物理竞赛电磁学习题讲解

1、江西理工大学理学院江西理工大学理学院江西理工大学理学院江西理工大学理学院 例例: : 求电偶极子在求电偶极子在其中垂线上和电偶极子轴线延长线上其中垂线上和电偶极子轴线延长线上某点的电场强度某点的电场强度. .电偶极子电偶极子: :一对等量异号电荷相距一定距离形成电偶极子一对等量异号电荷相距一定距离形成电偶极子):(:从从负负电电荷荷指指向向正正电电荷荷方方向向电电偶偶极极矩矩l qp解解: :先计算电偶极子轴线延长线上某点的电场强度先计算电偶极子轴线延长线上某点的电场强度. .qqlAEE江西理工大学理学院江西理工大学理学院如上图所示如上图所示: :令电偶极子轴线的中点令电偶极子轴线的中点O

2、O到场点到场点A A的距离为的距离为r(rL),r(rL),由由点电荷场强公式点电荷场强公式, ,有有: :qqlAEEro2024lrqE2024lrqE则则A A点的合场强为点的合场强为: :2202020212142424lrlrqlrqlrqEEEA江西理工大学理学院江西理工大学理学院22402202020212124212142424rlrlrrlqlrlrqlrqlrqEEEA30241,rqlElrA):(:从从负负电电荷荷指指向向正正电电荷荷方方向向电电偶偶极极矩矩l qp30241rPEA电偶极子轴线延长电偶极子轴线延长线上某点的场强线上某点的场强江西理工大学理学院江西理工大

3、学理学院如右下图所示如右下图所示: :令电偶极子中点令电偶极子中点O O到中垂线上的场点到中垂线上的场点B B的距离为的距离为r(rL),r(rL),由点电荷场强公式由点电荷场强公式, ,有有: :BEErqqloBE220214lrqEE232202222024)2(22142cos2coscoslrqllrllrqEEEEB江西理工大学理学院江西理工大学理学院2322024lrqlEBBEErqqloBE323222,rlrlr304rpEB电偶极子中垂线上电偶极子中垂线上某点的场强某点的场强江西理工大学理学院江西理工大学理学院1304Q rErRRr 3033302113434141RQ

4、rRQrrESdESRr rrQE4202EQRr 均匀带电的球体内外的场强分布。设球体半径为均匀带电的球体内外的场强分布。设球体半径为R，所带总带电为所带总带电为Q例例 均匀带电球体内外的电场强度均匀带电球体内外的电场强度解：均匀带电球体的电场也具有解：均匀带电球体的电场也具有球对称性球对称性,即同一球面上场强相即同一球面上场强相等等,方向沿径向方向沿径向。故。故选取同心的球面为高斯面选取同心的球面为高斯面。 022dQSES江西理工大学理学院江西理工大学理学院练习题：练习题：-割补法割补法证明：电荷体密度为证明：电荷体密度为 的的均匀带电球体均匀带电球体中挖中挖 出一个球形空洞内的电场为均

5、匀场。出一个球形空洞内的电场为均匀场。O1O2江西理工大学理学院江西理工大学理学院证明：如图所示，由高斯定理可求，证明：如图所示，由高斯定理可求，均匀带电球体内任一点的场强为：均匀带电球体内任一点的场强为：3300034433rQQrErrrRRO1O2r1r2 球体无洞时：球体无洞时：1013rE洞位置带洞位置带- 的球体内的球体内：2023rE 由迭加原理得：由迭加原理得：210210213)(3OOrrEEE江西理工大学理学院江西理工大学理学院练习题：练习题：电荷体密度为电荷体密度为 的的无限长圆柱体无限长圆柱体，其中有，其中有一个圆柱孔，试求孔中任意点的电场。一个圆柱孔，试求孔中任意点

6、的电场。O1O2江西理工大学理学院江西理工大学理学院解：如图所示，由高斯定理可知：解：如图所示，由高斯定理可知：均匀带电圆柱体内任一点的场强为：均匀带电圆柱体内任一点的场强为：02ErO1O2r1r2带带 的的大圆柱体在空腔内任意点产生大圆柱体在空腔内任意点产生的电场为：的电场为： 由迭加原理得：由迭加原理得：12121200()22EEErrO O1102Er带带- 的的小圆柱体在空腔内任意点产生小圆柱体在空腔内任意点产生的电场为：的电场为：2202Er江西理工大学理学院江西理工大学理学院1R2R3Rqq 例例 有一外半径有一外半径 和内半径和内半径 的金属球壳，在球壳内放一半径的金属球壳，

