测量专业课件第五章改

1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识51 测测 量量 误误 差差 概概 述述 测量结果不可避免地存测量结果不可避免地存在误差在误差一、测量误差产生的原因一、测量误差产生的原因1、仪器的结构不可能十、仪器的结构不可能十分完善。分完善。2、观测者的感觉器官的、观测者的感觉器官的鉴别能力有限。鉴别能力有限。3、观测在一定的外界条、观测在一定的外界条件下进行的。件下进行的。 把仪器、观测者的技术把仪器、观测者的技术水平和外界条件三个方面水平和外界条件三个方面综合起来综合起来,称为称为观测条件。观测条件。观测条件相同的各次观测观测条件相同的各次观测称称等精度观测等精度观测。观测条件不同的各

2、次观测观测条件不同的各次观测称称非等精度观测非等精度观测。二、误差的分类二、误差的分类1、系统误差系统误差系统误差系统误差在相同的观在相同的观测条件下，对某量进行一测条件下，对某量进行一系列观测，误差出现的符系列观测，误差出现的符号和大小相同或按一定规号和大小相同或按一定规51 测测 量量 误误 差差 概概 述述律变化的误差。律变化的误差。特性特性：符号相同，大小为：符号相同，大小为常数或按一定规律变化。常数或按一定规律变化。处理方法处理方法： 加改正数。加改正数。 观测时采取一定的措施。观测时采取一定的措施。2、偶然误差、偶然误差偶然误差偶然误差在相同的观测在相同的观测条件下，对某量进行一系

3、列条件下，对某量进行一系列观测，误差的符号和大小均观测，误差的符号和大小均不一致，从表面上看没有规不一致，从表面上看没有规律的误差。律的误差。特性特性：a、该误差的绝对值不超、该误差的绝对值不超过一定的限度。过一定的限度。 b、绝对值大的比绝对值、绝对值大的比绝对值小的误差出现的机会多。小的误差出现的机会多。 c、绝对值相同的正负误差、绝对值相同的正负误差出现的机会相同。出现的机会相同。d、该误差的平均值，随、该误差的平均值，随观测次数的增加趋近于零。观测次数的增加趋近于零。处理方法处理方法： 采取多余观测。采取多余观测。 对成果进行平差。对成果进行平差。51 测测 量量 误误 差差 概概 述

4、述律变化的误差。律变化的误差。特性特性：符号相同，大小为：符号相同，大小为常数或按一定规律变化。常数或按一定规律变化。处理方法处理方法： 加改正数。加改正数。 观测时采取一定的措施。观测时采取一定的措施。2、偶然误差、偶然误差偶然误差偶然误差在相同的观在相同的观测条件下，对某量进行一测条件下，对某量进行一系列观测，误差的符号和系列观测，误差的符号和大小均不一致，从表面上大小均不一致，从表面上看没有规律的误差。看没有规律的误差。特性特性：a、该误差的绝对值不超、该误差的绝对值不超过一定的限度。过一定的限度。 b、绝对值大的比绝对值、绝对值大的比绝对值小的误差出现的机会多。小的误差出现的机会多。

5、c、绝对值相同的正负误差、绝对值相同的正负误差出现的机会相同。出现的机会相同。d、该误差的平均值，随、该误差的平均值，随观测次数的增加趋近于零。观测次数的增加趋近于零。处理方法处理方法：采取多余观测。采取多余观测。对成果进行平差。对成果进行平差。52 衡衡 量量 精精 度度 的的 指指 标标 二、相对误差二、相对误差(relative error) 相对中误差相对中误差中误差的中误差的绝对值与相应观测值之比。绝对值与相应观测值之比。中中误差误差为为: 一、方差与中误差一、方差与中误差设对某未知量进行了设对某未知量进行了n n次次等精度观测，其观测值为等精度观测，其观测值为l l1 1、l l2

