附录24 圆锥曲线的极坐标方程

1、附录附录24 24 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程 cos1 eepFM(,)x建立如图所示的极坐标系，则圆锥曲线有统一的极坐标方程 一、一、以焦点以焦点F F为极点，以对称为极点，以对称轴轴为极轴的极坐标系：为极轴的极坐标系： 二、二、以直角坐标系的以直角坐标系的x x正半轴为极轴的极坐标系：正半轴为极轴的极坐标系： 注1：椭圆(双曲线)的焦参数 cbp2注2：若AB为焦点弦，则;cos12|22eepABepBFAF2|1|1即普通方程与极坐标方程的互化空间坐标直角坐标极坐标直角坐标柱坐标球坐标(,)(x,y)(x,y,z)平面坐标极坐标常见的常见的坐标系坐标系(,z)(r,)极

2、坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，再选定一个长度单位和角度单位及它的这样就建立了一个极坐标系。XO1.1.概念概念 叫做极轴；正方向。对于平面上任意任意一点M极坐标的规定：用表示线段OM的长度，叫做点M的极径，叫做点M的极角M用表示从OX到OM的角度有序数对(,)就叫做M的极坐标极坐标系极坐标系极坐标系的极坐标系的分类分类Z)(k)2,(k常用极坐标系：狭义极坐标系：广义极坐标系： 0 ,R 0 ,0，2) ,R注 负极径的定义：先正后对称先正后对称注 极坐标的多值性与单值性：即:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个 :在狭义极坐标系中，除极点(0,)外，其他

3、点的极坐标是唯一的 Z)(k)2,()2,(kk和:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个 即sincos222yxyx极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化互化的三个前提条件：互化的三个前提条件：互化方法：互化方法：（2）数法：（1）形法：xyxytancossin（1）极点与直角坐标系的原点重合（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合（3）两种坐标系的单位长度相同类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角图图像像x xl特殊直线的极坐标方程特殊直线的极坐标方程方方程程O O0直线 和0)(0R00 x xO O)0 ,(alx xO O),(

4、alO O)2,(alx xO O)23,(alx xacosacosasinasin图图像像方方程程特殊圆的极坐标方程特殊圆的极坐标方程O O)23,(rx xO Ox xO Ox xO Ox xO O)2,(rx x)0 ,(rr),(rsin2rcos2rcos2rsin2r求极坐标方程常用的方法求极坐标方程常用的方法 2.方程法：1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数未知型状方程法 建系设需列方程 间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程 直接法：一般地，与正余弦定理有关 方程法公式法间接法直接法附录附录24 24 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程 cos1 eepFM(

5、,)x建立如图所示的极坐标系，则圆锥曲线有统一的极坐标方程 一、一、以焦点以焦点F F为极点，以对称为极点，以对称轴轴为极轴的极坐标系：为极轴的极坐标系： 二、二、以直角坐标系的以直角坐标系的x x正半轴为极轴的极坐标系：正半轴为极轴的极坐标系： 注1：椭圆(双曲线)的焦参数 cbp2注2：若AB为焦点弦，则;cos12|22eepABepBFAF2|1|1即普通方程与极坐标方程的互化eMAMFeP cosKA)(MBlFx建立如图所示的极坐标系，由圆锥曲线的统一定义得 其中 l 是准线，PFK 整理得圆锥曲线统一的极坐标方程为： KBMA cospFBKF而 即 cos1 eep一、一、以焦

6、点以焦点F F为极点，以对称为极点，以对称轴轴为极轴的极坐标系：为极轴的极坐标系： cos1 eepFAx建立如图所示的极坐标系，则圆锥曲线有统一的极坐标方程 一、一、以焦点以焦点F F为极点，以对称为极点，以对称轴轴为极轴的极坐标系：为极轴的极坐标系： 注1：椭圆(双曲线)的焦参数 cbp2注2：若AB为焦点弦，则;cos12|22eepABepBFAF2|1|1Bcos1 eepFAx建立如图所示的极坐标系，则圆锥曲线有统一的极坐标方程 注2：若AB为焦点弦，则;cos12|22eepABepBFAF2|1|1B)(1A设 ,)(2B故21|BFAF)cos(1cos1eepeepcos1

7、cos1eepeep| AB22cos12eep|1|1BFAFep22111epeepe)cos(1cos1(1)(1983年全国)如图,若椭圆的|A1A2|=6,焦距|F1F2|=24过椭圆焦点F1作一直线设F2F1M=（0）|MN|等于椭圆短轴的长？F1F2A1A2MN法1：直角坐标系普通方程+设而不求 法2：直角坐标系参数方程+设而不求 交椭圆于两点M，N当取什么值时，法3：极坐标方程练习1.圆锥曲线统一的极坐标方程 42p则椭圆的极坐标方程为cos2231322e故023cos法3：极坐标方程由题意得,离心率为 ,建立如图所示的极坐标系XF1F2MN得 又因 2121|NFMFMNc

