中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及详细答案

1、中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及详细答案一、相似1.如图，正方形ABCD等腰RtBPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ.DC(1)求证：AP=CQ求证：PA2=AF?AD;(2)若AP：PC=1:3,求tan/CBQ.【答案】(1)证明：二.四边形ABCD是正方形，AB=CB,ZABC=90, /ABP+/PBC=90,° .BPQ是等腰直角三角形，BP=BQ,/PBQ=90；./PBC+/CBQ=90°，/ABP=/CBQ,AABPACBQ,.AP=CQ;二.四边形ABCD是正方形，ZDAC=ZBA

2、C=ZACB=45°, /PQB=45；CCEP4QEB,/CBQ=ZCPQ由得ABPCBQ,/ABP=/CBQ /CPQ=ZAPF,/APF=ZABP,.APMABP,APAF口二一二一，.：H尸:AF，A8;总产*AD;ABAP(本题也可以连接PD,证APFsADP)(2)证明：由得4AB国ACRQ,/BCQ=/BAC=45, /ACB=45,°,./PCQ=45+45=90°囚 tanZCPQ=疗,由得AP=CQ,CQAP1=t又AP:PC=1:3,，tan/CPQ=MCP3,由得/CBQ=/CPQ1 tanZCBQ=tanZCPQ=3.【解析】【分析】(1

3、)利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证ABPACBQ,可得AP=CQ;利用正方形的性质可证得/CBQ=/CPQ,再由ABPCBQ可证得/APF=ZABP,从而证出APM4ABP,由相似三角形的性质得证；(2)由ABP4CBQ可得/BCQ=ZBAC=45,可得ZPCQ=45+45°=90°,再由三角函数可CC11得tanZCPQ=乙由AP:PC=1:3,AP=CQ可得tanZCPQ=',再由/CBQ=/CPQ可求出答案.CD=BC,AC与BD交于点E。2.如图，点A、B、CD是直径为AB的。O上的四个点,(1)求证：DC2=CEAC;Al(2)若AE=2EC,求

4、之值;（3）在（2）的条件下，过点C作。O的切线，交AB的延长线于点H,若S/xach=外'3,求EC之长.【答案】（1）证明：CD=BC,ZDAC=/CDB,又/ACD=/DCE,.ACDADCEACCLDCa,DC2=CEAC;(2)解：设EC=k,则AE=2k,，AC=3k,由(1)DC2=CEAC=3k2-.CD=BC,，OC平分/DOB,.-.BC=DC=Wk,AB是。O的直径，在RtMCB中，-出M效-加-A3k,.4P，OB=OC=OD=Wk,，/BOD=120；./DOA=60°,.AD=AO,.(3)解：.CH是。O的切线，连接CO,.1.OCXCH./CO

5、H=60°,/H=30°,过C作CG±AB于G,仅EC=K,.乙CAB=3U,-,又/H=/CAB=3U°,AC=CH=3k,¥L3LSaach=kk2=4,k=2,即EC=2.jX员例X-k=93【解析】【分析】(1)要证DC2=CEAC,只需证ACgDCE即可求解；(2)连接OC,OD,根据已知条件AE=2EC可用含k的代数式表示线段AE、CEAC,由(1)可将CD用含K的代数式表示，在RtACB中，由勾股定理可将AB用含K的代数式表示，结合已知条件和圆的性质可求解；(3)过C作CG±AB于G,设EC=k,由3U度角所对的直角边等

6、于斜边的一半可将CG用含K的代数式表示，根据三角形ACH的面积:AH乂CG=%3即可求解。3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A(0,2)和C(2:0),点D是对角线AC上一动点(不与AC重合)，连结BD,作，交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.图(1)图(2)(1)填空：点B的坐标为;(2)是否存在这样的点D,使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；(3)求证：加3；设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用的结论)，并求出y的最小值【答案】（i）力（2）解：存在，理由如下:

