(完整版)相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

1、相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1,已知：如图，在4ABC中，点D在边BC上，且/BAC=/DAG,/CDG=/BAD（1）求证：J!=上;ABAC(2)当GCLBC时，求证：ZBAC=90F分别是垂足.2 .如图，已知在4ABC中，/ACB=90,点D在边BC上,CEXAB,CFXAD,E、(1)求证：AC2=AF?AD;(2)联结EF,求证：AE?DB=AD?EF.3 .如图，4ABC中，PC平分/ACB,PB=PC.(1)求证：APCsACB;(2)若AP=2,PC=6,求AC的长.4 .如图，在平行四边形ABCD中，过B作BELCD,垂足为点E,连接AE,F为AE上一点，且

2、/BFE=/C.(1)求证：ABFsEAD;(2)若AB=4,/BAE=30,求AE的长.5.已知：如图，4ABC中,求证：AB?BC=AC?CD./ABC=2ZC,BD平分/ABC.6,已知4ABC,ZACB=90的理由.,AC=BC，点E、F在AB上，/ECF=45,设ABC的面积为S,说明AF?BE=2S7.等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.(1)若AE=CF;求证：AF=BE,并求/APB的度数；若AE=2,试求AP?AF的值；(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.8.如图所示，AD,BE是钝角4ABC的

3、边BC,AC上的高，求证:BEBC9 .已知：如图，在4ABC中，AB=AC,DE/BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且/EDF=/ABE.求证：(1)DEFsDE;(2)DG?DF=DB?EF.10 .如图，ABC、DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2,问E在何处时CH的长度最大？3EC11.如图，AB和CD交于点O,当/A=/C时，求证:OA?OB=OC?OD.12 .如图，已知等边三角形4AEC,以AC为对角线做正方形ABCD(点B在4AEC内，点D在4AEC外).连接EB,过E作EFXAB,交AB的延长线为F.(1

4、)猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想.(2)证明：aBEFsABC,并求出相似比.13.已知：如图，4ABC中，点D、E是边AB上的点,(1)求证：CEDsACD;CD平分/ECB,且BC2=BD?BA.14 .如图，4ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且/BAD=/BGD=/C,联结AG.(1)求证：BD?BC=BG?BE;(2)求证：/BGA=/BAC.15 .已知：如图，在4ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且ADBC,BEXAC,BE,AD相交于点G,过点B作BF/AC交AD的延长线于点F,DF=6.(1)求AE的长；(2)求互出的值.A

5、FBG16 .如图，4ABC中，/ACB=90,D是AB上一点，M是CD中点，且/AMD=/BMD,AP/CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN.(1)求证：MN=MA;(2)求证：/CDA=2/ACD.2.17 .已知：如图，在4ABC中，已知点D在BC上，联结AD,使得/CAD=/B,DC=3且Saacd:Saadb=1(1)求AC的值；的值.(2)若将4ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F,且AB/DE,求18 .在4ABC中，D是BC的中点，且AD=AC,DEBC,与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证：ABCsFCD;(2)若DE

6、=3,BC=8,求4FCD的面积.CE19 .如图，4ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作ZADE=60,DE与4ABC的外角平分线交于点E.(1)求证：/BAD=/FDE;(2)设DE与AC相交于点G,连接AE,若AB=6,AE=5时，求线段AG的长.20 .如图所示，4ABC中，/B=90,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发，经几秒，使4PBQ的面积等于8cm2?(2)如果P,Q分别从A,B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，

7、使4PCQ的面积等于12.6cm2?21 .已知：如图，4ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60彳导到线段DE,延长ED交AC于点F,连接DC、AE.(1)求证：ADEDFC;(2)过点E作EH/DC交DB于点G,交BC于点H,连接AH.求/AHE的度数；(3)若BG=工CH=2,求BC的长.322 .如图，在4ABC中，CD平分/ACB,BE/BC交AC于点E.(1)求证：AE?BC=AC?CE;(2)若$ade：Sacde=4：3.5,BC=15,求CE的长.23 .如图，四边形ABCD中，AC平分/DAB,ZADC=ZACB=90,E为AB的中点,(1)求证：a

8、c2=ab?ad；(2)求证：CE/AD;(3)若AD=4,AB=6,求堡的值.AF24.在4ABC中，/CAB=90,AD，BC于点D,点E为AB的中点，EC与AD交于点G,点(1)如图1,AC:AB=1:2,EFXCB,求证：EF=CD.(2)如图2,AC:AB=1:73，EFXCE,求EF:EG的值.BC上.25.如图，M、N、P分别为4ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F.(1)求证：BF=2FP;(2)设4ABC的面积为S,求4NEF的面积.BNC26 .在RtAABC中，/ACB=90,CDXAB,垂足为D,E、F分别是AC,BC边上一点，且CE,AC,