7、在球壳内放一半径 的同心金的同心金属球，若使球壳和金属球均带有属球，若使球壳和金属球均带有 的正电荷，的正电荷，问问 两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？ cm101Rcm72Rcm53RC108q解解 根据静电平衡的条件求电荷分布根据静电平衡的条件求电荷分布)(031RrE0S2232d,qSERrR作作球形高斯面球形高斯面2S2024rqE1S2Sr作作球形高斯面球形高斯面1S江西理工大学理学院江西理工大学理学院1R2R3R)(031RrE)(423202RrRrqE根据静电平衡条件根据静电平衡条件)(0213RrRE0d0S33iiqSE0

8、0S412d,4qqSERrii)(421204rRrqE3Sr4Srqqq2江西理工大学理学院江西理工大学理学院0dlEVO112233dddd43201RRRRRRlElElElE)( 031RrE)(423202RrRrqE)( 0213RrRE)( 421204rRrqEV1031. 2)211(431230RRRqVO1R2R3Rqqq2江西理工大学理学院江西理工大学理学院例例2、 两个大带电导体平面两个大带电导体平面A 、B平行放置，板面积为平行放置，板面积为S，现给现给A板带电板带电QA ，B板带电板带电QB ， 且且QA QB 0. 求静电平求静电平衡时衡时,金属板上的电荷分布

9、和周围空间的电场分布金属板上的电荷分布和周围空间的电场分布(忽略忽略边缘效应边缘效应). 如果金属板如果金属板B接地接地,情况又是如何情况又是如何?ABAQ SBQ江西理工大学理学院江西理工大学理学院解：静电平衡后，导体内部无净电荷解：静电平衡后，导体内部无净电荷,电荷只能分布于电荷只能分布于导体表面导体表面.设金属板各面所带电荷面密度如图所示设金属板各面所带电荷面密度如图所示:由静电平衡条件：由静电平衡条件：E内内=0取场强向右为正，则有取场强向右为正，则有00222204321040302014321即：EEEEEM同理：同理：004321NE1432MNAB江西理工大学理学院江西理工大学

10、理学院AQS )(21BQS )(43（1）由电荷守恒得：）由电荷守恒得：解得：解得：SQQBA241SQQBA232可见金属板可见金属板A,B相背的两面带等量的同号电荷相背的两面带等量的同号电荷,相对的两相对的两面带等量的异号电荷面带等量的异号电荷.江西理工大学理学院江西理工大学理学院金属板金属板A的的左侧的场强为左侧的场强为:1432MNABSQQBA241SQQBA232水水平平向向左左方方向向:,222004011SQQEBA金属板金属板A,B之间的场强为之间的场强为:水水平平向向右右方方向向:,222003022SQQEBA金属板金属板B右侧的场强为右侧的场强为:水水平平向向右右方方

11、向向:,222004013SQQEBA江西理工大学理学院江西理工大学理学院如果将金属板如果将金属板B接地接地,由于金属板由于金属板A带带正电荷正电荷,所以所以金属板金属板B只带只带负电荷负电荷,而正电荷都流入大地而正电荷都流入大地.即即:04与与前面一样的解题思路前面一样的解题思路,有有:AQS )(21电荷守恒：电荷守恒：0000321321NMEE1432MNABSQA3241;0江西理工大学理学院江西理工大学理学院R2dE)(2200 xdxEEExxdxxEURdRRdRd)11(2d0RdRRdlnln00单位长度的单位长度的电容电容RdUCln0解解 设两金属线的电荷线密度为设两金

12、属线的电荷线密度为EE 例例 两半径为两半径为 的平行长直导线中心间距为的平行长直导线中心间距为 ，且且 , , 求单位长度的电容求单位长度的电容 . .RdRd oxPxxd江西理工大学理学院江西理工大学理学院 例：例： 一平行平板电容器充满两层厚度各为一平行平板电容器充满两层厚度各为 和和 的电介质，的电介质，它们的电容率分别为它们的电容率分别为 和和 , 极板面积为极板面积为 .当极板上的自当极板上的自由电荷面密度的值为由电荷面密度的值为 时，时，求求；（1）各电介质内的电位移和场各电介质内的电位移和场强强. （2）电容器的电容电容器的电容1d2d1 2 S0 0d01021 SDSDS

13、DS12DD 解（解（1）设这两层电介质中的）设这两层电介质中的场强和电位移矢量分别为场强和电位移矢量分别为E1,E2;D1,D2.由高斯面由高斯面S1可知：可知：由高斯面由高斯面S2可知：可知：0100012d DSSDSDS021 DD+ + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - -1d2d00- - - - - - + + + + + + 11+ + + + + + - - - - - - 222S1E2E1S0S0S1D2DAB江西理工大学理学院江西理工大学理学院10111 DE222111EDED 20222 DE（2）：板间电势差为：）：板间电势