7、,.QA=2,OC=Wj,tan/ACO毋=3,/ACO=30；/ACB=60°如图（1）中，当E在线段CO上时，DEC是等腰三角形，观察图象可知,ED=EC/DCE=ZEDC=30,°/DBC=ZBCD=60,° .DBC是等边三角形， .DC=BC=Z在RtAAOC中， /ACO=30；OA=2,.AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2, 当AD=2时，ADEC是等腰三角形，如图（2）中，当E在OC的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有/DBC=ZDEC=ZCDE=15,°/ABD=ZADB=75: .AB=AD=2口，综上所述，满足条件

8、的AD的值为2或2期日.只有CD=CE,（3）如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。 .A(0.2)和C(23,0), 直线AC的解析式为y=-33x+2,设D(a,-33a+2),DN=-33a+2,BM=23-a /BDE=90,° /BDM+ZNDE=90,ZBDM+ZDBM=90:/DBM=ZEDN, /BMD=ZDNE=90; .BMD-ADNE, .DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如图（2）中，作DHLAB于HoH3E(2)在RtAADH中， .AD=x,ZDAH=ZACO=30,°.DH=12AD=12x,AH=AD2-DH2=32x,

9、.BH=23-32x,在RtBDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, .DE=33BD=3312x2+23-32x2,.矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即y=33x2-23x+43,y=33x-32+3.33>0,，x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】(1)四边形AOCB是矩形，BC=OA=2,OC=AB=W,/BCO=ZBAO=90:.B(-W,2)【分析】(1)根据点A、C的坐标，分别求出BCAB的长，即可求解。(2)根据点A、C的坐标，求出/ACO,ZACB的度数，分两种情况讨论：如图(1)中，当E在线段CO上时，

10、DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC如图(2)中，当E在OC的延长线上时，DCE是等腰三角形，只有CD=CE,/DBC=/DEC=ZCDE=15，分另1J求出AD的长，即可求解。(3)如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。利用待定系数法求出直线AC的解析式，设D(a,-a+2),分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明BMD-ADNE,然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；如图(2)中，作DHXAB于H。设AD=x,用含x的代数式分别表示出DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出y与x的函数关系式，求出顶点坐标，即可求解

11、。4.如图，抛物线=川-戈:11口巾0)与轴交于a,B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D,其对称轴与者轴交于点匚联接AD,OD.(1)求顶点D的坐标(用含，的式子表示)；(2)若OD，AD,求该抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M,若AME与4OAD相似，求点P的坐标.【答案】(1)解：-密森+121tl=鼠又-4户一盘，顶点D的坐标为(4,-4m)(2)解：y=iix2-8mx“12m=in(x-5)(x6).点A(6,0)，点B(2,0),则OA=6,二,抛物线的对称轴为x=4,.点E(4,0),贝UOE=4,AE

12、=2,又DE=4m,由勾股定理得：必二如物二必/，川，一行二3+招=加+，又ODLAD,Aif4City=UA,则/枷：,/76/416=%，解得-m>0,抛物线的函数表达式(3)解：如图，过点P作PH,x轴于点H,则APHMMME,设点P的坐标为>在RtAOAD中，0D入a以小4,PHOD当APhMAMEsAOD时，.AHOA2-Nx+（J2.|常-点.点P的坐标为g6，引;解得：x=0,x=6（舍去），APHMMMEsOADFa)=d,点p的坐标为"F解得：x=1,x=6(舍去)，5V5综上所述，点P的坐标为|但“2,或02,【解析】【分析】(1)将抛物线的解析式配成

13、顶点式即可求得顶点D的坐标；(2)要求抛物线的解析式，只须求出m的值即可。因为抛物线与x轴交于点A、B,所以令y=0,解关于x的一元二次方程，可得点A、B的坐标，则OA、OD、AD均可用含m的代数式表示；因为ODLAD,所以在直角三角形OAD中，由勾股定理可得匕4:二.加,:将OA、OD、AD代入可得关于m的方程，解方程即可得m的值，则抛物线的解析式可求解；(3)4AME与4OAD中的对应点除直角顶点D、E固定外，其余两点都不固定，所以分两种情况： 当AMEsAOD时，过点P作PHI±x轴于点相应的比例式求解； 当AMEsOAD时，过点P作PHI±x轴于点相应的比例式求解。

