大学物理上册第1章质点运动学.

1、重大数理学院赵承均 一、参照系与坐标系为确定物体在空间的位置而选定的作为参照标准的某物体上固连的框架。为确定物体在空间的位置而选定的作为参照标准的某物体上固连的框架。为了描述物体在空间的相对位置而在参照系上建立的数学体系。为了描述物体在空间的相对位置而在参照系上建立的数学体系。（1）参照物大小是有限的，参照系可理解为全空间的；）参照物大小是有限的，参照系可理解为全空间的；（2）参照系是物理的，坐标系是数学的。）参照系是物理的，坐标系是数学的。参照系参照系坐标系坐标系为确定物体在空间的位置而选定的作为参照标准的物体。为确定物体在空间的位置而选定的作为参照标准的物体。参照物参照物reference

2、 bodiesreference framecoordinate system注意重大数理学院赵承均 质点位置的描述质点位置的描述 直角坐标系直角坐标系中中其大小：其大小：方向余弦方向余弦 其中：其中： 222rxyzcos,cos,cosxyzrrr222coscoscos1位矢位矢position vector自原点自原点o o引向质点引向质点P P所在位置的矢量。所在位置的矢量。ijky x tx z t y tPzorectangular coordinatescosines of directional anglesrxiyjzk重大数理学院赵承均 位矢与时间的函数关系，称为质点的位

3、矢与时间的函数关系，称为质点的运动学方程运动学方程。运动学方程运动学方程 其直角坐标系表示其直角坐标系表示 rr t r tx t iy t jz t k二、运动学方程与轨道equation of motion参数方程参数方程 xx tyy tzz tequations of parameters位矢分量与时间的函数关系，称质点运动学方程的位矢分量与时间的函数关系，称质点运动学方程的参数方程参数方程。重大数理学院赵承均 位矢端点描出的曲线，称为质点运动的位矢端点描出的曲线，称为质点运动的轨道轨道。轨道轨道 轨道方程轨道方程 轨道可由运动学参数方程中消去轨道可由运动学参数方程中消去t t得到。得

4、到。, ,0f x y z pathequation of path注意轨道的性质依赖于参照系的选择。轨道的性质依赖于参照系的选择。常用坐标系还有：极坐标系，柱坐标系，球坐标系，自然坐标系常用坐标系还有：极坐标系，柱坐标系，球坐标系，自然坐标系描述位矢各个分量之间函数关系的方程，称为描述位矢各个分量之间函数关系的方程，称为轨道方程轨道方程。重大数理学院赵承均 ( )cossinr tAtiAtjcossinxAtyAt质点的运动方程为质点的运动方程为运动方程的参数方程运动方程的参数方程222xyA运动轨道方程运动轨道方程轨道：半径为轨道：半径为A A的圆的圆例：例：t r txyo重大数理学院

5、赵承均 三、位移、速度与加速度 位置矢量的增量，称为位置矢量的增量，称为位移位移。()( )rr ttr t 在直角坐标系中在直角坐标系中rxiyjzk （2 2）位移与坐标系的选择无关）位移与坐标系的选择无关 （1 1）位移是矢量，其大小）位移是矢量，其大小 r t1P2Psrr tt r tr ttrr位移位移displacement注意yxzo21rrrr o重大数理学院赵承均 在一段时间内质点在其轨迹上经过的路径的总长度，称为在一段时间内质点在其轨迹上经过的路径的总长度，称为路程路程。 （1）有限位移）有限位移 rs （2）无限小位移）无限小位移 drds注意注意sr r tr tt路

6、程路程distanceyxzodifferential displacement重大数理学院赵承均 瞬时速度瞬时速度 00limlimttrdrvvrtdt 速率速率drdsvvdtdt速度的方向：速度的方向：轨道切向并指向质点前进方向。轨道切向并指向质点前进方向。 瞬时加速度瞬时加速度 220limtvdvd rartdtdt r t1P2Pr tt v tv tt v tv ttv速度的大小称为速度的大小称为速率速率。yxzoInstantaneous velocityInstantaneous accelerationspeed重大数理学院赵承均 重大数理学院赵承均 加速度加速度 yxz

