第3章 电路的暂态分析

1、第三章第三章 电路的暂态分析电路的暂态分析 目录目录 习习 题题返回返回一、暂态过程一、暂态过程返回 稳态：电路中的电流，电压稳定不变或稳态：电路中的电流，电压稳定不变或者是时间上的周期函数，称为电路处于稳者是时间上的周期函数，称为电路处于稳态。态。 当一个稳态电路的结构或元件参数发生当一个稳态电路的结构或元件参数发生改变时，电路原稳态被破坏而转变到另一改变时，电路原稳态被破坏而转变到另一种稳态所经历的过程，称为电路中的种稳态所经历的过程，称为电路中的过渡过渡过程过程。由于过渡过程经历的时间很短，所。由于过渡过程经历的时间很短，所以又称为以又称为暂态过程暂态过程或或暂态暂态。 若开关在若开关在

2、t = 0 时时接通，电路中的电接通，电路中的电流逐渐增加，最终流逐渐增加，最终达到达到I=U/R, ,这是一这是一种稳态。种稳态。 +t = 0SRLULUSUR S打开时，电路中打开时，电路中的电流等于零，这的电流等于零，这是一种稳态。是一种稳态。在图示的在图示的RL电路中电路中返回二、产生暂态过程的原因二、产生暂态过程的原因内因内因：电路中存在储能元件（电路中存在储能元件（C、L） 电容与电感上存储的能量不能跃变，电容与电感上存储的能量不能跃变，所以，在含有所以，在含有C、L的电路中，从的电路中，从一种稳一种稳态到另一种稳态，要有一个过渡过程。态到另一种稳态，要有一个过渡过程。外因外因：

3、 换路换路 换路是指电路的结构或参数发生变换路是指电路的结构或参数发生变化。如开关的通断、短路、信号突然化。如开关的通断、短路、信号突然接入、电源电路参数的改变等。接入、电源电路参数的改变等。 换路时电路的状态会发生改变。换路时电路的状态会发生改变。返回三、换路定律三、换路定律 通常我们把换路瞬间作为计时起点。即通常我们把换路瞬间作为计时起点。即在在t0时时换路。把换路前的终结时刻记为换路。把换路前的终结时刻记为 t 0- -，把换路后的初始时刻记为，把换路后的初始时刻记为t0+。 在电容元件中，储存的电场能量为在电容元件中，储存的电场能量为WC=1/2CuC2,电容中的能量不能跃变，电容中的

4、能量不能跃变，表现为电容两端的电压表现为电容两端的电压uC不能跃变。不能跃变。iL(0+)iL(0)uC(0+)uC(0) 电感中的电流和电容两端的电压不能电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为跃变称为换路定律换路定律，表示为：，表示为：返回 换路定律适用于换路定律适用于换路瞬间换路瞬间，用它来确，用它来确定暂态过程的初始值。定暂态过程的初始值。 若若iL(0+)= iL (0)=0，uC(0+)= uC(0)=0，换路瞬间换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于，电容相当于短路，电感相当于断路。断路。 若若iL(0+)= iL(0)0，uC(0+)= uC(0) 0，换换路瞬间路瞬间，电容相当

5、于，电容相当于恒压源恒压源，电感相当于，电感相当于恒流源恒流源。 电路中其它电压电流在电路中其它电压电流在换路瞬间换路瞬间，用，用换路定律、换路定律、KVL、KCL定律联合求解。定律联合求解。返回CiL(t)t = 0+t = 0t =uC(t)uC(0+)=0uC(0 )=0uC(0 )=U0uC(0+)=U0iL(0+)=I0iL(0)=I0 iL(0- -)=0iL(0+)=0返回 例例1、在图示电路中，已知在图示电路中，已知R=1kUS=10V，L=1H，换路前电路已处于稳态，换路前电路已处于稳态，求开关闭合后的初始值。求开关闭合后的初始值。uLRUS解：解： S闭合前，电路已闭合前，