14、H,易得APHMAAMEsMOD,H,易得APHMAAMEsOAD,可得可得5.如图，在矩形ABCD中，-5,4，点E是BC边上的点，跳=3,连接ae,DF上AE交于点F.(1)求证：咫E里DFA；连接CF,求sikDCFl的值；g(3)连接AC交DF于点G,求R的值.【答案】(1)证明：二四边形ABCD是矩形,/BAD=ZADC=ZB=90；AB=CD=4,.DFAE,/AFD=90； /BAE+/EAD=/EAD+/ADF=90；/BAE=ZADF,在RtABE中， .AB=4,BE=3,.AE=5,在ABE和ZDFA中，NABE-ZDFABAE= .ABEADFA(AAS).(2)解：连

15、结DE交CF于点H, .ABEADFA, .DF=DC=4,AF=BE=3 .CE=EF=2 DEXCF, /DCF+ZHDC=ZDEC+ZHDC=90； /DCF玄DEC,在RtDCE中， .CD=4,CE=2DE=25,CD4第sin/DCF=sinZDEC=(3)过点C作C。AE交AE的延长线于点K,1 .DFXAE,2 .OK/DF,AC.护GCFX,在RtACEK中,EK=CEcos/CEK=CEbos/AEB=26lb3 .FK=FE+EK=2+=16/BAE=ZADF,1(1)由矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得在RtAABE中，根据勾股定理可得AE=5,由全等三角形的判

16、定AAS可得ABEDFA.(2)连结DE交CF于点H,由(1)中全等三角形的性质可知DF=DC=4AF=BE=3由同角的余角相等得/DCF之DEC,在RtDCE中，根据勾股定理可得DE=20根据锐角三角函数定义可得答案.(3)过点C作CK!AE交AE的延长线于点K,由平行线的推论知AG尚OK/DF,根据平行线所截线段成比例可得b6r用，在RtCEK中，根据锐角三角函数定义可得EK=，从而求出FK,代入数值即可得出答案6.已知：如图，在RtAABC中，/C=90°,点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且/CBD=/A.(1)判断直线BD与。O的位置关

17、系，并证明你的结论;(2)若AD:AO=8:5,BC=2,求BD的长.【答案】(1)解：BD是。的切线；理由如下：OA=OD,/ODA=ZA ./CBD=/A,./ODA=/CBD, /C=90,°/CBD+ZCDB=90； /ODA+ZCDB=90,°/ODB=90；即BD±OD,.BD是。O的切线(2)解：设AD=8k,贝UAO=5k,AE=2OA=10k,.AE是。的直径，/ADE=90,°/ADE=ZC,又/CBD叱A,.MDEsBCD,AEBL10k心.讪一位,即额3,解得：BD=/.所以BD的长是/【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质和已

18、知得出/ODA=/CBD,由直角三角形的性质得出/CBD+/CDB=90,因此ZODA+ZCDB=90,得出/ODB=90,即可得出结论；(2)设AD=8k,贝UAO=5k,AE=2OA=10k,由圆周角定理得出ZADE=90,AADEABCD,AEBL得出对应边成比例.基即可求出BD的长.7.如图，在4ABC中，AB=AC,以AB为直径的0O分别交BC,AC于点D,E,连结EB,交OD于点F.C(1)求证：OD,BE.(2)若DE=.，AB=6,求AE的长.什的而不曰而不的十任E几:、的企廿0(3)若4CDE的面积是OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由.【答案】(1)

19、证明：连接AD,'.AB是直径，ZAEB=ZADB=90,.AB=AC,ZCAD=ZBAD,BD=CD,团囱.BD肛ODXBE;(2)解:ZAEB=90,ZBEC=90,BD=CD,BC=2DE=2,后,.四边形ABDE内接于。O,ZBAC+ZBDE=180,ZCDE+ZBDE=180,ZCDE土BAG,ZC=ZC,.CDEACAB,.CBAB即j66.CE=2,.AE=AC-CE=AB-CE=4(3)解：VBD=CD,SaCDSaBDE,BD=CD,AO=BO,.OD/AC,.OBRAABE,府3Saabe=4Saqbf=6Scde,SacabfSacde+Sabde+Saabe=8

