《抛物线的简单几何性质》课件

1、X学习目标学习目标 l1掌握抛物线的几何性质，理解其产生过程；能应用抛物线的几何性质解决问题；l2通过参与讨论、探索与辨析，揭示知识的发生、发展过程，培养对比、归纳、抽象、概括能力和动手实际能力；l重难点 抛物线的几何性质的生成及应用抛物线的几何性质的生成及应用定义：在平面定义：在平面内内,与一个定点与一个定点F和一条定直和一条定直线线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFO

2、y yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 一、温故知新一、温故知新范围范围1、yox)0 ,2(pF数：数：由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x 二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质）的几何性质?形：形：抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性对称性2、yox)0 ,2(pF( , )x y关于关于x

3、轴轴对称对称( ,)xy即点即点(x,-y) 也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2 = 2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2 = 2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上, 即满足即满足y2 = 2px，注：我们把抛物线的对称轴叫做注：我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴抛物线的轴数：数：形：形：从抛物线图像观察关于从抛物线图像观察关于x轴对称，显而易见轴对称，显而易见。顶点顶点3、yox)0 ,2(pF 定义：抛物线与它定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物的轴的交点叫做抛物线的线的顶点顶点。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：

4、抛物线y2 = 2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。双曲线有两个顶点不同。离心率离心率4、yox)0 ,2(pFP(x,y) 抛物线上的点与抛物线上的点与焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。物线的几何性质。（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点

5、准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1练习练习1 1：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？线的几何性质有什么特点？ （1 1）抛物线只位于）抛物线只位于 个坐标平面内，个坐标平面内， 它可以无限延伸，但没有渐近线；它可以无限延伸，但没有渐近

6、线； （2 2）抛物线只有）抛物线只有 条对称轴，条对称轴， 对称中心；对称中心；（3 3）抛物线只有）抛物线只有 个顶点、个顶点、 个焦点、个焦点、 条准线；条准线；（4 4）抛物线的离心率是确定的，其值为）抛物线的离心率是确定的，其值为 半1无1111思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)P越大越大,开口越开阔开口越开阔补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|

7、PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。其他三种标准的抛其他三种标准的抛物线对应的焦半径物线对应的焦半径公式呢？公式呢？lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2

8、px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）02px02px02py02py焦半径公式焦半径公式因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），（，），2 2解解:所以设方程为：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：24yx例：已知抛物线关于例：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点M M（，），求它的标准方程（，），求

9、它的标准方程. .2 2三、典例精析三、典例精析坐标轴坐标轴通径长通径长=？ MF的长的长=？练习一：练习一：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在轴，焦点在直线直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是上，那么抛物线通径长是 .162、已知点、已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P= 。 22(0)ypx p4四、归纳总结四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没

10、有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：X一、直线与抛物线位置关系种类一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；、相离；2、相切；、相切；3、相交（一个交点，、相交（一个交点， 两个交点）两个交点）与双曲线的与双曲线的情况一样情况一样xyO二、判断方法探讨二、判断方法探讨1、直线与抛物线相

11、离，无交点。、直线与抛物线相离，无交点。例：判断直线例：判断直线 y = x +2与与抛物线抛物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得计算结果：得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式。相离。别式。相离。xyO2、直线与抛物线相切，交与一点。、直线与抛物线相切，交与一点。例：判断直线例：判断直线 y = x +1与与抛物线抛物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得计算结果：得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式。相切。别式。相切。二、判断方法探讨二、判断方法探讨xyO3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点

12、。一点。例：判断直线例：判断直线 y = 6与抛与抛物线物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得到一计算结果：得到一元一次方程，容易元一次方程，容易解出交点坐标解出交点坐标二、判断方法探讨二、判断方法探讨xyO例：判断直线例：判断直线 y = x -1与与抛物线抛物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得到一计算结果：得到一元二次方程，需计元二次方程，需计算判别式。相交。算判别式。相交。4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。与两点。二、判断方法探讨二、判断方法探讨三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）三、判断直线与抛物线位置关

