插值型求值公式为：= (5.4.4)则称是计算的公式.（三）插值型求积公式的截断误差与代

31、数精度1.截断误差一般地，记插值型求积公式的截断误差为，则=-=-=其中，.从中可以看出，如果是一个次多项式，则=0，即求积公式准确成立。2. 代数精度定义：如果一个求积公式 =对于次数的多项式均能准确成立，但至少对一个次多项式不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度.对于求积公式的代数精度，我们给出下面两个判断定理.定理1：求积公式 =至少有次代数精度的充分必要条件是它是插值型求积公式，即=（）定理2：求积公式=具有次代数精度的充分必要条件是该公式对=1，=，=精确成立，而对=不精确成立. 证明公式 =具有三次代数精度.证明：公式是二次插值型求积公式，由定理1知它至少具有二次代数精度.当=时

32、，= = =.所以当=时，=.当=时，=，而=显然上式中的系数为，因而求积公式对=不准确成立，从而公式具有3次代数精度. 考察求积公式 具有几次代数精度.解：当=1时，=2=2当=，=0=0当=时， = =1所以，此求积公式具有一次代数精度.本例题说明3个节点的求积公式不一定具有二次代数精度，其原因是此求积公式不是插值型的. 求积公式 +已知其余项的表达式为=，.试确定系数，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出该求积公式的余项和代数精度的次数.解： 当=1时，=1 +=1当=时，= +=当=时，= =代入求得：=，=，=，从而 +，且求积公式的代数精度至少为2，能否更高有待验证.为此取当

33、=时，=，而+=说明当=时不能使求积公式准确成立，因而该公式只有2次代数精度.下面考虑余项，设 =+将=代入，得到 =+3！ =，即余项为=，.一般地，对未知量方程的个数不少于未知量的个数的求积公式，能够使求积公式达到尽可能高的代数精度.但是，由于高阶插值公式的数值不稳定，从而使高阶数值求积公式也存在不稳定性.所以当积分区间较大时，通常不用高阶求积公式，而将区间分段，在每一小段上用低阶求积公式（如公式），这种方法称为复化求积公式.(四) 复化梯形公式和复化为简单起见，将求积区间作等分，记，（），于是=并记=1. 复化梯形公式对每一个积分应用梯形公式：=则 记：= (5.4.5)则称为复化梯形公

34、式.显然，可以表示成 = (5.4.6)复化梯形公式的截断误差为 =-=-=-，2. 复化公式记=，对每一个积分=应用公式，得到：= (5.4.7)通过简单化简得到= (5.4.8)其截断误差（余项）为 =-=-， 分别用复化梯形公式和复化公式计算，如要使误差不超过，问应各取多少个节点？解：由复化梯形公式和复化公式的余项估计=-=360=9说明如果采用复化梯形公式需取361个节点，但采用复化的只需取9个点. 对于=，利用下面给出的数据表计算积分=.0 4.00000000 3.93846154 3.76470588 3.50684932 3.20000000 12.87640449 2.560

35、00000 2.26548673 2.00000000解：该问题的精确解为 =3.141592653（1）采用复化梯形公式计算将积分区间0，1分为8等份，即取=3.13898850（2）采用复化公式计算 将区间0，1分为4等份，即取= =+ + =3.14159250比较与，它们都需提供9个点的函数值，工作量基本相同，但是精度却相差很大.只有3位有效数字，而却有7位有效数字.3.复化求积公式的收敛性与收敛阶定义：设有一个复化求积公式，如果存在与步长无关的非零常数，使得 =则称求积公式是阶收敛的. 显然，从复化梯形公式和复化公式的余项可以看出，是二阶收敛的，而是4阶收敛的. 对插值型求积公式的收

36、敛性，我们不作证明地给出如下结论：定理：设在区间上黎曼可积，则当插入分点无限增多，即且时，与收敛到积分.(五) 区间逐次分半求积法及外推技巧和数值积分的算法1. 区间逐次分半求积法在数值积分中,精确度是一个很重要的问题.复化的求积方法对提高精度很有效,但在公式使用之前必须给出合适的步长,步长取得太大,精度难以保证,步长太小则会导致计算量过大,并且积累误差也会增大,而事先给出一个合适的步长往往比较困难.为了避免这些问题,在实际计算中一个有效的方法是采用变步长求积方法.即在步长逐次分半的过程中,反复利用复化的求积公式,直到所求的积分满足精度要求.下面对复化的梯形公式,介绍区间逐次分半求积的方法.设