20、Sacde,-/CDEACAB,SACS£CD,/：.sACASCA8,a)iBD=CD,AB=AC,BC1.加V。，即AC=kEBC【解析】【分析】(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及CEDE平行线的性质即可证明；(2)先证CDa4CAB得CB一曲,据此求得CE的长，依据5金的郎/S()"二一§-谀'仍"据此知Saabe=4Saqbf,结合,乙152s如CDnISacab=8Sacde,由CDaCAB知5亡伤口舌BC1BD=CD,AB=AC知"，二，从而得出答案.AE=AC-CE=AB-CEM得答案；(3)

21、由BD=CD知Sacde=Sabde,证OBFABE得脚知Saabe=6Scde,CD1,据此得出CA入三,结合图iE;备用图8.如图1,在四边形ABCD中，/DAB被对角线AC平分，且形为可分四边形"，/DAB称为何分角”.AC2=AB?AD,我们称该四边(1)如图2,四边形ABCD为何分四边形"，/DAB为可分角”，求证：DA84CAB.(2)如图2,四边形ABCD为可分四边形”，/DAB为何分角”，如果/DCB=/DAB,则ZDAB=(3)现有四边形ABCD为何分四边形"，/DAB为可分角"，且AC=4,BC=2,/D=90°,求AD的长

22、.【答案】(1)证明：四边形ABCD为何分四边形"，/DAB为可分角”，.,AC2=AB?AD,ACAL,?/DAB为何分角”，/CAD=/BAC,DABCAB(2)120(3)解：二四边形ABCD为何分四边形"，/DAB为可分角”.-.AC2=AB?AD,ZDAOZCAB, .AD:AC=AC:AB,.ADOAACB,ZD=ZACB=90,.ab=，/'4至!F4»A5，,AD=*8入35.晒故答案为T.【解析】【解答】(2)解：如图所示：-/AC2=AB?AD, .AD:AC=AC:AB, AADOAACB,ZD=Z4, ZDCB=ZDAB,ZDCB=

23、Z3+Z4=2Z1, Z1+ZD+Z3=Z1+Z4+Z3=180；Z1+2Z1=180,解得：Z1=60°,ZDAB=120;故答案为：120;dJ型【分析】(1)根据可分四边形”的定义，可得AC2=AB?AD,从而可得.钻AC,根据对应边成比例且夹角相等可证ADACCAB;(2)根据对应边成比例且夹角相等可证AD8AACB,可得/D=/4,由/DCB=Z3+Z4=2Z1,根据三角形内角和可得Z1+ZD+Z3=Z1+Z4+Z3=Z1+2Z1=180；求出/1=60°,从而求出/DAB的度数；(3)先证ADCsACB,可得/D=/ACB=90°,利用勾股定理求出AB

24、=、"，由AC2=AB?AD,即可求出AD的长.二、圆的综合9.如图，。是4ABC的外接圆，点E为4ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F,交。O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使/BDM=/DAC.(1)求证：直线DM是。O的切线；若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.VD【答案】(1)证明见解析(2)2J3【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到ODLBC,再根据/BDM=/DBC,即可判定BC/DM,进而彳#到ODLDM,据此可得直线DM是。的切线；(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DA

25、B,即可得到DB2=DF?DA,据此解答即可.【详解】(1)如图所示，连接OD.点E是4ABC的内心，./BAD=/CAD,.BDCD，ODBC.又./BDM=/DAC,/DAC=/DBC,./BDM=/DBC,.BC/DM,.1.ODXDM.又OD为。O半径，.直线DM是。的切线.(2)连接BE.£为内心，/ABE=/CBE/BAD=ZCAD,/DBC=ZCAD,./BAD=ZDBC,./BAE+ZABE=ZCBEZDBC,即ZBED=ZDBE,.BD=DE.又/BDF=/ADB(公共角),.DBFsDAB,.史理，即DB2=DF?DA.DBDA.DF=2,AF=4,DA=DF+A