9、BFBC,414(1)求证：笆上;BCBD(2)求/EDF的度数.C27 .如图，4ABC是等边三角形，且AB/CE.(1)求证：ABDsCED;(2)若AB=6,AD=2CD,求E到BC的距离EH的长.求BE的长.28.如图，RtAABC是由RtAABC绕点A顺时针旋转得到的,(1)若AC=3,AB=4,求比,(2)证明：ACEsFBE;(3)设/ABC=a,/CAC=3,试探索“、3满足什么关系时,连接CC交斜边于点巳CC的延长线交BB于点F.ACE与4FBE是全等三角形，并说明理由.29 .如图，ABC是等边三角形，/DAE=120,求证：(1)ABDsECA;(2)BC2=DB?CE.

10、30 .如图，在RtAABC中，ZC=90,且AC=CD=近,又E,D为CB的三等分点.(1)证明：ADEsBDA;(2)证明：/ADC=/AEC+/B;(3)若点P为线段AB上一动点，连接PE,则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由.相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案:1.解：(1)./ADC=/B+/BAD,且/CDG=/BAD,ZADG=/B;/BAC=/DAG,AABCAADG,ABAC(2)ZBAC=ZDAG,/BAD=/CAG;又/CDG=/BAD,/CDG=/CAG, A、D、C、G四点共圆， /DAG+/DCG=180; .GCXBC,/DCG=90,

11、/DAG=90,/BAC=/DAG=9062.解：(1)如图，/ACB=90,CFXAD,/ACD=/AFC,而/CAD=/FAC,AACDAAFC,.旦_迪AFac2=af?ad.(2)如图，CEXAB,CFXAD,/AEC=ZAFC=90,A、E、F、C四点共圆，/AFE=/ACE;而ZACE+/CAE=/CAE+/B,/ACE=ZB,ZAFE=/B;/FAE=/BAD,AEFsMDB,AE:AD=BD:EF,ae?db=ad?ef.CbBB=/PCB;PC平分/ACB,./ACP=/PCB,/B=/ACP,ZA=ZA,AAPCAACB.(2)AAPCAACB,叁善AC%，AP=2,PC=

12、6,AB=8,AC=4.AP+AC=PC=6,这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾,该题无解.A4.(1)证明：.AD/BC,/C+ZADE=180, /BFE=/C,/AFB=/EDA, AB/DC,/BAE=ZAED,AABFAEAD;(2)解：.AB/CD,BELCD,/ABE=90, AB=4,ZBAE=30,AE=2BE,由勾股定理可求得AE=：,：35,证明：/ABC=2/C,BD平分/ABC,/ABD=/DBC=/C,BD=CD,1r/&二/a在AABD和AACB中，:,IZABD=ZCAABDAACB,四二口ACBC即AB?BC=AC?BD,AB?BC=AC?CD.6.证明

13、：AC=BC,ZA=ZB, /ACB=90,/A=/B=45, /ECF=45,/ECF=/B=45, /ECF+/1=/B+/1,/BCE=/ECF+/1,/2=/B+/1;/BCE=Z2,ZA=ZB,ACFsBEC.用工BE-BCAC?BC=BE?AF,Szabc=Lc?BC=BE?AF,22AF?BE=2S.7 .(1)证明：.ABC为等边三角形,AB=AC,ZC=ZCAB=60,又AE=CF,在ABE和ACAF中，Cab=acZBAE=ZACF,I.AE二CFAABEACAF(SAS),AF=BE,/ABE=/CAF.又/APE=/BPF=/ABP+/BAP,/APE=/BAP+/CA

14、F=60.ZAPB=180-/APE=120./C=/APE=60,APAEAP2位短，即宙/PAE=/CAF,AAPEAACF,所以AP?AF=12(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，且/ABP=/BAP=30,/AOB=120,又AB=6,.OA=1；，点p的路径是旦旦卫巴马四/7T.1801303当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为：-32二次四.所以，点P经过的路径长为生但冗或如

15、.38 .证明：.AD,BE是钝角ABC的边BC,AC上的高,/D=ZE=90,/ACD=/BCE,AACDABCE,.幽在BEBC9.证明：(1)AB=AC,/ABC=/ACB, DE/BC, /ABC+/BDE=180,/ACB+ZCED=180,/BDE=ZCED, /EDF=ZABE,DEFsBDE;(2)由DEFsBDE,得典DEEFde2=db?ef,由DEFsBDE,得/bed=/dfe. /GDE=/EDF, .GDEsEDF.DEde2=dg?df,dg?df=db?ef.10.解：设EC=x,CH=y,贝UBE=2-x,ABC、ADEF都是等边三角形，/B=ZDEF=60,