7、xyzdvdvdvdvaijka ia ja kdtdtdtdtxyzdrdxdydzvijkv iv jv kdtdtdtdt速度速度四、分量表示式 , , xyzvxvyvz分量式分量式222vvxyz大小大小cos, cos, cosyxzvvvvvv方向余弦方向余弦component expressions重大数理学院赵承均 思考题 例题例题1.1.求椭圆规尺上求椭圆规尺上M M点的轨道方点的轨道方程、速度及加速度。程、速度及加速度。例题例题2.2.半径为半径为R R的轮子沿直线轨的轮子沿直线轨道无滑滚动，设角速度为常值，道无滑滚动，设角速度为常值，求轮缘上任一点的运动方程，并求轮缘上

8、任一点的运动方程，并求该点的速度。求该点的速度。1ooyxMccxyoba,M x yAB重大数理学院赵承均 一、自然坐标系 曲率半径曲率半径密切平面密切平面在质点运动的瞬间，在质点在质点运动的瞬间，在质点两侧的轨道上各选取一个邻两侧的轨道上各选取一个邻近的点，与该质点一起构成近的点，与该质点一起构成三角平面。当两点无限向质三角平面。当两点无限向质点靠近时，此平面的极限称点靠近时，此平面的极限称为该质点瞬间的为该质点瞬间的密切平面密切平面。密切圆半径称为该点瞬间的密切圆半径称为该点瞬间的曲率半径曲率半径。 曲率中心曲率中心密切圆圆心称为该点瞬间的密切圆圆心称为该点瞬间的曲率中心曲率中心。密切圆

9、密切圆该三角形的外接圆的极限称该三角形的外接圆的极限称为该点瞬间的为该点瞬间的密切圆密切圆。1.1.密切平面密切平面PPPo重大数理学院赵承均 自然坐标自然坐标选择轨迹上一点选择轨迹上一点O O为原点并用由原点至质点位置的弧长为原点并用由原点至质点位置的弧长s s作为质作为质点坐标，任意方向为正。点坐标，任意方向为正。 2.2.自然坐标系自然坐标系重大数理学院赵承均 ss t运动学方程：运动学方程：速度：速度：drdsvvdtdt加速度：加速度：d vdvdvdavdtdtdtdt n n二、切向加速度、法向加速度 dd n ddndtdto dd重大数理学院赵承均 d vdvdvdavdtd

10、tdtdt又：又： naaa其中：其中： av2nvav nnd sd显然：显然： 切向加速度：切向加速度：第一项反映速度第一项反映速度大小大小随时间的变化率，沿切线方向。随时间的变化率，沿切线方向。法向加速度法向加速度：第二项反映速度第二项反映速度方向方向随时间的变化率，沿主法线方向。随时间的变化率，沿主法线方向。 tangential accelerationcentripetal acceleration重大数理学院赵承均 讨论下列几种运动情况：讨论下列几种运动情况：1. .0 , 0naa匀速直线运动匀速直线运动2. .0 , naCa匀变速直线运动匀变速直线运动3. .Caan ,

11、0匀速率圆周（螺旋）运动匀速率圆周（螺旋）运动4. .0 , 0naa变速曲线运动变速曲线运动重大数理学院赵承均 极坐标系：极坐标系：M M - -动点动点O -O -极点极点OA OA - -极轴极轴 - -极半径极半径 - -极角，逆时针为正极角，逆时针为正1.1.平面极坐标平面极坐标 运动学方程：运动学方程： t t- -径向径向单位矢量单位矢量- -横向横向单位矢量单位矢量path点作平面曲线运动时，亦可用点作平面曲线运动时，亦可用极坐标描述其运动。极坐标描述其运动。一、极坐标系AoM重大数理学院赵承均 速度：速度：ddrvdtdtvvvv其中：其中： vvvv- -径向速度径向速度分