6、电路已 处于稳态处于稳态。 iL(0 ) = 0 在在S闭合的瞬间，根据闭合的瞬间，根据换路定律有：换路定律有： iL(0+)iL(0) = 0 uR(0+) = i(0+) R = 0uR(0+) + uL(0+) =US uL(0+)=10V 返回USSC2CC2例例2、已知已知US=10V，R1=2k，R2=3k换路换路前电路已处于稳态，前电路已处于稳态，求求: :t0时，时，S断开后电断开后电压电流的初始值。压电流的初始值。i1请慎重作出选择：请慎重作出选择：换路瞬间换路瞬间C相当于短路相当于短路换路瞬间换路瞬间C相当于恒压源相当于恒压源换路瞬间换路瞬间12换路瞬间换路瞬间1C返回你的

7、选择你的选择是错误是错误的的！题解题解习题习题通往天堂的班车已到站，通往天堂的班车已到站，恭喜你恭喜你!题解题解习题习题US2CC2i1解：解： t 0，电路稳态，电路稳态。 C 相当于开路，相当于开路，i1(0 )= i2(0 )=US/(R1+R2) = 2mAuC(0 )= i2(0 ) R2= 6V在在S断开的瞬间，根据换路定律有：断开的瞬间，根据换路定律有： uC(0 )= uC(0+ )= 6V, 而而 i2(0+ ) = 0i1(0+ )= iC(0+ ) = US uC(0+ ) /R1 =2mA返回uCUSLCC2解：解： t = 0，电路稳态，电路稳态 C 开路，开路，L短

8、路短路, iL(0 ) =US/(R1+R2) uC(0 )= iL(0 ) R2例例3、换路前电路已处于稳态，换路前电路已处于稳态， t0时时S断开断开,求求uC(0+ )、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+ )、iL(0+ )。L 在在S闭合的瞬间，根据换路定律有：闭合的瞬间，根据换路定律有： uC(0 ) = uC(0+ ), iL(0 ) = iL(0+ ) 所以有等效电路：所以有等效电路：返回R2uC(0+)iL(0+)R2 (0+)iC(0+)iC(0+ )= iL(0+ )=US/(R1+R2) uR2(0+ ) = iL(0+) R2 uC(0+ ) uL(0+ )= u

9、C(0+ ) uR2(0+ ) = 0返回 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 电路的全响应电路的全响应返回返回一、零输入响应一、零输入响应 如果在换路瞬间储能元件原来就有如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压电流，源存在，换路后电路中仍将有电压电流，这是因为储能元件要释放能量。这是因为储能元件要释放能量。 因此，将电路中无输入信号作用时，因此，将电路中无输入信号作用时，由电路内部在初始时刻的储能所产生的由电路内部在初始时刻的储能所产生的响应称为响应称为零输入响应零输入响应。返回1、换路后电路的微

10、分方程、换路后电路的微分方程S在在1位置位置 uC(0)= US (初始条件初始条件)S在在2位置位置 uR(t)+uC(t) = 0 uR(t) = i(t)R i(t) = CduC(t)/dt 得到得到一阶常系数线性齐次微分方程一阶常系数线性齐次微分方程d0dCCuRCut SuCRUS12uR返回2. 解微分方程解微分方程RCduC(t) dt+uC(t) = 0特征方程特征方程 : RCP+1= 0P =1/RCuC(t)= Aet/RC uC(0) = US有有 A = US通解为通解为 uC(t)=USe t/RC令它的通解形式为令它的通解形式为: uC=Ae pt代入方程得代入

11、方程得: (RCP+1) Ae pt = 0返回 显然显然uC、i、uR 都是按同样的指数规都是按同样的指数规律变化的，且都是按指数规律衰减，最律变化的，且都是按指数规律衰减，最后趋于零。后趋于零。i(t)=C duC(t)/dt =C d(USet/RC) dt =(US/R) et/RCuR(t) = i(t) R =US et/RC 令令=RC，称为，称为R、C串联电路的时间串联电路的时间常数，单位常数，单位s。返回变化曲线为变化曲线为:u、iUS uC(t)Us/R i(t)US uR(t)t uC(t)=USe t/RC返回O2. .时间常数时间常数 从上面的变化规律可知从上面的变化