16、/B+/BDE=/DEF+/HEC,/BDE=/HEC,.BEDsCHE,BEBEAB=BC=2，点D为AB的中点，BD=1,宜_yT=2x即：y=-x2+2x=-(x1)2+1.当x=1时，y最大.此时，E在BC中点11.解：ZA=ZC,/AOD=/BOC,.OADsoCB,上一OCOB.OA?OB=OC?OD.12.解：(1)猜测BE和直线AC垂直.证明：AEC是等边三角形， .AE=CE,四边形ABCD是正方形，AB=CB, BE=BE,AAEBACEB(SSS)./AEB=/CEB, AE=CE, BEXAC;(2).AEC是等边三角形,/EAC=ZAEC=60,BEXAC,/BEA=

17、ZAEC=30,2四边形ABCD是正方形,./BAC=45,./BAE=15,./EBF=45,EFXBF,./F=90,./EBF=/BAC,/F=/ABC,.ABEFAACB,a,延长EB交AC于G,设AC为2a,则BG=a,EB=Ja.相似比是:0EFBE二4日-！名H3TAC2a2a213.证明：(1)BC2=BD?BA,BD:BC=BC:BA,/B是公共角，ABCDABAC,/BCD=/A,CD平分/ECB,/ECD=/BCD,/ECD=ZA,/EDC=/CDA,ACEDIAACD;皿典,EDCD(2)/ABCDABAC,ACEDAACD,皂,BCCD.ABCE二.BCED14.证明

18、：(1)./DBG=/EBC,/BGD=/C,.BDGsBEC,.也以BEBC贝UBD?BC=BG?BE;(2)ZDBA=ZABC,/BAD=/C,.DBAsABC,.里,即ab2=bd?bc,ABBCBD?BC=BG?BE,ab2=bg?be,即里=理ABBE/GBA=/ABE,AGBAAABE,/BGA=/BAC.15.解：(1)二,在ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且ADBC,BEAC,AC=AB=BC,AABC是等边三角形，/C=60, BF/AC,/CBF=/C=60,ADBC,/FDB=90,/F=30, DF=6,BD=2.；, AE=EC=BD=DC,AE=2.；;(

19、2)ZBDF=90,ZF=30,BD=2/1,BF=2DB=4近,aAC/BF,AAEGAFBG,21-=S3FBGb铲瓦16.证明：(1)AP/CD,/AMD=/MAN,/BMD=/MNA,ZAMD=ZBMD,/MAN=/MNA,MN=MA.ADEAP/CD,且PN=AN.(2)如图，连接NC,PPNNABNMC=MD,CN为直角AACP斜边AP的中线，CN=NA,/NCA=/NAC,AP/CD,/NAC=/ACD,/NCM=2/ACD,/CMN=/DMB,/DMA=/BMD,/CMD=/DMA,在ACMN和ADMA中，|fCM=KDZCMN=ZDHA,IACMNDMA(SAS),/ADM=

20、/NCM=2/ACD.即：/CDA=2/ACD.17.解：(1)Saacd:Saadb=1:2,BD=2CD,DC=3,BD=2X3=6,.BC=BD+DC=6+3=9,/CAD=ZB,ZC=ZC,ABCsADAC,.岖空一一解得AC=3（；(2)由翻折的性质得，/E=/C,DE=CD=3,AB/DE,/B=ZEDF,/CAD=/B,/EDF=/CAD,.EFDsMDC,18.(1)证明：.是BC的中点，DEBC,be=ce,/B=ZDCF,AD=AC,/FDC=ZACB,AABCAFCD;(2)解：过A作AGLCD,垂足为G.AD=AC,.DG=CG,.BD:BG=2:3,edxbc,.ED

21、/AG,.abdeabga,.ED:AG=BD:BG=2:3,DE=3,AABCAFCD,BC=2CD,笠帝用19.(1)证明：.ABC为等边三角形，/B=60,由三角形的外角性质得，/ADE+/FDE=/BAD+/B,/ADE=60,/BAD=/FDE;(2)解：如图，过点D作DH/AC交AB于H,AABC为等边三角形，ABDH是等边三角形，/BHD=60,BD=BH,/AHD=180-60=120, .CE是AABC的外角平分线，/ACE=1(180-60)=60,2/DCE=60+60=120,/AHD=/DCE=120,又AH=AB-BH,CD=BC-BD,AH=CD,在4AHD和4D

22、CE中，ZBAD=ZFDE止CD,Zahd=ZdceAAHDADCE(ASA),AD=DE, /ADE=60,AADE是等边三角形，/DAE=/DEA=60,AE=AD=5, /BAD=/BAC-/CAD=60-/CAD,/EAG=/DAE-/CAD=60-/CAD,/BAD=/EAG,AABDAAEG,220 .解：(1)设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使4PBQ面积为8cm,由题意得(6-x)?2x=8,解之，得X1=2x2=4,2经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，4PBQ的面积为8cm2,(2)当

