函数的极值及其求法

1、 第十节第十节 函数的极值与最值函数的极值与最值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x定义定义,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数,0Dx ，的一个邻域的一个邻域若存在若存在DxUx )(00使得使得),(0 xUx 有有)()(0 xfxf 则称则称 为为 的一个的一个极大值点极大值点 (或或极小值点极小值点 )0 x)(xf),)()(0 xfxf 或或极大值点与极小值点统称为极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值 .1) 函数的极值是函数的函数的极值是函数

2、的局部性质局部性质.2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或或 不存在的点不存在的点(称为称为可疑可疑极值点极值点) ). 称称 为为 的一个的一个极大值极大值 (或或极小值极小值 )(0 xf)(xf注意注意函数极值的求法函数极值的求法定理定理1(1(函数取得极值的函数取得极值的必要条件必要条件)()(费马定理费马定理) )定义定义.)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 注意注意:( ),.f x可可导导函函数数的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一

3、定定是是极极值值点点例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x)(xf0 x0 x. 0)(0 xf设设在点在点处具有导数处具有导数, 且在且在处取得极值处取得极值,则则定理定理2 (2 (第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)设设)(xf在点在点0 x 处连续处连续 ,),(00 xxx ,0)( xf),(00 xxx, 0)( xf)(xf0 x(1) 若若 时时, 而而时时,则则在点在点处取得处取得极大值极大值;(2) 若若),(00 xxx 时时, , 0)( xf而而),(00 xxx时时,0)( xf则则)(xf

4、在点在点0 x处取得处取得极小值极小值;),(0 xUx )(xf )(xf0 x(3) 若若时时, 的符号相同的符号相同, 则则在点在点处处无极值无极值.xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :(1)( ),( );fxf x 求求导导数数并并求求出出的的全全部部驻驻点点与与不不可可导导点点(2)( ),;fx 根根据据在在每每个个驻驻点点或或不不可可导导点点的的左左右右邻邻近近的的正正负负号号 判判断断是是否否为为极极值值点点(3).求求极极值值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令

5、0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下例例2 2解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在在该该点点连连续续但但函函数数xfM32)1()(xxxf 的

6、极值的极值 .解解 32)(xxf3132)1( xx35235xx 得驻点得驻点;521 x不可导点不可导点02 xx)(xf )(xf05200233255( ) )0,(),0(52),(520 x是极大值点，是极大值点，其极大值为其极大值为0)0( f是极小值点，是极小值点， 其极小值为其极小值为52 x23322555( )( )f 例例3 求函数求函数不存在不存在定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(0000)(lim)()(lim)(00 xxxfxxxfxfxfxxxx , 0 0)(,0,000 xxxfxx时时使使当当故故存存在在 ;0)(),(00 xf

7、xxx时时，当当 所以所以，函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值 同理可证同理可证(2).;0)(),(00 xfxxx时时，当当 二阶导数二阶导数 , 且且,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若若则则 在点在点 取极大值取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若若则则 在点在点 取极小值取极小值 .)(xf0 x 设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 处处 具有具有例例4 4解解.20243)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xx

8、f )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm注意注意: :.2,)(,0)(00仍仍用用定定理理处处不不一一定定取取极极值值在在点点时时xxfxf 1)1()(32 xxf的极值的极值 . 解解: : ,)1(6)(22 xxxf)15)(1(6)(22 xxxf令令,0)( xf得驻点得驻点1,0,1321 xxx因因,06)0( f故故 为极小值为极小值 ;0)0( f又又,0)1()1( ff故需用极值的第一充分条件来判别故需用极值的第一充分条件来判别.( )1,fxx 由

9、由于于在在左左右右邻邻域域内内不不变变号号( )1.f xx 在在没没有有极极值值1xy1例例5. 求函数求函数,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)( xfn则则1) 当当 为偶数为偶数时时,n2) 当当 为奇数为奇数时时,n0 x为极值点为极值点 , 且且0 x不是极值点不是极值点 , )()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)( )(0nxxo )()(!)()(000)(0nnnxxoxxnxfxf 证证定理定理4,0)(0)( xfn若若设设 f (x) 在点在点 x0 处处 具有具有n 阶导数，且阶导数，且则则 在点在点 取极大值取极大值

10、;)(xf0 x,0)(0)( xfn若若则则 在点在点 取极小值取极小值 .)(xf0 x 点点 为拐点为拐点 。)(,(00 xfx0)()()(lim000 nxxxxxfxf则则, 0)(0 nxx0)()()(00 nxxxfxf)()(0 xfxf !)()()()(lim0)(000nxfxxxfxfnnxx ,0)(0)( xfn若若时，有时，有使当使当),(, 00 xUx 故故1) 当当 为偶数为偶数时时,n由极限的保号性由极限的保号性, ,知知又又得得故故 在点在点 取极大值取极大值 。)(xf0 x,0)(0)( xfn若若则则 在点在点 取极小值取极小值 .)(xf0