6、 2、l l3 3 l ln n，相应的真相应的真误差为误差为 1 1、2 2、3 3、 n n，则该组，则该组观测观测值的值的方差方差为为: : n n l li im mD Dn nn n m mK|m|D1(D/|m|)三、极限误差三、极限误差(limit error)极限误差极限误差在一定的观在一定的观测条件下，偶然误差的绝测条件下，偶然误差的绝对值不会超过的限值。对值不会超过的限值。通常以三倍中误差为极限通常以三倍中误差为极限误差的估值。即：误差的估值。即：极极3|m|一般取二倍或三倍中误一般取二倍或三倍中误差作为偶然误差的容许差作为偶然误差的容许值。即：值。即：容容2m 或或容容3

7、m53 误误 差差 传传 播播 定定 律律 误差传播定律误差传播定律阐明函数阐明函数中误差与观测值中误差间关中误差与观测值中误差间关系的定律。系的定律。设有函数设有函数Z=F(x1, x2,xn)设设x xi i的观测值为的观测值为l li i, ,其真误差其真误差为为x xi i, ,相应函数相应函数Z Z的真误的真误差差Z Z，将上式取全微分，将上式取全微分得得：n nn n2 22 21 11 1d dx xx xF Fd dx xx xF Fd dx xx xF Fd dZ Z因因xi 、Z很小，可用很小，可用xi 、Z代替代替dxi及及dZ。于。于是有：是有：n nn n2 22 2

8、1 11 1x xx xF Fx xx xF Fx xx xF FZ Z则上式为则上式为：Zf1x1+ f2x2+ fnxn设对设对xi观测了观测了k次，则有次，则有：令令i il lx xi if f) )x xF F( (i ii i( (k k) )n nn n( (k k) )2 22 2( (k k) )1 11 1( (k k) )( (2 2) )n nn n( (2 2) )2 22 2( (2 2) )1 11 1( (2 2) )( (1 1) )n nn n( (1 1) )2 22 2( (1 1) )1 11 1( (1 1) )x xf fx xf fx xf fZ

9、 Zx xf fx xf fx xf fZ Zx xf fx xf fx xf fZ Z将以上各式等号两边平方将以上各式等号两边平方后相加得：后相加得：53 误误 差差 传传 播播 定定 律律 n nj ji i1 1j ji i, ,j ji ij ji i2 2n n2 2n n2 22 22 22 22 21 12 21 12 2 x x x xf ff f x xf f x xf f x xf f Z Z上式两端各除以上式两端各除以k得：得：n nj ji i1 1j ji i, ,j ji ij ji i2 2n n2 2n n2 22 22 22 22 21 12 21 12 2k

10、 k x x x xf ff fk k x xf fk k x xf fk k x xf fk k Z Z: :所所以以有有 : : 因因为为 0 0k k x x x xl li im mj ji ik k) )k k x xf fk k x xf fk k x x( (f fl li im mk k Z Zl li im m2 2n n2 2n n2 22 22 22 22 21 12 21 1k k2 2k k53 误误 差差 传传 播播 定定 律律 由中误差的定义，上式可由中误差的定义，上式可写成：写成：2 2n nn n2 22 22 21 11 12 2z zf ff ff f2

11、2 例例 设在三角形中，直接设在三角形中，直接观测观测A A、 B B，其中误，其中误差分别为差分别为mmA A33，mmB B44，求由，求由A A、 B B计算计算C C的中误差的中误差mmC C。解：解：函数关系式为：函数关系式为：C180A BmC2mA2mB2 (3)2(4)2mC 5当当k有限时，可写为：有限时，可写为：2 2n nn n2 22 22 21 11 12 2z zm mf fm mf fm mf fm m2 22 2n n2 2n n2 22 22 22 22 21 12 21 1z zm m) )x xF F( (m m) )x xF F( (m m) )x xF

12、 F( (m m即即：1 1, ,A AF Ff f1 1：则则1 1B BF Ff f2 253 误误 差差 传传 播播 定定 律律 例例对某段距离量了对某段距离量了n n次，次，观测值为观测值为l l1 1、 l l2 2、l ln n，为相互独立的等精度观测，为相互独立的等精度观测，观测值中误差为观测值中误差为mm，求其，求其算术平均值算术平均值L L的中误差的中误差MM。解：解：函数关系式为：函数关系式为：根据误差传播定律有：根据误差传播定律有：n21n21ln1ln1ln1nlllLn1lFf12n1lFf22n1lFf n2最后得：最后得：nmnmn1mn1mn1mn1M 2222

