一轮复习配套讲义第7篇 第6讲 空间向量及其运算

1、第6讲 空间向量及其运算 最新考纲 1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 知 识 梳 理 1空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模 2空间向量中的有关定理 b?存在R，a使ab. ，(1)共线向量定理：对空间任意两个向量ab(b0)(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c

2、不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc. 3两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b|a|b|cos<a，b>. (2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)·b(a·b) 交换律：a·bb·a. 分配律：a·(bc)a·ba·c. 4空间向量的坐标表示及其应用 设a(a，a，a)，b(b，b，b). 313221 向量表示 坐标表示 数量积 共线 垂直 a·b0)(b ba0 ba·0) b，0a(ababab 321213a

3、b，ab，ab 321321ababab0 332211 模 |a222 aaa312夹角 0)<a，b>(a0，bbbaaba323121 b>cos<a，222222bbaa·ba322113 感 悟辨 析 1空间向量的线性运算) 0.(CDDA，B，C，D是空间任意四点，则有ABBC(1)若A) (×a，b共线的充要条件a|b|b|是(2)(教材习题改编)|a|) (×a与b所在直线平行(3)若a，b共线，则其中(yOBzOC，B，C，若OPxOA与不共线的三点(4)对空间任意一点OA) ×，C四点共面()，则P，A，Bx，

4、y，zR 共线、共面与垂直2) b0.(，ab?a·(5)对于空间非零向量a，b的xy，且ab，则6，b(2，y,2)，若|a|(2,4(6)(教材习题改编)已知a，x) 或3.(值为1三向量共面，cb，)，若a，1,4，2)c(7,5，(7)已知a(2，1,3)b(65) .(则实数等于 7 空间向量的数量积3·(b·c)ca(×) b(8)在向量的数量积运算中满足(a·)·(9)已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)·(ab)的值为13.() 25(10)已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b夹

5、角的余弦值为.() 15感悟·提升 1一种思想 理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比，如 (5) 2两种方法 一是用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，如(5)二是强化坐标运算，如(6)、(7)、(9)、(10). 学生用书第122页 空间向量的线性运算 考点一【例1】 如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，若OGxOAyOBzOC， _y，z的值分别为则x， 21 MNMGOA解析 OGOM 3222112 OMONONOM)OA(OA 3323211221

6、OA×(OBOC)OA× 23322111 OC，OAOB 363 zOC，xOAyOB又OG11. z，y根据空间向量的基本定理，x 36111 ，答案 ， 336选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向(1)规律方法 MCCN，表示，OB，OC量，是用向量解决立体几何问题的基本要求如本例用OA就另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，等， 近表示所需向量首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的(2) 向量所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和EAC的中点设为BACD中，OABCD1

7、【训练】 如图所示，在长方体 11112是棱DD上的点，且DEDD，试用AB，AD，AA. EO表示 1113 解 EOEDDO 1221DDDBDD(DAAB) 112332121AADAAB 1223211ABADAA. 1322考点二 共线定理、共面定理的应用 【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD平面EFGH. 1EFEHBD)EBBFEBBG证明 (1)连接，则EGEBBG(BC 2 ，H四点共面，由共面向量定理知：E，F，GEH1111四点，D，BD，因为E，HB)(AB(2

8、)因为EHAHAEADADAB 2222. BD不共线，所以EH 平面EFGH，BD?又EH平面EFGH，?. EFGH平面所以BD C，B，A，P证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 规律方法 yPCxPB有OAOPA只要能证明PxPByPC或对空间任一点O，四点共面，共面向量定理实际上也是三个非零向1)即可yzxOAyOBzOC(x或OP 量所在直线共面的充要条件满，若点M三点不共线，对平面ABC外的任一点O】 已知A，B，C【训练21 )OBOCOM足(OA 3 MC三个向量是否共面；，MB，(1)判断MA ABC内判断点M是否在平面(2) ，3 OM由已知OAOBOC解 (

9、1) ，OC)OB(OMOAOM(OM ，MCCMMB即MABM MC共面MBMA， M，MB，MC共面且基线过同一点(2)由(1)知，MA，. 内ABC共面，从而点M在平面M，A，B，C四点 页学生用书第123 空间向量的数量积及其应用考点三 ADC，把90°AC1，ACD】【例3 如图，在平行四边形ABCD中，AB角，求成60°折起，使AB与CD沿对角线AC 的长BD 由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关 审题路线 BD|求解|CDAB系，然后用，AC，表示BD，根据2BD ，120°或60°>CD，BA<角，60&

10、#176;成CD与AB 解 AB，ACCD1，ACCD，AC又AB |BD22?BDCD?BAAC 222CD2BA·2BA·AC2AC·CDBAACCD >CDBA，02×1×1×cos<1110 ，>CDBA，32cos<2. |2或BD|2. 或BD的长为2利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模 (1)规律方法 与夹角直接计算；二是利用坐标运算 (2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题 0；·b，0ab?aa0，b2；a| |aa·b. b>cos<

11、;a， |b|a|【训练3】 如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90°，D，E分别为AB，BB的中点 (1)求证：CEAD； (2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值 c，CCa 设CA，CBb(1)证明 ，a0b·cc·且根据题意，|a|b|c|a·b111 a，cbACEbc，D 22211220. bD·AcCE 22. D，即CEAACED1 ，bCEca (2)解AC，c 25|. |a2|a|，|CE|AC|2111?22cb?)·acAC ·CEc(|a|， 222?12|a 210. >