26、F=6,.DB2=DF?DA=12,.DB=DE=2J3.MD【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.10. (1)如图1,在矩形ABCD中，点O在边AB上，/AOC=/BOD,求证：AO=OB;(2)如图2,AB是。的直径，PA与。相切于点A,OP与。相交于点C,连接CB,ZOPA=40；求/ABC的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)25°.【解析】试题分析：(1)根据等量代换可求得/AOD

27、=/BOC,根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知/A=/B=90°,AD=BC,根据三角形全等的判定AAS证得AOD0BOC,从而得证结论.(2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角/POA的度数，然后利用圆周角定理来求/ABC的度数.试题解析：(1)-ZAOC=ZBOD /AOC-/COD=ZBOD-/COD即/AOD=ZBOC 四边形ABCD是矩形/A=ZB=90；AD=BCAODBOC.AO=OB(2)解：.AB是eO的直径，PA与eO相切于点A, .PA，AB,/A=90:又/OPA=40,/AOP=50；.OB=OC,/B=/OCB.又/AOP=/B

28、+ZOCB,“1八BOCBAOP25.211.函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6,0）、B（0,2）,点C（x,y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x、V,若最大值存在，设最大值为m,则有函数关系式y=-x+m,由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为；（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2,以（1）中的AB为斜边在右上方作R9ABM.设点M坐标为（x,y）,求（x+y）的最大值是多少？分析：（1）根据一次函数

29、的性质即可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作RtABC,可知点C在以AB为直径的OD上运动，根据点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与。D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+百，1+J5）,代入直线y=-x+m,可得m=4+2j5,即可得出x+y的最大值为4+2,5.详解：（1）6;（2）由题可得，点C在以AB为直径的OD上运动，点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m,则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与。D相切，交x轴与E,如图所示，连接OD,CD.A（6,0

30、）、B（0,2）,D（3,1）,OD=71232=710,.CD=VTq.根据CD,EF可得，C、D之间水平方向的距离为J5,铅垂方向的距离为J5,，C（3+石，1+J5）,代入直线y=-x+m,可得：1+J5=（3+而）+m,解得：m=4+275,x+y的最大值为4+275.故答案为：4+2石.点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解.12.如图，在直角坐标系中，OM经过原点0(0,0),点A(J6,0)与点B(0,J2),点D在劣弧0A上，连结BD交x轴于点C,且

31、/CO4/CBO.(1)求。M的半径；(2)求证：BD平分/ABO;(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为。M的切线，求此时点E的坐标.【答案】(1)M的半径r=J2;(2)证明见解析；(3)点E的坐标为(今6,后),【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据RtAOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出/ABD=/COD,然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出4AB瞌4HBE,从而得出BH=BA=2j2,从而求出OH的长度，即点E的纵坐标，根据RtAOB的三角函数得出/ABO的度数，从而得出/CBO的度数，然后根据RtH

32、BE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：(1)丁点a为(J6,0),点b为(0,五)，oa=J6ob=J2根据RtAOB的勾股定理可得：AB=272，eM的半径r=1AB=72.(2)根据同弧所对的圆周角相等可得：/ABD=ZCOD/COD=ZCBO，/ABD=ZCBOBD平分/ABO(3)如图，由(2)中的角平分线可得ABEHBE，BH=BA=2&.0H=2J2在RtAAOB中,OAOBJ3/ABO=60°/CBO=30°H嚼限点E的坐标为誉”在RtHBE中,考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数13.如图，4ABC内接于OO,/BAC的平分

33、线交。于点D,交BC于点E(BE>EQ,且BD=2J3.过点D作DF/BC,交AB的延长线于点F.(1)求证：DF为。的切线；(2)若/BAC=60°,DE=",求图中阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析；(2)9J3-2兀.【解析】【分析】(1)连结OD,根据垂径定理得到ODLBC,根据平行线的性质得到ODLDF,根据切线的判定定理证明；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BHLDF于H,证明OBD为等边三角形，得到/ODB=60；OB=BD=2，3,根据勾股定理求出PE,证明AB&4AFD,根据相似三角形的性质求出AE,根据阴影部分的面积=4BDF的面