12、规律可知, ,过渡过程过渡过程的快慢与的快慢与RC有关有关, , =RC 值越小值越小, ,暂态过程进行得越快；暂态过程进行得越快； 值越大值越大, ,暂态过程进行得越慢。暂态过程进行得越慢。当当t时：时： uC()=USe/ = USe1 =0.368US 也就是说，也就是说，零输入响应的初始值经零输入响应的初始值经过一个过一个 ，衰减为原来的，衰减为原来的36.8。 一般在一般在t(35)时时 uC(t)的值已很小的值已很小,可可认为暂态结束。认为暂态结束。返回USuC0.368US1t1 2 323返回O 二、零状态响应二、零状态响应 与零输入相反，如果在换路前储能与零输入相反，如果在换

13、路前储能元件没有能量储存，这种状态元件没有能量储存，这种状态称为零状称为零状态态。 因此，将电路中输入信号作用时，因此，将电路中输入信号作用时，所产生的响应称为所产生的响应称为零状态响应零状态响应。返回1. .换路后的微分方程换路后的微分方程 S在在1位置位置 uR(t)+uC(t) = USuR(t) = i(t)R i(t) = CduC(t)dt 得到一阶常系数线性非齐次微分方程得到一阶常系数线性非齐次微分方程uCRUS12uRS在在2位置位置 uC(0)= 0 (初始条件初始条件)SddCCuRCuUt 返回2 . 解微分方程解微分方程RCduC(t)/dt+uC(t) = USuC(

14、) = US uC(0) = 0 uC(t)=US(1e )t/RC令令=RC uC(t)=US(1e ) t/i(t)CduC(t)dt=(USR) et/uR(t) i(t) R US et/ 返回 显然显然i、uR 是按指数规律衰减，最后趋是按指数规律衰减，最后趋于零。于零。uC随随t不断增加，最后趋于不断增加，最后趋于US 。u、iUSUS/RiuRuCt 反映反映RC电路充电的速度。一般，经过电路充电的速度。一般，经过（35)的时间，可认为暂态结束。的时间，可认为暂态结束。 uC(t)=US(1e ) /返回OuUS0.632USuC(t)tuC(t)=US(1e 1)0.632US

15、当当t = 时时返回OuCRUS例、例、已知已知R=103k，US=100V，C=10F, , 换路前电路已处于稳态，换路前电路已处于稳态，求开关闭合后求开关闭合后5s、10s、30s时的时的uC值，并画出值，并画出uC曲线。曲线。解：解：uC(0)= 0 (初始条件初始条件)开关闭合开关闭合SddCCuRCuUt uC(t)=US(1e )t/RC =100(1e0.1t) t =5s uC = 39.4V t =10s uC = 63.2V t =30s uC = 95Vu/VuC(t)t100返回O 换路前换路前, ,储能元件有储能储能元件有储能, ,即非零状态即非零状态, , 这种状态

16、下的电路与电源接通，储能元这种状态下的电路与电源接通，储能元 件的初始储能与外加电源共同引起的响应件的初始储能与外加电源共同引起的响应 称为称为全响应全响应。三、电路的全响应三、电路的全响应 对于线性电路，全响应为零输入响应对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加。和零状态响应的叠加。 全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应返回1. 换路后的微分方程换路后的微分方程 t = 0, S闭合闭合uR(t)+ uC(t) = US 初始条件为初始条件为uC(0+)=uC(0) = U0 RCduC(t)dt+ uC(t)=US +USSi(t = 0) uRuCR

17、C 得到一阶常系数线性非齐次微分方程得到一阶常系数线性非齐次微分方程返回2. 解微分方程解微分方程通解形式为通解形式为: :uC(t)=US+Aet/uC(0)=U0U0=US+A , A=U0US所以所以RC电路的全响应为电路的全响应为: :uC(t)=US +(U0US)et/RCduC(t)dt+ uC(t)=US返回 3.对全响应的讨论对全响应的讨论(1)此时电容将放电，最后此时电容将放电，最后达到稳态值达到稳态值US。 全响应全响应稳态解稳态解+ +暂态解暂态解 U0 US 此时电容将充电，此时电容将充电，最后达到稳态值最后达到稳态值US。uC(t)=US +(U0US)et/返回U

18、0U0USU0USU0US放电放电充电充电 变化曲线变化曲线tuC返回O 全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应(2)uC(t)=US +(U0US)et/ = US USet/ + U0et/ =US (1et/ ) + U0et/ 可分别求零输入响应（令电源为零）；可分别求零输入响应（令电源为零）；零状态响应（令初始值为零），然后求叠零状态响应（令初始值为零），然后求叠加。加。返回+USS1i uRuCR1C例、例、已知已知R1=R2 =10，US=80V，C=10F, t=0开关开关S1闭合，闭合，0.1ms后，再将后，再将S2断开，求断开，求uC的变化规律。的