14、差为：+ + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - -1d2d00- - - - - - + + + + + + 11+ + + + + + - - - - - - 222S1E2E1S0S0S1D2DAB 2211221102211 ddSqdddEdEUUBA电容器电容为：电容器电容为： 2211 ddSUqCAB江西理工大学理学院江西理工大学理学院例例4 （1）计算：带电量为）计算：带电量为Q，半径为半径为R的的孤立导孤立导 体球的静电能体球的静电能.（球外真空）（球外真空） （2）在多大半径的球面内所储存的能量）在多大半径的球面内所储存的能量 为总能

15、量的一半？为总能量的一半？解（解（1）由高斯定理得）由高斯定理得RrrQRrE20410222200014228eREQWw dVdVErdrR江西理工大学理学院江西理工大学理学院（2）设离球心）设离球心R0远的空间范围内所储存的远的空间范围内所储存的 能量是总能量的一半，即：能量是总能量的一半，即：RRRQdrrrQRR28214)420022220200解得：（可见：电场越强的地方，电场能量密度越大；相同的体可见：电场越强的地方，电场能量密度越大；相同的体积中储存的能量也就越多。积中储存的能量也就越多。江西理工大学理学院江西理工大学理学院例题例题: 证明转动带电圆盘的磁矩证明转动带电圆盘的

16、磁矩 。241RQPm rdrorrRQqd2d2 rrRQTdqId22d2 rrd rrrImdddP32 RmmrrP03ddP241RQ 江西理工大学理学院江西理工大学理学院 例题例题 均匀带电球面均匀带电球面( ), ( ), 绕直径以绕直径以 匀速旋转匀速旋转 , R 求球心处求球心处0B Rox旋转带电球面旋转带电球面 许多环形电流许多环形电流等等效效解：解： dsin2dd2RqI 等效圆电流：等效圆电流：r取半径取半径 的环带的环带 rId d2ddrRSq 江西理工大学理学院江西理工大学理学院 Rox rId dsin2 2sindsin )(2dd303222022202

17、3RRRRxrIrB RRBB003032dsin2d RB032 写成矢量式：写成矢量式：Bd方向如图方向如图江西理工大学理学院江西理工大学理学院如右图：如右图：?d lBl212dIIlBl I I3 3对环路上各点的磁感应强度有贡献吗？对环路上各点的磁感应强度有贡献吗？I I3 3对图中磁感应强度的环路积分有贡献吗？对图中磁感应强度的环路积分有贡献吗？前者前者没没有贡献，有贡献，后者有贡献后者有贡献江西理工大学理学院江西理工大学理学院例：例：同轴电缆的内导体圆柱半径为同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导体圆筒内外半外导体圆筒内外半径分别为径分别为R2、 R3，电缆载有电流电缆载有电流I，

18、求磁场的分布。求磁场的分布。解：同轴电缆的电流分布具有轴对称解：同轴电缆的电流分布具有轴对称性在电缆各区域中性在电缆各区域中磁力线是以电缆轴线为磁力线是以电缆轴线为对称轴的同心圆。对称轴的同心圆。R2R3IR1Irr R1时时, 取沿半径取沿半径 r 的磁感应线为环路的磁感应线为环路IlB 0d 22102rRIrB .2 210RIrB 江西理工大学理学院江西理工大学理学院R1 r R2 , 同理同理IrB02 rIB 20 IlB 0d R2R3IR1Ir江西理工大学理学院江西理工大学理学院R2 r R3 ,B = 002 rB 江西理工大学理学院江西理工大学理学院 结论结论: 均匀磁场均

19、匀磁场中，任意形状中，任意形状刚性闭合平面刚性闭合平面通电线圈所受的力和力矩为：通电线圈所受的力和力矩为：BPMFm ,02/,max BPMMBPmmne与与 成成右手右手螺旋螺旋I0稳定稳定平衡平衡非稳定非稳定平衡平衡0,/ MBPmneNISPm 磁矩：磁矩：江西理工大学理学院江西理工大学理学院IB.FF. . . . . . . . . . . . . . . . .FIBB+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + IFmax,2MM 0,0M稳定平衡稳定平衡不不稳定平衡稳定平衡讨讨 论论1） 方向与方向与 相同相同Bne2）方向相

20、反）方向相反3）方向垂直）方向垂直0,M力矩最大力矩最大江西理工大学理学院江西理工大学理学院iBB RIB例：如图，半圆闭合回路，半径 ，电流 ， 求它在均匀磁场 中所受力矩解：建立如图所示的坐标系解：建立如图所示的坐标系mnkBiPBj方向为方向， 为 方向，为方向22RMIBj xByzRI)(22kRIeISPnm 江西理工大学理学院江西理工大学理学院例题：一矩形线圈处在例题：一矩形线圈处在无限长无限长载流直导线的磁场中，线圈平面和载流直导线的磁场中，线圈平面和直导线直导线共面共面，且一边与直导线，且一边与直导线平行平行，相关参数如图。线圈匝数为，相关参数如图。线圈匝数为N，试求，试求（