34、积-弓形BD的面积计算.【详解】证明：(1)连结OD,AD平分/BAC交。于D,ZBAD=ZCAD,bd=Cd,ODXBC, .BC/DF, .ODSF, .DF为。O的切线；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BHDF于H,FHD /BAC=60,°AD平分/BAC,/BAD=30；/BOD=2/BAD=60,°.OBD为等边三角形，/ODB=60；OB=BD=2V3,/BDF=30；1.BC/DF,/DBP=30；1 一一在RtDBP中，PD=-BD=a/3,PB=73PD=3,在RtDEP中，PD=/3,DE=y/7,PE=(.'7)2(；3)2=2, .O

35、PXBC,BP=CP=3.CE=3-2=1, /DBE=ZCAE,/BED=ZAEC,.,.BDEAACE, .AE:BE=CEDE,即AE:5=1:6，5x7.AE=-71.BE/DF,.ABEAAFD,5<7BEAE5一一，即3r厂，DFADDF125解得DF=12,在RtBDH中，BH=1BD=73,，阴影部分的面积=BDF的面积-弓形BD的面积=4BDF的面积-(扇形BOD的面积-BOD的面积）=1127360（2扃叵（2盾=9732.23604【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积

36、公式是解题的关键.14.如图，AB为。的直径，BC为。O的弦，过O点作OD，BC,交。O的切线CD于点D,交。O于点E,连接AC、AE,且AE与BC交于点F.(1)连接BD,求证：BD是。的切线；(2)若AF：EF=2：1,求tan/CAF的值.D【答案】(1)证明见解析；(2)23.3【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质得到/OBD=ZOCD=90,根据切线的判定定理即可得到结论；(2)根据已知条件得到AC/DE,设OD与BC交于G,根据平行线分线段成比例定理得到11AC:EG=21,EG=±AC,根据二角形的中位线的性质得到OG7AC于是得到AC=OE求得/ABC=30,即

37、可得到结论.【详解】证明：(1)OC=OBOD±BC,/COD=ZBOD,在COD与BOD中，OC=OBCOD=BOD,OD=OD.-.CODABOD,/OBD=ZOCD=90:.BD是。O的切线；D(2)解：AB为。的直径，AC±BC,1 .ODXCB,2 .AC/DE,设OD与BC交于G,.OE/AC,AF:EF=21,13 .AC:EG=2:1,即EG=-AC,.OG/AC,OA=OB,14 OGAC,211.OG+GE-AC+-ACAG225 .ACOE,1.AC-AB,26 /ABC30,7 /CAB60,8 ?CEBE'一一1”。9 /CAF/EAB-/

38、CAB30,2."CAFta30二旅本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键.15.如图，四边形ABCD是。的内接四边形，AC为直径，？DAD，DE±BC,垂足为E.(1)判断直线ED与。O的位置关系，并说明理由;(2)若CE=1,AC=4,求阴影部分的面积.2-【答案】(1)ED与eO相切理由见解析；(2)S阴影=J3.3【解析】【分析】(1)连结OD,如图，根据圆周角定理，由BdAD得到/BAD=/ACD,再根据圆内接四边形的性质得/DCE=/BAD,所以/ACD=/DCE;利用内错角

39、相等证明OD/BC,而DE±BC,则OD,DE,于是根据切线的判定定理可得DE为。的切线；(2)作OHUBC于H,易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2,则CH=HE-CE=1,于是有/HOC=30。，得到/COD=60。，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD-S»AOCD进行计算即可.【详解】(1)直线ED与。O相切.理由如下：连结OD,如图，?DAD，/BAD=/ACD./DC-BAD,/ACD=ZDCE. .OC=OD,./OCD=/ODC,而/OCD=/DCE/DCE=ZODC,.OD/BC. .DEXBC,ODXDE,.DE为。的切线；(2)作OHBC于H,则四边形ODEH为矩形，OD=EH. .CE=1,AC=4,OC=OD=2,.CH=HECE=2-1=1.在R匕OHC中，/OC=2,CH=1,/OHC=90；/HOC=30；ZCOD=60；，阴影部分的面积=S扇形ocd-S；aocd6022.3._2?236043兀6【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，