19、变化规律。(C上初始能量为零上初始能量为零)S2解：解：(1) 0 t 0.1msuC(t1+)=uC(t1 )=50.56V 全响应全响应uC(t)=US +(U0US)et/= 80V+(50.5680) et/V =(R1+R2)C=2104suC(t)=80V29.44e5000(tt1)V返回 一阶电路一阶电路 求解一阶电路的三要素法求解一阶电路的三要素法 三要素公式说明三要素公式说明 例题例题返回返回 只含有一个（或者可以化为一个）储只含有一个（或者可以化为一个）储能元件的线性电路，无论是简单的，还是能元件的线性电路，无论是简单的，还是复杂的，它的微分方程都是一阶常系数微复杂的，它

20、的微分方程都是一阶常系数微分方程分方程, ,这种电路称为一阶电路。这种电路称为一阶电路。一、一阶电路一、一阶电路 对于对于一阶电路，它的时域响应是从初一阶电路，它的时域响应是从初始值开始，按着指数规律变化，最终进入始值开始，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间常数常数。 因此将因此将初始值初始值、稳态值稳态值、时间常数时间常数 称称为为一阶电路的三要素一阶电路的三要素。返回二二、求解一阶电路的三要素法求解一阶电路的三要素法 用用f ( (t t) )表示电路中的某一元件的电压表示电路中的某一元件的电压或电流或电流, , f ()()

21、表示稳态值表示稳态值, , f (0+)表示初表示初始值，始值，为时间常数。为时间常数。全响应全响应= = 稳态分量稳态分量+ +暂态分量暂态分量f (t)=f ()+Aetf (t)=f () + f (0+) f ()e t只要求出只要求出f(0+),(0+),f()()和和 值值, ,即可直接即可直接写出暂态过程中电压写出暂态过程中电压, ,或电流的表达式。或电流的表达式。返回 f (0+) ：uC(0+)和和iL(0+)可用可用换路定律换路定律在换路在换路 前前的电路求，其它电压和电流要在的电路求，其它电压和电流要在 换路换路后后的电路中求得。的电路中求得。 f () ：进入稳态后进入

22、稳态后电容电容相当于相当于开路开路，电感电感 相当于相当于短路短路，可应用电路的分析，可应用电路的分析 方法计算电压或电流的稳态值。方法计算电压或电流的稳态值。三、三要素公式说明三、三要素公式说明 时间常数时间常数：在换路在换路后后的电路中求得的电路中求得 =R0C R0是换路后的电路中，从是换路后的电路中，从C两端看进去的两端看进去的 将将恒压源短路恒压源短路，恒流源开路恒流源开路后的等效电阻。后的等效电阻。返回例例1、图示电路中图示电路中,IS=6mA, C=0.1F, R1=6k, R2=1k, R3=2k，换路前处于稳态，在，换路前处于稳态，在t = 0时将时将S闭合闭合, 试求试求u

23、C(t)，画出曲线。，画出曲线。SR2R3R1IS解解: :uC(0+)=uC(0)S16 6 V36VI R （）C 1S31236 6 2V8V6 12CRuIRRRR = (R1+R2) / R3 C =0.155103s uC(t)=uC()+uC(0+) uC()et/ = 8V+(368)e6430t V =8V28e6430t VuC /V t/s36 8返回O例例2、图示电路中，图示电路中，IS=8mA，C=4F, R1=2k，R2=3k，R3=1k，R=5k ，E=10V，换路前处，换路前处于稳态，在于稳态，在t = 0时将时将S由由1打向打向2，试求，试求uC(t)，画出，

24、画出曲线。曲线。SRR2R3R1ISE解解: :uC(0+)=uC(0)S21212VRIRRRR C 2126VCERuRR = (R1/R2)+R3 C=8.8103s uC(t)=uC()+uC(0+) uC()et/ = 6V+(126)e114t V =6V+6 e114t V12uC /V t/s12 6返回OUSKCCir例例3、图中电路原已稳定，求开关闭合后的图中电路原已稳定，求开关闭合后的 uC 和和 iK 。解：解：iC uC(t)R (USR) et/RCir= US / rKSSerCtRCiiiUUrR uC(0+)=uC(0) = USuC()= 0 uC(t)=U