23、P在AB上时，经x秒，4PCQ的面积为:综上所述，经过2秒或4秒，4PBQ的面积为8cm2;XPBCQ=X(6-x)(8-2x)=12.62解得：xi=第42幅(不合题意舍去)，X2=252匹,55|经x秒，点P移动到BC上，且有CP=(14-x)cm,点Q移动到CA上，且使CQ=(2x-8)cm,过Q作QDCB,垂足为D,由CQDsCAB得四,2x-8-AC即QD=2rl-10由题意得一(14-x)?0Q宜一切=12.6,解之得xi=7,x2=11.210经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使4PCQ的面积等于12.6cm2.经11秒，点P在BC上距离C点3c

24、m处，点Q在CA上距离C点14cm处，1410,点Q已超出CA的范围，此解不存在.综上所述，经过7秒和亚二过区秒时4PCQ的面积等于12.6cm2521 .(1)证明：如图，线段DB顺时针旋转60。得线段DE,/EDB=60,DE=DB.AABC是等边三角形，/B=ZACB=60./EDB=ZB.EF/BC.DB=FC,/ADF=/AFD=60.DE=DB=FC,ZADE=ZDFC=120,MDF是等边三角形.AD=DF.AADEADFC.(2)解：由ADE0DFC,得AE=DC,/1=/2.ED/BC,EH/DC,四边形EHCD是平行四边形.EH=DC,/3=/4.AE=EH.ZAEH=/1

25、+/3=/2+/4=/ACB=60AAEH是等边三角形./AHE=60.(3)解：设BH=x,贝UAC=BC=BH+HC=x+2由(2)四边形EHCD是平行四边形，ED=HC.DE=DB=HC=FC=2.EH/DC,BGHsBDC.BGBH.=BDBC即色L.2x+Z解得x=1.BC=3.3H22. (1)证明：DE/BC,/ADE=/B,/AEC=/ACB,ADEABC,.AEDE DE/BC, ./EDC=/BCD CD平分ZACB ./BCD=/DCE ./DCE=/EDC, .DE=CE,AECE 乔即AE?BC=AC?CE;AUDC(2)1.-Saade：Sacde=4：3.5,AE

26、：CE=4：3.5,.坐,AC4+3.5由（1）知一二ACBCDE=CE,.CE=8.(1)证明：.AC平分/DAB,/DAC=/CAB, /ADC=/ACB=90,ADCACB,AD:AC=AC:AB,AC2=AB?AD;(2)证明：.E为AB的中点,ce=1ab=ae,/EAC=/ECA, /DAC=/CAB,/DAC=/ECA,CE/AD;(3)解：.CE/AD,AAFDACFE,.AD:CE=AF:CF, CE=AB,CE=6=3,2AD=4,24.(1)证明：如图1,在ABC中，./CAB=90,ADBC于点D,/CAD=/B=90-/ACB.AC:AB=1:2,AB=2AC,点E为

27、AB的中点，AB=2BE,AC=BE.在AACD与BEF中，CZCAD=ZBZADC=ZBFE=90*,AC=BEAACDABEF,CD=EF,即EF=CD;(2)解：如图2,作EHAD于H,EQBC于Q, EHXAD,EQXBC,ADBC,四边形EQDH是矩形，/QEH=90,/FEQ=/GEH=90-/QEG,又/EQF=ZEHG=90, .EFQsEGH, .EF:EG=EQ:EH.,.AC:AB=1:V3,/CAB=90。,/B=30.在BEQ中，ZBQE=90,.sinB=-l!=EQBE.2ZAEH=ZB=30,在AEH中，ZAHE=90,.cos/AEH=四=亟,AE2eh=5a

28、e.2点E为AB的中点,BE=AE,EF:EG=EQ:EH=-BE:AE=1:心3.2225. (1)证明：如图1,连接PN,.N、P分别为4ABC边BC、CA的中点,.PN/AB,且昨ABFsNPF,FPFWFN乙BF=2FP.(2)解：如图2,取AF的中点G,连接MG,MG/EF,AG=GF=FN.NEFsNMG,Sanef=tSamng426. (1)证明：CDXAB,/CDB=/ADC=90,/ACD+/BCD=90,/ACB=90,/A+/ACD=90,/A=/BCD,AADCACDB,I，(2)解：CE=-AC,BF=-BC,44又/A=/BCD,/ACD=/B,ACEDABFD,/CDE=/BDF,/EDF=/EDC+/CDF=/BDF+/CDF=/CDB=90C27. 解；(1).AB/CE,/A=/DCE,又/ADB=/EDC,ABDsCED;（2）过点E作EHBF于点H,AABC是等边三角形，ABDsCED,AB=6,AD=