21章二次根式教材分析

1、第21章 二次根式 于红辉 焦 村 一 中 一.主要内容及地位n从数学课程标准看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，它们是“数与代数”领域的重要内容.人教版的课本安排了3章内容，分别是7年级上册第1章“有理数”，7年级下册第10章“实数”和9年级上册第21章“二次根式”.本章是在第10章的基础上进一步研究二次根式的概念、性质和运算。一.主要内容及地位n主要内容n全章分为三节，第一节研究了二次根式的概念和性质，本节起承上启下的作用。第二节是二次根式的乘除运算，主要研究二次根式的运算法则和二次根式的化简；所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。 第三节主要研究二次根式的加减

2、运算法则和进一步完善二次根式的化简。所采用的方法与合并同类项类似 。这些都说明了前后知识之间的内在联系。 一.主要内容及地位n地位作用：n本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备二、本章知识结构框图三、教学要求n课程标准要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。n 课本要求：1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2. 了解最简二次根式的概念；3

3、. 理解二次根式的性质；4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）；5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。 四、课时安排四、课时安排n本章教学时间约需9(12)课时，具体分配如下（仅供参考）：211 二次根式 约3课时212 二次根式的乘除 约3课时213 二次根式的加减 约4课时n数学活动 n小结 约2课时五、与原有教材的变化n1.新教材力求克服传统观念上学习二次根式的枯燥性，避免大量纯式子的化简或计算，适当穿插实际应用的例子,加强了二次根式与实际的联系。如：二次根式的概念(2)二次根式的加减(3)例题和习题

4、，如计算钢材问题、确定纸张规格问题、电视塔的传播半径问题等。 五、与原有教材的变化2.加强了计算器的使用。包括用计算器探索规律。课本第10页探究、第16页拓广探索。五、与原有教材的变化3.加大学生的探索空间，体现由特殊到一般的认识过程二次根式的乘法三、与原有教材的变化二次根式的除法五、与原有教材的变化n4.减少了课时。原来教材本章是22课时，新教材是9课时。n5.减少了二次根式的性质：积的算术平方根和商的算术平方根(0,0)abab ab(0,0)aaabbb五、与原有教材的变化6.降低了对公式 的要求，给出字母的取值范围不出现讨论的情况。7.降低了二次根式运算和化简的要求，二次根式的混合运算

5、没有单立节。不出现繁琐式子的运算。2|aa五、与原有教材的变化8.淡化了概念名词：教材中没有出现同类二次根式、有理化因式、分母有理化等名词。n 六、重点和难点：n本章重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性，学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据。各节具体分析21.1二次根式n本节主要是学习二次根式的概念、求二次根式本节主要是学习二次根式的概念、求二次根式中字母的取值范围和求二次根式值的问题中字母的取值范围和求二次根式值的问题.21.1二次根式n1.本节首先设置四个实际问题，这些实际问题的结果都可以表示成二次根式的形式，

6、教科书由此引出二次根式的定义。这些实际问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密。教学时，也可以根据学生的实际情况，选择其他有趣的实际问题引入，以调动学生的学习兴趣。教学时要鼓励学生独立思考，自主探索问题中的数量关系。21.1二次根式2.只要学生了解形如 0）的式子叫做二次根式，不必在“ 、 是否是二次根式”等问题上纠缠。21xaa(21.1二次根式n3.对于以上性质 ，教科书是采用由特殊到一般地归纳得出结论的方法。教学中应注意这两个性质教学中应注意这两个性质的区别和联系的区别和联系)0(2aaa)0(2aaan区别：n（1）意义不同： 表示 非负数a的算术平

7、方根的平方， 表示数a的平方的算术平方根n(2)取值范围不同： n（3）读法不同： n（4）运算顺序不同：n(5) 表达方式不同n联系： a0时，两式相等。2a2a2a2a2a2a与21.1二次根式421.1二次根式n5. 对于代数式的概念，教学中让学生有所体会就可以了，不必深究这个概念，类似于判断一个式子是否代数式等这样的问题不必要出。 21.1二次根式n6.例x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？23x 23x学生可能会错解0，x-237.可以适当补充一些 （a0）的练习2a21.2二次根式的乘除21.2二次根式的乘除本节课教学的关键是二次根式乘除法则的逆用本节课教学的关键是二次根