13、系的操作程序（一）把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行（重合）对称轴平行（重合）相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离 几何画板演示几何画板演示 .,21 xkyl的方程为设直线由题意解由方程组 ,xyxky4212 244 210kyyk可可得得.,41412 xxyy得代入把 ,101 yk得由方程时当., 141点与抛物线只有一个公共直线这时l .,1216022 kkk的判别式为方程时当.,2110120120 kkk

14、k或解得即由.,.,有一个公共点与抛物线只直线这时只有一个解而方程组从只有一个解方程时或当于是lkk211 .,2110120220 kkk解得即由.,.,有两个公共点与抛物线直线这时只有两个解从而方程组只有两个解方程时且当于是lkk0211 .,2110120320 kkkk或解得即由;,一个公共点与抛物线只有直线时或或当lkkk0211 1102,;kkl 当当且且时时 直直线线 与与抛抛物物线线有有两两个个公公共共点点.,与抛物线没有公共点直线时或当lkk211 我们可得综上,.,.,与抛物线没有公共点直线这时没有解方程组从而没有实数解方程时或当于是lkk211 xyOFABBA224

15、,(1)4 ,yxxx代代入入方方程程得得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x解法一解法一:由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点为为F(1,0),所以直线所以直线AB的方程为的方程为y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设, 1, 121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx 所所以以例例2.

16、斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl准线解法二解法二:由题意可知由题意可知, 变式：变式： 过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一条直线任作一条直线m，交这抛物线于交这抛物线于A、B两点，求证：以两点，求证：以AB为直径的圆为直径的圆和这抛物线的准线相切和这抛物线的准线相切证明：如图 所以所以EH是以是以AB为直径的为直径的圆圆E的半径，且的半径，且EHl，因，因而圆而圆E和准线和准线l相切相切设设AB的中点为的中点为E，过，过A、E、B分

17、别向准线分别向准线l引垂引垂线线AD，EH，BC，垂足为，垂足为D、H、C，则则AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH16课堂练习课堂练习:1.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_2.垂直于垂直于x轴的直线交抛物线轴的直线交抛物线y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直线求直线AB的方程的方程.y2 = 8x0453X=3k 点评：本题用了分类讨论的方法点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。造成漏解。Xxy

18、oFDBlA532 .图图.:,1平行于抛物线的对称轴直线证求于点线线的准物线顶点的直线交抛物抛和通过点两点交抛物线于的直线过抛物线焦点例DBDABAF.,称称轴轴之之间间的的位位置置关关系系与与抛抛物物线线对对助助方方程程研研究究直直线线借借方方程程过过建建立立抛抛物物线线及及直直线线的的即即通通我我们们用用坐坐标标法法证证明明分分析析DB.,.的的纵纵坐坐标标相相等等即即可可的的纵纵坐坐标标与与点点点点只只要要证证明明所所示示的的直直角角坐坐标标系系建建立立如如图图BD532 xyoFDBlA532 .图图.,.建立直角坐标系点它的顶点为原轴对称轴为以抛物线如图证明x532 122,pxy

19、 设抛物线方程为 2220020,xypyOAypyA 的方程为线则直的坐标为点 32.px 抛物线的准线方程为 43202.,ypyD 点的纵坐标为可得、联立xyoFDBlA532 .图图.,22202200ppypxyyAFpF 的方程为直线所以的坐标是因为点 52022.,ypyBpxy 坐标为点的纵可得联立与 .,/,平行于抛物线的对称轴故轴得、由DBxDB54xyBAFO221122122(0)(,), (,),:.ypx pA BA x yB xyy yp 例例2 2、过过抛抛物物线线焦焦点点作作直直线线交交抛抛物物线线于于， 两两点点，设设求求证证解：因为直线解：因为直线AB过定点过定点F且不与且不与x轴平轴平行行,设直线设直线AB的方程为的方程为222221222 ()2220ypxpyp mypxmyypmypy yp 即：（定值）2pxmyxyBAFO_?,:121221xxpyy，那么注意到在同样的条件下联想.4),(),()0(2:122122112pxxyxB、yxA，Fppxy则有交抛物线于点