空间中直线与直线所成的角

1、空间中直线与直线所成的空间中直线与直线所成的角（夹角）角（夹角）从有无公共点的角度：从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点-相交直线相交直线在同一平面内在同一平面内-相交直线相交直线从是否共面的角度从是否共面的角度没有公共点没有公共点-平行直线平行直线异面直线异面直线不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内-异面直线异面直线平行直线平行直线三线平行公理三线平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行平行同一条直线的两条直线互相平行等角定理等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补这两个角相等或互补. . 异面直

2、线异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线1.1.如图是一个正方体的表面展开图如图是一个正方体的表面展开图, ,如果将它还原如果将它还原为正方体，那么为正方体，那么ABAB，CDCD，EFEF，GHGH这四条线段所在这四条线段所在直线是异面直线的有多少对直线是异面直线的有多少对? ? FAHGEDCBCDBAEFGHkeykey：ABAB与与CDCD，ABAB与与GHGH，EFEF与与GHGH2.,.a cc a babAb c如图， 求证：为异面直线acbA, b c证明：假设不是异面直线，,.b c则平行或相交,.b cc ab a（1）若平行，由得,abAb

3、 c这与矛盾，所以不平行.,.b cbcB（2）若相交，设,bcB是平面 和 的公共点a又Bacac a与 相交，这与矛盾, b c不相交, b c综上，假设不成立，是异面直线.3.3.如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F，G G，H H分别是分别是 AB AB，BCBC，CDCD，DADA的中点的中点. . 求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .FGDAEBCHBD解：连接EHABD是的中位线EH BDEHBD，且FG BDFGBD同理，且EH FGEHFG，且EH FG四边形是平行四边形3.3.如图，空间四边形如图，空间四边

4、形ABCDABCD中，中，E E，F F，G G，H H分别是分别是 AB AB，BCBC，CDCD，DADA的中点的中点. . 求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .FGDAEBCH (1) (1)若若AC=BDAC=BD，那么四边形，那么四边形EFGHEFGH是什么图形是什么图形? ? (2) (2)若若ACBDACBD，那么四边形，那么四边形EFGHEFGH是什么图形是什么图形? ? 解：解：(1)(1)若若AC=BDAC=BD， 那么四边形那么四边形EFGHEFGH是菱形；是菱形； (2) (2)若若ACBDACBD， 那么四边形那么四边形EFGHEFG

5、H是矩形是矩形. . 变一变：变一变：思考思考1 1: :两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否发生变化？直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否发生变化？ 思考思考2 2: :设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？ aboba定义：定义：直线直线a a、b b为异面直线，经过空间任一点为异面直线，经过空间任一点O O，分别引分别引aaaa，bbbb，则相交直线，则相交直线aa，bb所所成

6、的成的锐角（或直角）锐角（或直角）叫做两条异面直线叫做两条异面直线a a、b b所成所成的角的角( (或夹角或夹角) )注注1 1：异面直线：异面直线a a、b b所成角，只与所成角，只与a a、b b的相互位置有关，的相互位置有关， 而与点而与点O O位置无关，一般常把点位置无关，一般常把点O O取在直线取在直线a a或或b b上；上；注注2 2：规定两条平行直线的夹角为：规定两条平行直线的夹角为0 0，则异面直线所成角，则异面直线所成角 的取值范围是：的取值范围是： ，090如果两条异面直线所成的角是如果两条异面直线所成的角是9090，则称这两条异面，则称这两条异面直线直线互相垂直互相垂直

7、，记作：，记作： . .ab想一想：想一想：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗平行，在空间中这个结论还成立吗 ?再想想：再想想：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直, ,那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？ 不成立不成立成立（定理）成立（定理）.a bacbc若，则1.ABCDA B C D例 如图，在正方体中，(1)A BCC直线和的夹角是多少？ABCDABCD(2)AAA B哪些棱所在的直线与直线垂直？哪些棱所在的直线与直线

8、垂直？(1)BBCC解：A BBA BCC即异面直线和所成的角或其补角4545 .A BBA BCC异面直线和的夹角为(2),;AAAB BC CD DAA B B C C D D A与直线垂直的直线有,.A BA D B C BC AD与直线垂直的直线有1.ABCDA B C D例 如图，在正方体中，(1)A BCC直线和的夹角是多少？ABCDABCD(2)AAA B哪些棱所在的直线与直线垂直？哪些棱所在的直线与直线垂直？想一想：在正方体里棱与棱的夹角是多少？090或再想想：在正方体里面对角线与棱的夹角是多少？4590或1.ABCDA B C D例 如图，在正方体中，(3)A BB C直线和

9、的夹角是多少？ABCDABCD(3)A DDB解： 连结，BA DA BB C即异面直线和所成的角或其补角60 ,60.BA DA BB C 即异面直线和的夹角为,A BDCA BDCA B CD四边形是平行四边形 ,A D B CA DB CA DDBA B1.ABCDA B C D例 如图，在正方体中，(3)A BB C直线和的夹角是多少？ABCDABCD还要想： 在正方体里面对角线与 面对角线的夹角是多少？0090或6或1.ABCDA B C D例 如图，在正方体中，ABCDABCD,.A CD BEAAFEF FD解：连结与交于点 ， 取中点 ，连结(4)ACB D直线和的夹角是多少？EFAA CEF AC中，FEDACB D即异面直线和所成的角或其补角132,222aEFACa EDa设正方体棱长为 ，则52FDa222EFEDFD90FEDACB D直线和的夹角是90思考：思考：如图，在如图，在棱长为棱长为4 4正正四面体四面体ABCDABCD中，求异面中，求异面