培优专题2_勾股定理及应用(含解答)-[1]

1、 勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2 = c2 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长 即c2= a2b2，a2= c2b2，b2= c2a2点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理如，利

2、用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形请读者证明abc（图1）（1）（2）（3）如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（ba），面积为（ba）2，四个直角三角形的面积为4ab = 2ab 由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积小正方形的的面积，即c2 =（ba）22ab，则a2b2 = c2问题得证请同学们自己证明图（2）、（3）点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（

3、斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设、为直角三角形的两条直角边，为斜边，为面积，于是有：，所以.即.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式如图2，在Rt中,0,A、B、C的对边分别为a、b、

4、c,则c2=a2+b2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等（4）用勾股定理，在数轴上作出表示、的点，即作出长为的线段针对练习:1下列说法正确的是（）A若 a、b、c是ABC的三边，则a2b2c2 ABCB若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2C若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2D若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c22一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A斜边长为25 B三角形周长为

5、25 C斜边长为5 D三角形面积为203如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 34如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x210的立方根为（ ）A-10 B-10 C2 D-25把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）A 2倍B 4倍C 6倍D 8倍6小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A8cm B10cm C12cm D14cm7ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周

6、长为（） A42 B32 C42 或 32 D37 或 33abcl8如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（）（）4（）6（）16（）559.已知直角三角形的周长为2，斜边上的中线为1，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即

7、可 根据勾股定理公式的变形，可求得AB图3解：由勾股定理，得13252=144，所以另一条直角边的长为12所以这个直角三角形的面积是125 = 30（cm2）例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为( )A B C3a D解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同但正方体的ABC图3各棱长相等,因此只有一种展开图解:将正方体侧面展开得,如图3由图知AC=2a,BC=a根据勾股定理得故选D 类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示的点解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作

8、出解：以为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为的线段即可下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8解：；这8条线段的长的乘积是例6：2002年8月在北京

9、召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）（A）13 （B）19 （C）25 （D）169解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 . 由题意，得 (b-a)2=1 .由，得 a2+b2-2ab =1 . 把代入，得 13-2ab=1 2ab=12. (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此，选C.说明：2002年8月20日28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家

10、大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的勾股圆方图注. 类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，求CD的长.（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）观察图11.正方形A中含有_个小方格，即A的面积是_个单位面积；正方形B中含有_个小方格，即B的面积是_个单

11、位面积；正方形C中含有_个小方格，即C的面积是_个单位面积.在图12中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你能发现图11中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图12中的呢？（2）做一做：观察图13、图14，并填写下表：三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：99991818；A中含4个，B中含4个

12、，C中含8个，面积分别为4，4，8；A与B的面积之和等于C，图12中也是A与B的面积之和等于C.（2）答案：答案：.（3）答案：设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；，.成立.（三）作线段例3作长为、的线段解析：作法：1作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、证明：根据勾股定理，在RtACB中，AB0，AB=其他同理可证点评由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为、1的直角三角形的斜边长就

13、是类似地也可作出；将上图无限地向两个方向画下去就可得到“勾股树”，请你试试看（四）证明平方关系例4：已知：如图，在中，是边上的中线，于，求证：.解析：根据勾股定理，在中，在中，在中，.又，.点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/

14、时的速度沿北偏东30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析（1）由点A作ADBC于D，则AD就为城市A距台风中心的最短距离在RtABD中，B=30，AB220，AD=AB=110.由题意知，当A点距台风（124）20160（千米）时，将会受到台风影响故该城市会受到这次台风的影响（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AEAF160当台风中心从E到F处时，该城市都会受到

15、这次台风的影响.由勾股定理得 EF2DE60.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为小时.（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为126.5级 一、 选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ） A.25，48，80 B15，17，62

16、 C25，59，74 D32，60，683、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个4、已知直角三角形中30角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S、S、S，则S、S、S之间的关系是（ ）（A）S+SS （B）S+S1)的代数式表示：a = ，b = ，c = （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.2、若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2 ，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下

17、面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2） 写出各数都大于30的两组商高数（3） 用两个正整数m、n（mn）表示一组商高数，并证明你的结论3、阅读并填空：寻求某些勾股数的规律：对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数例如：，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到和，若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大倍，就得到 对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：若勾股数为3，4，

18、5，因为，则有；若勾股数为5，12，13，则有；若勾股数为7，24，25，则有 ；若勾股数为(为奇数)， ，则有 ，用来表示 ；当时，则 ，此时勾股数为 对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为，则有请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数abAADAABCbc第4题图4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连结，设，请利用四边形的面积证明勾股定理：.5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EF都是正方形. 证：ABFDA

19、E6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题. （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出的值一、选择题1、 如图，字母A所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（ ）A、13B、85C、8D、都不对2、 在RtABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ）A、5B、C、5或D、5或3、 等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（ ）A、56B、48C、40D、324、 若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（ ）A、2:3:4B、3:4:6C、5:12:13D、4:6:75、 一个长方形的长是宽的2倍，其