11、 x同理可证，同理可证，2) 当当 为奇数为奇数时时,n可证可证 在在 点邻近两点邻近两 )()(0 xfxf 0 x 侧异号侧异号, 故故 在点在点 不取极值不取极值 。)(xf0 x )()()(000 xxxfxfxf200)()(!)2()( nnxxnxf)(20 nxxo)()(!)2()(20200)( nnnxxoxxnxf故故!)2()()()(lim0)(200 nxfxxxfnnxx 当当 为奇数为奇数时时,n可证可证 在在 点邻近两侧异号点邻近两侧异号, )(xf 0 x故点故点 为拐点为拐点 。)(,(00 xfx设设 ,cossin)(xaxxxf 其中其中a 为常

12、数为常数 .证明证明: : 2 a时时, , f (0) 为为 f (x)的极小值的极小值 ;2 a时时, , f (0) 为为 f (x)的极大值的极大值 .证证 xaxxxxfsincossin)( ,0)0( f,cossin)1(xxxa xxxxaxfsincoscos)1()( ,sincos)2(xxxa , 02)0( af2) ai时时, , f (0) 为为 f (x)的极小值的极小值 ;2) aii时时, , , 02)0( aff (0) 为为 f (x)的极大值的极大值 ;,2)0(af 2) aiii时时, , ,sin)(xxxf , 0)0( f例例6,coss

13、in)(xxxxf , 0)0( f,sincoscos)()4(xxxxxf , 02)0()4( ff (0) 为为 f (x)的极大值的极大值.函数图形的描绘函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域 ,期性期性 ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点求出极值和拐点 ;4. 求渐近线求渐近线 ;5. 确定某些特殊点确定某些特殊点 , 描绘函数图形描绘函数图形 .为为 0 和不存在和不存在的点的点 ;并考察其对称性及周并考察其对称性及周例例7 7.2)

14、1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得特殊点得特殊点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平渐近线得水平渐近线定义域（定义域（-，+ ）0,2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得铅铅直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf

15、 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3( :补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC小结小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点是可疑极值点驻点和不可导点是可疑极值点. .判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)思考与练习思考与练习1. 设设, 1)()()(lim2axaf

16、xfax则在点则在点 a 处处( ).)()(xfA的导数存在的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值取得极大值 ;)()(xfC取得极小值取得极小值;)()(xfD的导数不存在的导数不存在.B提示提示: : 利用极限的保号性利用极限的保号性 .)(xf在在0 x的某邻域内连续的某邻域内连续, 且且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点则在点0 x处处).()(xf(A) 不可导不可导 ;(B) 可导可导, 且且;0)0( f(C) 取得极大值取得极大值 ;(D) 取得极小值取得极小值 .D提示提示: : 利用极限的保号性利用极限的保号性 .2. 设设)(xfy 是

17、方程是方程042 yyy的一个解的一个解,若若,0)(0 xf且且,0)(0 xf则则)(xf在在)(0 x(A) 取得极大值取得极大值 ;(B) 取得极小值取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少 .提示提示: :,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 3. 设设4. 设设 f ( x )连续，且连续，且 f ( a )是是 f ( x )的极值，的极值，问问 f 2( a )是否是是否是 f 2( x )的极值的极值 .证证则则),()(afxf 时时，有有使使当当),(,0 aUx ),()(22a

18、fxf 得得 f 2( a ) 是是 f 2( x ) 的极小值的极小值; 不妨设不妨设 f ( a )是是 f ( x )的极小值的极小值 ,0)()时时当当 afi有有由由 f ( x )在在 x = a 处连续，得处连续，得0)()(lim afxfax时，有时，有使当使当),(, 011 aUx 0)( xf,min1 令令时，时，则当则当),( aUx, 0)()( xfaf)()(22afxf f 2( a )是是 f 2( x )的极大值的极大值.同理可讨论同理可讨论f ( a ) 是是f ( x )的极大值的情况的极大值的情况.,0)()时时当当 afii由极限的保号性由极限的保号性 , 知知由由得得试问试问 为何值时为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在在时取得极值时取得极值 ,还是极小还是极小.解解: )(xf由题意应有由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为取得极大值为3)(32f备用题备用题 ,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值求出该极值, 并指出它是极大并指出它是极大一、一、 填空题：填空题： 1 1、 极值反映的是函数的极值反映的是函数的 _性质性质. . 2 2、 若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导， 则它在点可导，