12、量分量- -横向速度横向速度分量分量oAMvvv2.2.径向速度、横向速度径向速度、横向速度重大数理学院赵承均 1.1.描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量圆周运动是典型的二维运动的特例，建立圆周运动是典型的二维运动的特例，建立平面极坐标系，参考点平面极坐标系，参考点o，参考轴，参考轴ox。二、圆周运动的角量描述质点所在位置的矢径与质点所在位置的矢径与x x轴的夹角轴的夹角, ,称为质点对参考点的称为质点对参考点的角位置角位置。角位置角位置角位移角位移AoxBR在某个时间间隔内质点经过的角在某个时间间隔内质点经过的角度称为度称为角位移角位移。在在t t时刻的角位置为：时刻的角位置为： t在在t

13、 t时刻的角位置为：时刻的角位置为：tt 角位移为：角位移为： ttt单位：弧度单位：弧度 rad重大数理学院赵承均 当当t0t0时，角位移为时，角位移为元角位移元角位移：d在矢量分析里，通常把元角位移当作矢量看待，写成：在矢量分析里，通常把元角位移当作矢量看待，写成：dd n其中：其中：d为元角位移的大小；为元角位移的大小； n为元角位移的方向。为元角位移的方向。 按照物理学惯例，规定元角位移的方向与质点角运动的方向成按照物理学惯例，规定元角位移的方向与质点角运动的方向成右手右手螺旋螺旋。运动方向运动方向 n n重大数理学院赵承均 角速度角速度在单位时间间隔内质点经过的角度称为在单位时间间隔

14、内质点经过的角度称为角速度角速度。ddt显然，角速度的方向与元角位移的方向相同。显然，角速度的方向与元角位移的方向相同。单位：弧度单位：弧度 Rad/s角加速度角加速度在单位时间间隔内质点角速度的改变称为在单位时间间隔内质点角速度的改变称为角加速度角加速度。22dddtdt显然，角加速度的方向与角速度的改变方向相同。显然，角加速度的方向与角速度的改变方向相同。单位：弧度单位：弧度 Rad/s2angular velocityangular acceleration重大数理学院赵承均 角量：角量：描述转动，如描述转动，如角位移角位移、角速度角速度、角加速度角加速度、角动量角动量、力矩力矩等。等。

15、角量、线量关系角量、线量关系线量：线量：描述平动，如描述平动，如位移位移、速度速度、加速度加速度、动量动量、力力等。等。线量位移速度加速度动量（平动）动能平动惯量m角量 I角位移角速度角加速度角动量（转动）动能转动惯量rdrvdt22d radtpmv212tEmvddt22ddtJI212rEI表表1 1： 线量、角量线量、角量概念概念对称对称讨论重大数理学院赵承均 线量、角量线量、角量在描述物体相应运动的时候，几乎所有的定律、守恒率的在描述物体相应运动的时候，几乎所有的定律、守恒率的数学形式也有数学形式也有相似性相似性，满足对称法则。，满足对称法则。线量力平动功冲量动量定理牛二定律角量力矩

16、转动功冲量矩角动量定理转动定律表表2 2： 线量、角量线量、角量运算规则运算规则对称对称FtdWF drtdIFdtFmaM r F rdWM drdIMdtMIdpFdtdJMdt重大数理学院赵承均 思考题思考题例题例题1.1.已知螺旋曲线上已知螺旋曲线上M M点的轨道方点的轨道方程是程是 , ,求任意时刻求任意时刻的的速度速度大小以及大小以及加速度加速度变化情况。变化情况。2,0sktk例题例题2.2.已知已知M M点的轨道是一般曲线，点的轨道是一般曲线，加速度为常矢量加速度为常矢量, ,如图所示。问：如图所示。问：1 1、质点作何种运动？、质点作何种运动？2 2、能否举出实例？、能否举出