25、Se t/RC = RC返回例例4、图示电路中图示电路中U=20V,R=50k,C=4F,在在t=0时闭合时闭合S1,在在T=0.1s时闭合时闭合S2,试求试求S2闭闭合后的合后的uC(t),并画出曲线并画出曲线,设设S1闭合前闭合前uC=0。US1S2CuC(t)RR解解:S1闭合后闭合后:uC(0+)=uC(0)=0 uC()= U = 20V 1= RC = 0.2suC(t)=uC()+uC(0+)uC()et/ =20(1e5t)V返回当当t0.1s时时 uC(0.1)=20(1e5t)V 7.87V 2= (R/R) C =2.51044106 s= 0.1suC(t)=uC()+

26、uC (0+) uC()et/ = 20V12.13e10(t0.1)VUCuC(t)RRS2闭合后闭合后:uC(0+)=7.87V uC()=U=20V返回S1S2变化曲线如图变化曲线如图uC20V7.87VO0.1st10.2s20.1s返回例例5、已知，已知，U=10V,R1=10k,R=15k,C=50F,换路前处于稳态，在换路前处于稳态，在t=0时打开时打开S1, 经过经过1s后打开后打开S2,试求试求uC(t)，并画出曲线。，并画出曲线。US1S2CuC(t)R1R解解:uC(0+)=uC(0- -)=U/2 =5V uC()= 01= RC = 0.75suC(t)=uC()+u

27、C(0+)- -uC()et/ =5e1.3t VR返回US1S2CuC(t)R1RR当当t =1s 时时 uC(1)=5e1.3V 1.36VS2打开打开:uC(0+)=1.36V uC() =0V 2= (R+R1) C =2.510450106 s= 1.25suC(t)=uC()+uC(0+) uC()et/ = 1.36e0.8(t1)V返回变化曲线如图变化曲线如图uC5V1.36VO1st 1=0.75s 2= =1.25s返回例例6、已知，已知，U=90V，R=60 ，r =30,C=10F,换路前处于稳态，换路前处于稳态，在在t0时闭合时闭合S，试求试求uC(t) ,经过经过0

28、.4ms后又打开后又打开S，试求，试求uC(t)。USRRrrC解解:S闭合闭合前前:uC(0+)=uC(0)=UR/ /(R+r) = =60V CRruUU(R r)(R r) =60V30V=30V42410sRrCRr 返回USRRrrCuC(t)=uC()+uC(0+)uC()et/ = 30 V+ 30e2500t V当当t1 =0.4ms 时时 uC(t1)= 30V+30e2500t1 V 41VuC()=UR/(R+r) =60V 4510sRr( r)CRr uC(t)= 60 +(4160)e(tt1)/V = 60V19e2000(tt1)V返回第四节第四节 RL电路的

29、暂态过程电路的暂态过程 一阶一阶RL电路的三要素法电路的三要素法 例题例题返回返回 求解求解RL电路的暂态过程与求解电路的暂态过程与求解RC电路电路的暂态过程的步骤相同，所不同的是的暂态过程的步骤相同，所不同的是RL电电路的时间常数为路的时间常数为=L/R L单位为单位为H，R单位为单位为时，时，单位为单位为s。 用列微分方程，解微分方程来求解暂态用列微分方程，解微分方程来求解暂态过程的方法称为经典法，通过经典法可归过程的方法称为经典法，通过经典法可归纳出求解一阶电路的三要素法纳出求解一阶电路的三要素法。 返回例例1、在图示电路中，已知在图示电路中，已知L=1mH，R=10,电压表内电阻电压表内电阻RV=1.5k,电源电压电源电压U=10V，在，在t =0时开关时开关S断开，断开，S断开前电断开前电路已处于稳态，求路已处于稳态，求S断开后电压表两端电断开后电压表两端电压的初始值及变化规律。压的初始值及变化规律。VRVSabLRiLt=0U解：解：iL(0)=U/R=1AiL(0+)=iL(0)=1AS断开的瞬间断开的瞬间uab(0+)=iL(0+)RV =