复变函数泰勒级数

1、第三节第三节 泰勒级数泰勒级数二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考2一、问题的引入一、问题的引入问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？DKz.内任意点内任意点, )( 内解析内解析在区域在区域设函数设函数Dzf , 0为中心的任一圆周为中心的任一圆周内以内以为为zD如图如图:r0z.Krz 0 圆周圆周. 0rz , , KD 记为记为它与它的内部全包含于它与它的内部全包含于3由柯西积分公式由柯西积分公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中 K 取正方向取正方向., , 的内部的内部在在点点上上

2、取在圆周取在圆周因为积分变量因为积分变量KzK . 1 00 zzz 所以所以0001111zzzzz 则则4 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 5由高阶导数公式由高阶导数公式, 上式又可写成上式又可写成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010, 0)(lim zRNN若若可知在可知在K内内 000)()(!)()(nnnzznzfzf

3、6, )( 内可以用幂级数来表示内可以用幂级数来表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 , )( )(内解析内解析在在DKDzf 则在则在K上连续上连续, , 10, qq且且无关的量无关的量是与积分变量是与积分变量 , )( 上也连续上也连续在在因此因此Kf , )(上有界上有界在在 Kf 7即存在一个正常数即存在一个正常数M,.)( MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221.1qMqn 80lim nNqK0)(lim zRNN在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆周圆周K的半径可以任意增大的

4、半径可以任意增大,只要只要K内成立内成立.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展开式泰勒展开式,)(zf在在0z泰勒级数泰勒级数9如果如果0z到到D的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立dzz 0因为凡满足因为凡满足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理)(zf在在0z的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf10二、泰勒定理二、泰勒定理, 2, 1

5、 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当泰勒介绍泰勒介绍11说明说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多; (想一想想一想, 为什么为什么?); , , )( . 200zdzdDzf 即即之间的距离之间的距离一个奇点一个奇点到最近到最近等于等于则则内有奇点内有奇点在在如果如果;,0

6、. 30级数称为麦克劳林级数级数称为麦克劳林级数时时当当 z4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么为什么?)12 )( zf因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多要比实变函数广阔的多.注意注意问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数数，展开式是否唯一？展开式是否唯一？13 : )( 0已被展开成幂级数已被展开成幂级数在在设设zzf 202010)()()(zzazza

7、azf,)(0 nnzza那末那末,)(00azf ,)(10azf 即即, )(!10)(zfnann 因此因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数, 因而是唯一的因而是唯一的.14三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法: 直接法和间接法直接法和间接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数15例如，例如，. 0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)

8、( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze. R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)( )(znzee 因为因为16仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在与与可得可得 zzz172. 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析结合解析函数的性质函数的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导

9、, 积分积分等等)和其它数学技巧和其它数学技巧 (代换等代换等) , 求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 .18例如，例如， . 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi19附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,! 21)102 nnnznznzzze,111)

10、202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z20,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z21例例1 1. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z四、典型例题四、典型例题, 11)1(12

11、zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z22 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项求导上式两边逐项求导,23例例2 2. 0 )1ln( 泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主值求对数函数的主值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z. 1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图如图,1 Ro1 1xy24zzzzzznnnd)1(d11000

12、即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzC 25例例3 3. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即26例例4 4 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解,1darctan02 zz

13、zz因为因为1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn27例例5 5.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因为因为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 2216543228例例6 6.1展展为为麦麦克克劳劳林林级级数数将将zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz对微分方

14、程逐次求导得对微分方程逐次求导得:, 1所以收敛半径为所以收敛半径为, 1 内内进进行行展展开开可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇点点为为因因为为求求导导得得对对)(zf,1)(zzezfz 29, 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麦麦克克劳劳林林级级数数为为所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz30五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.31奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题32 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只