21、1）：电流）：电流I1在线圈平面的磁通量和对线圈的磁力；在线圈平面的磁通量和对线圈的磁力；（2）：当线圈从）：当线圈从d1平移到平移到d2的过程中，磁力对线圈所作的功。的过程中，磁力对线圈所作的功。1Io1d2Ixabdx江西理工大学理学院江西理工大学理学院1Io1d2Ixabdx解：如图建立坐标，取宽为解：如图建立坐标，取宽为dx的面积元，则通过该面积元的磁通的面积元，则通过该面积元的磁通量为：量为：)(210方方向向磁磁通通为为正正设设线线圈圈mPbdxxISdBd 整个线圈的磁通量为：整个线圈的磁通量为：111010ln2211dadbIbdxxIdadd 1F2F3F4F上下两边所受磁

22、力相互抵消上下两边所受磁力相互抵消，左右左右两边所受磁力不等两边所受磁力不等，整个线圈所受，整个线圈所受的合力为：的合力为： addabIIadIdIbIFFF 11210110110221222 江西理工大学理学院江西理工大学理学院1Io1d2Ixabdx1F2F3F4F由上式可知，线圈所受的合力为一个变力，一般情况下，当由上式可知，线圈所受的合力为一个变力，一般情况下，当线圈左边距离长直导线的距离为线圈左边距离长直导线的距离为x时，时，线圈所受的合力为：线圈所受的合力为： axxabIIF 2210相应的元功为相应的元功为： dxaxxabIIdxxFdA 2)(210当线圈从当线圈从d1

23、平移到平移到d2的过程中，磁力对的过程中，磁力对线圈所作的功为线圈所作的功为： 212102dddxaxxabIIdAA 2211210lnln2daddadbII 江西理工大学理学院江西理工大学理学院1Io1d2Ixabdx1F2F3F4F也可以利用磁力作功的公式直接求解也可以利用磁力作功的公式直接求解：当线圈从当线圈从d1平移到平移到d2的过程中，磁力对的过程中，磁力对线圈所作的功为线圈所作的功为： 2211210122lnln2daddadbIIIA 12 IIA11101011ln2211dadbIbdxxIdadd 线圈在线圈在d1位置时位置时的磁通量为：的磁通量为：线圈在线圈在d2

24、位置时位置时的磁通量为：的磁通量为：22101022ln2222dadbIbdxxIdadd 江西理工大学理学院江西理工大学理学院例题：一导线例题：一导线ab与长直导线与长直导线AB共面且相互垂直，当共面且相互垂直，当ab以速度以速度V平平行于电流方向运动时，求它产生的动生电动势。相关参数如图。行于电流方向运动时，求它产生的动生电动势。相关参数如图。dIbaABlvxdxx0江西理工大学理学院江西理工大学理学院dIbaABlvxdxx0解：一、以定义法求解解：一、以定义法求解,以以a到到b为积分路径为积分路径。如图建立坐标。取微。如图建立坐标。取微元元dx，有：有：dxxIvdxxIvlB 2

25、cos2sin2d)(d00 v整个导线上的电动势为：整个导线上的电动势为：dldIvdxxIvldd ln22d00 江西理工大学理学院江西理工大学理学院dIbaABlvxdxx0解：二、解：二、由法拉第感应定律求解由法拉第感应定律求解。如图建立闭合回路。设想。如图建立闭合回路。设想ab边与边与另一部分假想的固定轨道另一部分假想的固定轨道bcda构成回路，构成回路，设回路方向为设回路方向为abcda，开开始时刻始时刻ab边与边与cd边重合边重合。则任意时刻，穿过回路的磁通量为：。则任意时刻，穿过回路的磁通量为：所以感应电动势为：所以感应电动势为：ydxxIBydxSdBd20cdyydldI

26、yydxxIdlddln2200vty tdldIvln20dldIvdtdln20负号表示感应电动势方向与规定的回路方负号表示感应电动势方向与规定的回路方向相反，即沿向相反，即沿adcba方向方向。a为高电势点。为高电势点。:解设螺线管通有电流I，管内磁感应强度通过每匝线圈的磁通量通过整个螺线管的磁链所以螺线管的自感系数nIBnISSBlISnnlN2VnlSnIL22例例1、有一长度为有一长度为l的长直螺线管，单位长度的匝数为的长直螺线管，单位长度的匝数为n，截面积为截面积为S，其中充满磁导率为其中充满磁导率为 的磁介质。试求该螺的磁介质。试求该螺线管的自感系数。线管的自感系数。VnL2 长直螺线管的自感系数长直螺线管的自感系数：xdxtlIld