37、表示区间进行等份后的复化的梯形求积公式,则由复化梯形公式的截断误差表达式得到 = 如果再将每个小区间二等分,则有 = 假设在内变化不大,即,两式相除得到 从中解出,得到 (5.4.9)这说明,用作为积分的近似值,其误差约为,因此在实际计算红常用 (5.4.10)是否满足作为计算精度的要求条件.如果满足,则取作为积分的近似值,如果不满足,则再等分所有区间进行计算,直到满足精度要求为止.称这种方法为区间逐次分半求积法.由于及已经算出,所以误差控制(5.4.10)在计算机上很容易实现,这样也选取了合理的步长.为了便于计算机编程计算,常用如下的递推公式: (5.4.11)这样由计算时只需计算新增加节点

38、处的函数值.用类似的方法可以推出,对复化的公式进行区间逐次分半的终止条件 (5.4.12)以及基于复化公式的区间逐次分半的终止条件 (5.4.13) 用变步长梯形公式求积分解:, ,首先对区间0,1用梯形公式得到 =0.9207355其次,将区间0,1二等分,因,因此 再等分一次,计算新分点上的函数值, 依次类推,计算结果见下表 00.920735540.945985080.946082710.939793350.946059690.946083020.944513560.9460769100.946083130.945690970.9460815表中表示等分区间次数,等分区间数为,积分的精确

39、值为0.9460831.可见用变步长二等分10次可得到上述结果.梯形公式计算比较简单,但精度较差,收敛速度缓慢.如果要进一步提高精度,可采用相邻两次变步长积分值的组合,即所谓外推方法.2.外推技巧及原理在高等数学中,我们学到了如何将函数展开成级数.如果在附近有任意阶导数,则有 (5.4.14) (5.4.15)如果,那么用,近似替代时的阶都是.如果令 则有 这表明用近似的替代时的阶为,也就是说,通过简单的计算得到的新序列有可能比原序列更快地收敛到.如果我们对再折半步长通过消去主余项,则有可能得到更快地收敛到的序列.即 令 则有 依次下去,我们可以清楚的看到,当充分小时, 比更快的收敛到,而 =

40、这种利用若干已经算出的近似值作适当组合以求得更精确的近似值的加速收敛的方法称为外推算法. 具体计算时,就是用一列序列,去逼近精确值时,如果已知截断误差的形式,则我们可以对序列经过简单的组合通过消去截断误差中的主余项得到一新的序列,该序列将比原序列更快的收敛到精确值.数值计算中外推算法有很多,在这里我们将介绍数值积分中的外推方法算法。3、 数值积分的算法在数值积分的讨论中，我们介绍了梯形公式，公式，其原理是通过用一次或者二次插值多项式近似地替代被积函数通过积分得到的求积公式.鉴于高阶数值插值公式的数值不稳定性，因此当积分区间较大时，我们建议采用复化的梯形公式（Composite Trapezoi

41、dal Rule）及复化的（Composite Rule）公式,即将区间分段，在每个小区间上用梯形公式或公式.比较这两种复化求积公式，复化的梯形公式比复化公式收敛慢，精度低，这是梯形公式的缺点.但它的最大优点是算法简单，如果我们结合外推的方法，不仅可以使计算简单而且可以大大的提高计算的精度.这就是算法的基本思想.假设区间的一个等距分划：将区间分成个小区间，则复化的梯形公式为：=-， =- (5.4.16)，=.如果用变步长的方法不断的等分区间，即令：=1，=2，=4，=则我们可以得到一系列的复化梯形求积公式： =- =- (5.4.17)，.显然， =（梯形公式） = = = = =一般地，可以推得如下结论： =, (5.4.18) 利用公式（5.4.18）计算.：=0 =1.57079633 = =1.89611890 =1.1.97423160同理算得=1.99357034，=1.99839336.我们知道，积分的精确值是2，如果