13、222222nmM 54 等精度直接观测的最可靠值等精度直接观测的最可靠值 设对某量进行了一组设对某量进行了一组等精度观测，观测值为等精度观测，观测值为l l1 1、l l2 2、l ln n，则最可靠值则最可靠值为：为：利用观测值的改正数计算利用观测值的改正数计算观测值中误差的公式（白观测值中误差的公式（白塞尔公式塞尔公式 ）：）：n21n21ln1ln1ln1nlllL1nvvm式中：式中： v1Ll1 v2Ll2 vnLln例：例：设用经纬仪测量某角设用经纬仪测量某角度度6测回，观测值为：测回，观测值为： 65030, 65026， 65028, 65024， 65025, 65023。

14、求观测值的中误差及算术平求观测值的中误差及算术平均值的中误差。均值的中误差。解：解：算术平均值为：算术平均值为：54 等精度直接观测的最可靠值等精度直接观测的最可靠值 =65023+(7+3+ 5+1+2)/6 = 65026由公式：由公式： viLli得得改正数为：改正数为：4、0、 2、2、1、3。6lllnlllL621n216 62 2. .1 16 63 34 41 1n n v vv v m m 算术平均值的中误差为：算术平均值的中误差为：1 .166 .2 nmM 注注：增加观测次数可提高：增加观测次数可提高精度。但当次数增加到一精度。但当次数增加到一定值后，提高精度的效果定值后

15、，提高精度的效果不大，而应提高观测本身不大，而应提高观测本身的精度。的精度。55 权权 权权表示各非等精度观测表示各非等精度观测可靠程度的数值。可靠程度的数值。 权只有相对意义，起作用权只有相对意义，起作用的不是它们的绝对值，而是的不是它们的绝对值，而是它们间的比值。它们间的比值。一、权与中误差的关系一、权与中误差的关系设设为任意大于零的常数为任意大于零的常数则：权则：权pimi2l l1 1、 l l2 2、l ln n，权为权为p p1 1、p p2 2、p pn n。则其最可靠。则其最可靠值加权平均值为：值加权平均值为：单位权中误差为：单位权中误差为：n21nn22110ppplplpl

16、pL加权平均值的中误差为：加权平均值的中误差为：二、加权算术平均值及二、加权算术平均值及其中误差其中误差设对一未知量进行了设对一未知量进行了n n次次非等精度观测，观测值为非等精度观测，观测值为1 1) )n np pp pv vv vM M0 0 ( ( 1 1n np pv vv vm m0 0 55 权权 观测值的中误差为：观测值的中误差为：解：解：设设A、B、C点到点到Q的的路线名为路线名为1、2、3且且= 10km,则则p1=/2.5=4 同理同理p2=2.5 p3=5 HQ1=HA+1.538=21.683 同理同理 HQ2=21.700 HQ3=21.680 Q点的高程为：点的高

17、程为：例：例：为求为求QQ点的高程，从点的高程，从A A、B B、C C三水准点向三水准点向QQ点进行点进行了同等级的水准测量，了同等级的水准测量， A A、B B、C C点的高程为点的高程为20.14520.145、24.03024.030、19.89819.898mm。A A、B B、C C点到点到QQ的路线长以及高差的路线长以及高差为为2.52.5、4.04.0、2.02.0km;1.538km;1.538、-2.330-2.330、1.782m1.782m。求。求QQ点点的高程及其中误差，观测的高程及其中误差，观测值是误差。值是误差。i0ip1mm685.213213322110ppplplplpL 55 权权 改正数改正数v1=L0l1=2mm同理同理v2=15mm v3=5mm单位权中误差为：单位权中误差为：加权平均值的中误差为：加权平均值的中误差为：