20、对角线的长是5cm，则长方形的面积（ ）A、B、C、D、6、 一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（ ）A、1:2:1B、C、1:4:1D、12:1:27、 斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（ ）A、81B、82C、83D、848、若直角三角形中，有一个锐角为，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（ ）A、4cmB、6cmC、8cmD、12cm9、如图ABC中，C90，AD平分BAC，DEAB于E，下面等式错误的是（ ）A、AC2+DC2=AD2B、AD2DE2AE2C、AD2=DE2+AC2D、BD2BE2BC210.图是2002年8 月北京第24届国际数

21、学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是62和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（ ）A、6，4B、62，4C、62，4D、6， 4二、填空：1、在ABC中， C90，a，b，c分别为A B C的对边 （1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a16，b=34则b= 2、三边长分别为1，1，1的三角形是 角三角形.3、在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则ABC的面积是 4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为 5、如图点C是以为AB直

22、径的半圆上的一点，则图中阴影部分的面积是 6、在RtABC中，且BC=136则AC= 7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是 斜边上的高为 8、 ABC中， 则a:b:c= 9、 三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为 10、有两根木条，长分别为60cm和80cm，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x长度的取值范围 三解答题1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中，求正方

23、形DCEF的面积 3、如图在锐角ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长 4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长5、如图己知在ABC中，垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长 6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图米，BC=60米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？ 勾股定理及应用 勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方

24、数学史上称之为“毕达哥拉斯定理” 例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积 分析 由斜边长是2，周长是2+，易知两直角边的和是，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握 解：设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得： 即 式两边同时平方再减去式得： 2ab=2， ab= S=因此，这个三角形的面积为 练习11已知：如图2-1，AD=4，CD=3，ADC=90，AB=13，ACB=90，求图形中阴影部分的面积2-12已知：长方形ABCD，ABC

25、D，ADBC，AB=2，ADDC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长 3若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ） A1：2：4 B1：3：5 C3：4：7 D5：12：13 例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？ 分析 图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED与四边形CFED全等，则对应边、角相等，AF=FC，且FC=AE，则ABFADE，由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积 解：图形沿EF折叠后A、C重合，

26、2-2 四边形AFED与CFED关于EF对称， 则四边形AFED四边形CFED AFE=CFE AF=FC，D=D=B=90 AB=CD=AD ADBC， AEF=EFC AEF=AFE 则AE=AF RtABFRtADE 在RtABF中，B=90， AB2+BF2=AF2 设BF=x，b2+x2=（a-x）2， x= 2-3 S=2SABF=2bx=2b= 练习21如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面积为_2如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m

27、到A时，梯子的底部向外移动多少米？2-4 3如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-5 例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？ 分析 先确定最大边，再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形 解：n为正整数， （2n2+2n+1）-（2n2+2n） =2n2+2n+1-2n2-2n=10， （2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n20 2n2+2n+1为三角形中的最大边 又（2

28、n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1， （2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1 （2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2这个三角形是直角三角形 练习3 1若ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则ABC是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形2如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由 2-6 3ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m1），那么（ ） AABC是直角三角形，且斜边长为m2+1 B

29、ABC是直角三角形，且斜边长为2m CABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定 DABC不是直角三角形 例4 已知：如图2-7所示，ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=65 求证：ABC是直角三角形 分析 欲证ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，从而有BDEADC，这样AC、BC、2CD就作为BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定 证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE 2-7 AD=BD，CD=ED，ADC=BDE ADCBDE（SAS） BE=AC=12 A=DBE

30、ACBE 在BCE中，BC2+BE2=52+122=169 CE2=（2CD）2=（26.5）2=169 BC2+BE2=CE2 EBC=90 又ACBE， ACB=180-EBC=90 ABC是直角三角形 练习4 1已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断ABC的形状 先阅读下列解题过程： 解：a2c2-b2c2=a4-b4， c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） c2=a2+b2 ABC为直角三角形 问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是_； （2）本题的正确结论是_2如图2-8，ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将ABC沿

31、AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长3如图2-9，ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度数 例5 如图2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长 分析 若作AEBC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是RtADC的直角边 AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程 解：作AEBC于E 2-10 AB=AC，AEBC， BE=EC=BC=32=16 在RtAEC中， AE2=AC2-CE2=202-162=144， AE=12 2-11 设DE

32、=x， 则在RtADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在RtACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202 144+x2=（16+x）2-202 解得x=9BD=BE-DE=16-9=7 练习5 1如图2-12，ABC中，C=90，M是BC的中点，MDAB于D求证：AD2=AC2+BD22-122如图2-13，ABAD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积2-13 3如图2-14长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？2-14勾股定理及应用答案:练习1124（提示：利用勾股