17、实例？3 3、有、有加速度加速度恒定的圆周运动吗？恒定的圆周运动吗？ 重大数理学院赵承均 例例3 3：一质点作半径为一质点作半径为R R的圆周运动，其速率满足的圆周运动，其速率满足 ，k k为常数，试为常数，试求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。 vkRt解：解：切向加速度切向加速度dvakRdt法向加速度法向加速度加速度加速度2222nkRtvak RtrR2222222 41naaakRk RtkRk t重大数理学院赵承均 （1 1）加速度）加速度 a a 为一常量：为一常量：（2 2）物体沿）物体沿x x轴作直线运动轴作直线运动；（3 3）

18、初始条件）初始条件 t=0 t=0 时：时：由于是一维运动，由加速度定义：由于是一维运动，由加速度定义：运动公式运动公式,ooxx vv常见的几种运动常见的几种运动1.1.匀变速直线运动匀变速直线运动补充aConstantdvdvaadtdtdvadt重大数理学院赵承均 两边积分：两边积分：（1 1）由速度定义：由速度定义：两边积分：两边积分：0ovtvdvadtovvatovvatdrdxvvdtdtdxvdt00oxttoxdxvdtvat dt重大数理学院赵承均 由（由（1 1）、（）、（2 2）式：）式： 三个公式只有两个公式独立。三个公式只有两个公式独立。 三个公式只适用于匀变速直线

19、运动。三个公式只适用于匀变速直线运动。212ooxxv tat（2 2）消消 t t 有：有：ovvat212ooxxv tat222oovva xx注意（3 3）重大数理学院赵承均 运动叠加原理运动叠加原理物体同时参与几种运动时，各运动之间互不干扰，相互矢量叠加。物体同时参与几种运动时，各运动之间互不干扰，相互矢量叠加。2.2.竖直上抛竖直上抛竖直向上的匀速直线运动竖直向上的匀速直线运动 + + 自由落体自由落体3.3.竖直下抛竖直下抛竖直向下的匀速直线运动竖直向下的匀速直线运动 + + 自由落体自由落体运动方程运动方程212oyv tgt运动方程运动方程212oyv tgt重大数理学院赵承

20、均 4.4.平抛平抛水平方向上的匀速直线运动水平方向上的匀速直线运动 + + 自由落体自由落体运动方程运动方程 212or tv tigt joxv t212ygtovov t212gtroyx重大数理学院赵承均 运动方程运动方程5.5.斜上抛斜上抛ovov t212gtroyx斜上方向上的匀速直线运动斜上方向上的匀速直线运动 + + 自由落体自由落体 21cossin2oor tv tiv tgtjcosoxv t21cos2oyv tgt重大数理学院赵承均 同一物体的运动，在不同参考系中，对其描述并不相同，即运动描述同一物体的运动，在不同参考系中，对其描述并不相同，即运动描述具有具有相对性

21、相对性。例如：一只行进的船升旗例如：一只行进的船升旗船相对对岸的位矢船相对对岸的位矢: :ro旗帜相对船的位矢旗帜相对船的位矢: :r旗帜相对岸的位矢旗帜相对岸的位矢: :rrrr旗岸船岸旗船orrr即：即：即即相对位矢相对位矢即即牵连位矢牵连位矢即即绝对位矢绝对位矢rorrrelativity相对性相对性absolute vectorentangled vectorrelative vector重大数理学院赵承均 质点相对于地球参照系的速度等于它相对于运动参照系的位矢与运质点相对于地球参照系的速度等于它相对于运动参照系的位矢与运动参照系相对于地球参照系的位矢的矢量和。动参照系相对于地球参照系的位矢的矢量和。vvvooaaa由此可得位移、速度和加速度的变换式：由此可得位移、速度和加速度的变换式：rrr oGalileoGalileo速度变换速度变换21rrr drvdtdvadtGalileoGalileo加速度变换加速度变换GalileoGalileo位移变换位移变换重大数理学院赵承均 例例1.1. 当一列火车以当一列火车以 36km/h 36km/h 的速率向东行驶时的速率向东行驶时, ,相对地面匀速竖直下落相对地面匀速竖直下落雨滴在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成雨滴在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成 3030角。求：角。求：(1) (1) 雨滴相