12、;cos<AC，CE1052|2·|a210即异面直线CE与AC所成角的余弦值为. 10 1利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础 2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题 3利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题其中合理选取基底是优化运算的 关 键 特殊化思想在空间向量中的应用方法优化6 ) BC的值为( ·中，则AB·CDACDBAD·在空间四边形【典例】 ABCD B 0 1 A 2

13、 C1 D ，AD，cACAB一般解法 如图，令a，b BC·ADDB·ACCD·AB则) AB·(AC·(ABAD)ADAB·(ADAC)AC) a(bac)c·a·(cb)b·( c·acc·bba·ca·bb·a·0. 第124页学生用书中，不妨令其各棱长都相等，则正四面ABCD优美解法 如图，则在三棱锥 体的对棱互相垂直 0，AC·DBAB·CD00. BCAD·0. AD·BC·ABCD

14、AC·DB B 答案与空间几何体有关的向量运算问题，当运算的结果与几何体的形状 反思感悟，利用特殊几何体的边角)无关时，可构造特殊的几何体(如正四面体、正方体等 关系，使运算能够快速准确的解答，提高做题速度和效率 ECD中，2的正方体ABCDAB北京卷【自主体验】(2013·)如图，在棱长为1111 的距离的最小值为P到直线CC_E为BC的中点，点P在线段D上，点11的距离，C在平面ABCD上的射影到点到直线解析 点PCC的距离等于点P1的距离的最小值为到直线CCABCD上的射影为P，显然点P在平面设点P112×CC的长度最小，此时P时，当CP的长度的最小值，PC

15、DEP22125. 52 5 答案 5 对应学生用书P319 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1在下列命题中： 若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行； 若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； 若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； 已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc. 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 解析 a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却

16、不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 答案 A 2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是( ) 111A2， B， 232C3,2 D2,2 ，1,0,2)(k)1,2(6,2，即akb，ba 解析 ，1?6k ?，32，?，021? 或解得11.? 22?，2k2A 答案1313(2014·济南月考)O为空间任意一点，若OPOAOBOC，则A，B，C， 848P四点( ) A一定不共面 B一定共面 C不一定共面 D无法判断 313111解析 OPOAO

17、BOC，且1.P，A，B，C四点共面 888448答案 B 4已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为( ) 1414A2 B C. D2 532a·b0， ，即a·(ab)0a解析 由题意知1470，2. 答案 D 5A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC0，AC·AD0，AB·AD0，M为BC中点，则AMD是( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 1解析 M为BC中点，AM(ABAC) 21AM·AD(ABAC)·AD 211AB·ADAC·A

18、D0. 22AMAD，AMD为直角三角形 答案 C 二、填空题6(2014·连云港质检)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_ 解析 设M(0，y,0)，则MA(1，y,2)，MB(1，3y,1)，由题意知|MA|MB222222，解得y1，故M(0y)，1|，11,0)y21 (3答案 (0，1,0) 7若三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(a,3，b2)在同一条直线上，则a_，b_. 解析 AB(1，1,3)，AC(a1，2，b4)，因为三点共线，所以存在实数 ，a1?，2AC使解得a3，AB，

19、即b2. ?，3b42 答案 38. 如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos<OA， 3BC>的值为_ 解析 设OAa，OBb，OCc， 由已知条件<a，b><a，c>，且|b|c|， 311OA·BCa·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos<OA，BC>0. 22答案 0 三、解答题 9已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2) ；|ba|2求(1)? 为原点b(OAB上，是否存在一点E，使得OE(2)在直线 ，5,5)，(2,1

20、,1)(0(1)2解 ab(2，6,4)222552. ?5?故|2ab|0(2)令AEtAB(tR)，所以OEOAAEOAtAB(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)， 若OEb，则OE·b0， 9所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t. 5因此存在点E，使得OEb， 1426?，?. 点的坐标为E此时 555?10. 如图，在棱长为a的正方体ABCDABCD中，G为BCD的重心， 11111(1)试证：A，G，C三点共线； 1(2)试证：AC平面BCD. 11证明 (1)CACBBAAACBCDCC， 11111可以证明：CG(CBCDCC)CA， 1133CG

21、CA，即A，G，C三点共线 11(2)设CBa，CDb，CCc，则|a|b|c|a， 1且a·bb·cc·a0， CAabc，BCca， 1122 ，0ac)aBC·CAc()·cba(11 BC，CABC，即因此CA1111 BD，同理CA1 D内的两相交直线，与BC是平面BC又BD11. BCD故AC平面11 能力提升题组) 25分钟(建议用时： 一、选择题 1有下列命题： b共面；与a，ayb，则pp若x ；ybb共面，则pxap若与a， 共面；A，B，则P，M，若MPxMAyMB. yMBxMA，B共面，则MP若P，M，A )其中真命题

22、的个数是( 4 DC3 A1 B2 其中为真命题解析B 答案 ，分别是BCE，F已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点2 )的中点，则AE·AF的值为(AD3112222 D. a C.a aaA B. 442解析 设ABa，ACb，ADc， . 60°三向量两两夹角为c，b，a，且a|c|b|a|则11 c，)，AFAE(ab 2211 cab)·AE·AF( 22111222. acos 60°)(acos 60°a(a·cb·c 444C 答案 二、填空题3. 分别是在这个二AC，BD，已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，BD8 cm4 cm，AC6 cm，面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB 的长为_则CD d，c，