8、os2231cos22312cos8962656或.故焦点到准线距离(2)(2014年新课标)设F为抛物线2: y =3xC3037 3A. B.6 C.12 D.的焦点，过F且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=法1：直角坐标系普通方程+设而不求 法2：直角坐标系参数方程+设而不求 法3：极坐标方程若AB为焦点弦，则;cos12|22eepABFAxB23p由题意得离心率 e=1 , 焦参数030, 0230cos13|AB=12323AFFB 23的离心率为过右焦点F且斜率为 k 的直线与C相交于A，B两点，则k=A.1 B. C. D.2(3)(2010年全国)已知椭圆C

9、：12222byax若因3AFFB F1F2AB法1：直角坐标系普通方程+设而不求 法2：直角坐标系参数方程+设而不求 法3：极坐标方程析：由对称性，不妨：将右焦点看成是左焦点 FBAF3故cos3233cos323pp33cos2tan(4)(2007年重庆)过双曲线422 yx为1050的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|FQ|=_的右焦点F作倾斜角法1：直角坐标系普通方程+设而不求 法2：直角坐标系参数方程+设而不求 法3：极坐标方程FPxQ1050cos212由题意得,离心率为 ,建立如图所示的极坐标系，则双曲线的极坐标方程为焦参数为2e故00105cos212105cos212|

10、FQFP02105cos2140210cos43382p2213627xy0122331120PFPPFPPFP213111FPFPFP(5)(2007年重庆简化)如图椭圆C：P1，P2，P3是椭圆上任取的三个不同点且证明：为定值的左焦点为FxFyP1P2P30122331120PFPPFPPFP证明:易得cos29由题意得,离心率为 ,建立的极坐标系,则C的极坐标方程为焦参数为21e9p设 )240,(),120,(),(03302211PPP9)240cos(29)120cos(29cos200故 213111FPFPFP32(6)(2012年上海简化)在平面直角坐标系xoy中，已知若M、

11、N分别是 C1,C2上的动点,且OMON求证：O到直线MN的距离是定值.双曲线 ，椭圆12:221 yxC14:222 yxC析：析： 设)90,(),(021NM|MNONOM 22221122222211在RtMNO中由用面积法得：O到直线MN的距离为222111=常数二、二、以直角坐标系的以直角坐标系的x x正半轴为极轴的极坐标系：正半轴为极轴的极坐标系： 即普通方程与极坐标方程的互化即普通方程与极坐标方程的互化练习练习2.2.以直角坐标系的以直角坐标系的x x正半轴为极轴的极坐标系：正半轴为极轴的极坐标系： MNO(6)OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.双曲线 ，椭圆12:22

12、1 yxC14:222 yxC设)90,(),(021NM即 1)90(sin)90(cos402202222|MNONOM 22221122sin3211222sin311,故O到直线MN的距离为222111易得C1、C2的极坐标方程分别为：1sincos222221sincos42222；,将其代入C1、C2的极坐标方程得1sincos422221131122213整理得MNO证明：证明：(7)(课本P：15 Ex6)已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b；A,B分别为椭圆上的两点，且OAOB2211OAOB求证： 为定值求AOB面积的最大和最小值.析 ：由于点的极坐标直接表示

13、了：距离和角度 故涉及到长度和角度的问题 采用极坐标系往往更简便析 ：建立如图所示的直角坐标系，则椭圆的普通方程为BA012222byax将其化为极坐标方程得 22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可设则，于是所以，2B是定值。22222222222112122222212222222221111222212222222

14、221111222(cos)(si n)1cossi n,A(,),(,),2cossi ncossi n1111cossi ncossi n11ababbaOAOBBababbabaOAOBbabaabOAO即由于可设则，于是所以，2B是定值。(7)(课本P：15 Ex6)已知椭圆OAOB2211OAOB求证： 为定值析 ：建立如图所示的直角坐标系BA012222byax将其化为极坐标方程得 22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,),(,),2cossincossin11

15、11cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可设则，于是所以，2B是定值。22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos)(si n)1cossi n,A(,),(,),2cossi ncossi n1111cossi ncossi n11ababbaOAOBBababbabaOAOBbabaabOAO即由于可设则，于是所以，2B是定值。则椭圆的普通方程为22222222222112122222212222222221111222212222222221

16、111222(cos )( sin )1cossin,A(,),(,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可设则，于是所以，2B是定值。22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可设则，于是所以，2B是定值。2211O

17、AOB故22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )(sin )1cossin,A(,),(,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可设则，于是所以，2B是定值。22122122122122cossinsincosbaabab2222baba 双曲线中有定值2222baba (7)(课本P：15 Ex6)已知椭圆OAOBBA0故当且仅当求AOB面积的最值.析：依题意得AOB122222222222111122

18、222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba ba baba b 依题意得当且仅当，即或时，有最小值；当时，即或 时，有最大值AOB122222222222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba ba baba b 依题意得当且仅当，即或时，有最小值；当时，即或 时，有最大值AOB122222222222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba ba baba b 依题意得当且仅当，即或时，有最小值；当时，即或 时，有最大值AOB122222222222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(coss i n)coss i n1=2s i n2(-)45s i n2144Sabs i n200S2OAOBabbaba