8、式乘除法则的逆用.1.二次根式的乘除法着重讲乘法，除法由学生自己去探索。有了乘法的经验，应当不难归纳出除法运算法则，教学中要让学生充分地进行讨论、交流，发表见解。2.教材对二次根式的乘法安排很有层次，先从具体例子出发，有特殊到一般地归纳出二次根式的乘法法则。21.2二次根式的乘除n3.在学生熟悉两条运算法则的前提下，通过变式训练加以巩固，提高学生的计算能力和速度。本节课应以学生练习为主，教师注重知识应用的误区设置，及时提醒学生易犯的错误，强调计算结果的要求。21.2二次根式的乘除n 4最简二次根式是今后学习二次根式加减运算的关键一步。要注意化简正确，并且要注意化简熟练和速度。教学时要注意把握层

9、次。nA. 8, 12, 18, 27, B.112, 2 ,2327n C.0.4, 0.9 1.522223212,427a bna bccD.21.2二次根式的乘除5.把一个二次根式化成最简二次根式，不外乎有以下两种情况：n（1）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简。n（2）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用例6中的第一种方法进行化简，可以先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再利用例6的第二种方法化简； 21.2二次根式的乘除n6.第13页例6,分母不带根号只是作为化简的一种要求，并没有提出分母有理

10、化的术语，分母有理化概念建议给，但是练习要控制难度.8.化简二次根式时忘记把数开方，如)0(20202aaa21.3 二次根式的加减n1.本小节首先通过一个实际问题引出二次根式的加法运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是实际的需要。 n2.二次根式的加减法是类比整式加减法中的合并同类项而得到的，教学时要引导学教学时要引导学生回顾相关知识及类比生回顾相关知识及类比.21.3 二次根式的加减3. 对于同类二次根式的概念，不必让学生强行识记如“两个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同，则称为同类二次根式”等条文式的定义，教材中甚至连这个概念都没有出现，只是采用描述的方法，结合实例，让学生能知道

11、在进行二次根式的加减时，有时需要将二次根式化简，才能合并同类二次根式。 n二次根式运算应注意的问题n1.注意运算顺序21.3 二次根式的加减3625注意乘除法属于同级运算,从左到右的的顺序依次进行.21.3 二次根式的加减n2.不要违背运算率:112 3()6221.3 二次根式的加减n3.教学中要应充分运用类比的方法，让学生学生体会有理数的运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性等,提高运算能力。教学建议教学建议n1运用类比的方法运用类比的方法 二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式

12、的有关运算时，所使用的二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整运算法则与整式、分式的相关法则类似；式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的在进行二次根式的加加减减时，所采用的方法时，所采用的方法与合并同类项类似与合并同类项类似；在进行；在进行二次根式的二次根式的乘除乘除时，所使用的法则和公式时，所使用的法则和公式与整式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似的乘法运算法则及乘法公式类似教学时注意引教学时注意引导学生回顾与类比，充分运用类比的方法学习，导学生回顾与类比，充分运用类比的方法学习，让学生理解其算理和算法，提高运算能力。让学生理解其算理和算法，提高运算能力。 教学建议教学建议n2.加大学生探索空间，体现由特殊到一加大学生探索空间，体现由特殊到一 般的认识般的认识过程过程,要注重学生的观察、分析、归纳、探究能力要注重学生的观察、分析、归纳、探究能力的培养。的培养。n3注意把握教学难度注意把握教学难度 与以往的教材相比，二次根式已大大降低了要求。如运用二次根式的性质将二次根式化简，只要求简单的，不要出现过于复杂的式子.对二次根式的四则运算，也仅局限于简单的。当然对不同层次的学生，应该体现一定的弹性。基本要求略高要求