33、定理即可求出）2长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A、B为对称点（如图） S=ABBC，AB=2， BC=AD= 根据对称性得DF=AB=1 由于D=90，据勾股定理得： AF= （2）以A、D为对称点（如图） BF=BC=由B=90，据勾股定理得： AF= 3D练习21（提示：利用RtABE的勾股定理即可求出） 20.8m 3B练习31B 2AFEF（提示：连结AE，设正方形的边长为a，则DF=FC=，EC=，在RtADF中，由勾股定理得： AF2=AD2+DF2=a2+（）2=a2同理：在RtECF中，EF2=（）2+（）2=a2，在RtABE中，BE=a，则AE2=a2+a2=

34、a2 a2+a2=a2， AF2+EF2=AE2 AFE=90 AFEF3A（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）练习41（1）、 （2）ABC为直角三角形或等腰三角形2AC2+BC2=52+122=132=AB2， C=90 将ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E（如图） CD=DE， AC=AE=5 则ACDAED 又BE=AB-AE=8 设CD为x，则x2+82=（12-x）2 解之得x= AD2=52+（）2 AD=3过点C作CECP，并截CE=CP=2，连结PE，BE（如图） ACB=PCE=90， ACB-PCB=PCE-PCB 即ACP=BCE PCAECB（SAS）

35、 BE=AP=3 在RtPCE中， PE2=PC2+CE2=8 又BP2=1，BE2=9， BE2=BP2+PE2 PBE是直角三角形，其中BPE=90 在RtPCE中，PC=CE， CPE=CEP=45 BPC=CPE+BPE=45+90=135 练习5 1连结AM M为CB的中点， CM=MB 又AC2=AM2-CM2，BD2=BM2-MD2， AC2+BD2=AM2-MD2 又AD2=AM2-DM2， AD2=AC2+BD2 236（提示：连结BD，利用勾股定理及逆定理即可求出）35cm（提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面，连结AC（如图），此时线段AC的长度即为最短距离A

36、C=5（cm）勾股定理的逆定理1班级 姓名 号次 一选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1.在ABC中，的对边分别为，且，则（ ）A.为直角 B.为直角 C.为直角 D.不能确定2.如图，下列三角形中是直角三角形的是( )D51213C467B758A735 3.下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,内错角相等 B.若,则C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b24.下面四组数中，其中有一组与其他三组规律不同，这一组是（ ）A. 4，5，6 B. 6，8，10 C. 8，15，17 D. 9，40，415.如图有五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现想把

37、它们摆成两个直角三角形，则摆放正确的是（ ） A B C D6.放学后，斌斌先去同学小华家玩了一回，再回到家里。已知学校C、小华家B、斌斌家A的两两距离如图所示，且小华家在学校的正东方向，则斌斌家在学校的（ ） (第9题) A.正东方向 B.正南方向 C.正西方向 D.正北方向ABCC 12 12AB1312 12 125 12 12(第5题) (第8题) 7.已知ABC，在下列条件：ABC；A：B：C=3：4：5； ；（m、n为正整数，且mn）中,使ABC成为直角三角形的选法有（ ）A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种8. 如图，正方形小方格边长为1,则网格中的ABC是 （ ）A.

38、直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对9.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）CAB(第10题)A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF10.如图, ABC的三边BC=3，AC=4、AB=5,把ABC沿最长边AB翻折后得到ABC，则CC的长等于（ ）A. B. C. D.二填空题（本题有10小题，每题2分，共20分）11.在ABC中，若，则B+C=_度。12.一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长

39、为 。13.有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为 。14已知，则由、为三边的三角形是 三角形。15. 一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是_。16. 传说,古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长12厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为12厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边长度分别为_ _厘米，其中的道理是_。17.已知两条线段的长为5cm和2cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.(第19题)18.木工周师傅加工一个

40、长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面 (填“合格”或“不合格”)。19.如图，ABC中，D是BC上的一点， 若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，则ABC的面积为 。20我们知道,以3，4，5为边长的三角形为直角三角形,所以称3、4、5为勾股数组，记为（3、4、5），类似地，还可得到下列勾股数组（8、6、10），（15、8、17），（24、10、26）等，请你写出上述四组勾股数的规律： （用含n的式子表示）。三解答题（本题有7小题，第21-26题每题7分，第27题8分）21如图，供电所张师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与地面垂直，因此，从离

41、地面8m的处向地面拉一条长10m的钢绳，现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为6m，请问：张师傅的安装方法是否符合要求？请说明理由。 BAC 22ABC中，AB=60cm，BC=22cm，BC边上的中线AD=61cm，试说明ABC是等腰三角形。BACD23如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,AC=12km,BC=13km,村庄D在CA的延长线上且A、D之间的距离为AD=6km.现从B修一条公路BA直达AC.已知这条公路的造价为50000元，请按上述标准计算出修B、C之间的公路的最低造价是多少（精确到1元）？5 B 13 C 路、 D.12 A 6 D ABCD24如图，是一种四边形的零件，东东